最新中考数学实战模拟测试卷4(原卷版)(7)

绝密★启用前
2020年北京市高级中等学校招生考试
数学模拟试题二
1. 本试卷共 8 页 , 共三道大题 ,28 道小题 . 满分 100分, 120分钟。

2.在试卷和底稿纸上正确填写姓名、准考据号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上, 在试卷上作答无效。

4.在答题卡上 , 选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其余试题用黑色笔迹署名笔作答。

5.考试结束 , 将本试卷、答题卡和底稿纸一并交回。

一、选择题 ( 此题共 16 分 , 每题 2 分)
第 1-8 题均有四个选项，切合题意的选项只有一个.
1．天文单位是天文学上当量天体之间距离的一种单位，其数值取地球与太阳之间的平
均距离，即，约为 149600000 km ．将数 149600000 用科学记数法表示为
()
A ． 14.96 107B． 1.496 107C． 14.96108D． 1.496 108【解答】解：将数149600000 用科学记数法表示为 1.496108．
应选： D．
2．把图中的交通标记图案绕着它的中心旋转必定角度后与自己重合，则这个旋转角度
起码为()
A． 30B．90C． 120D． 180
【剖析】依据图形的对称性，用360除以 3 计算即可得解．
【解答】解： Q 360 3 120，
旋转的角度是120 的整数倍，
旋转的角度起码是120 ．
应选： C．
3．如图，正六边形ABCDEF 内接于 e O ，连结BD．则CBD 的度数是 ()
1
A． 30B． 45C． 60D． 90
【剖析】依据正六边形的内角和求得BCD ，而后依据等腰三角形的性质即可获得结论．
【解答】解：在正六边形
(62)180
ABCDEF 中，BCD6120 ，BC CD，
CBD 1
120 )30 ，(180
2
应选： A．
4．假如 a b ， c0 ，那么以下不等式建立的是 ()
A． a c b B ． a c b c
C． ac 1 bc1 D ． a(c1)b(c1)
【剖析】依据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解： Q c0 ，
c1 1 ，
Q a b ，
a(c1)b( c 1)，
应选： D．
5．如图，MAN60 ，点B为AM上一点，以点A为圆心、随意长为半径画弧，交AM
于点 E ，交AN于点 D ．再分别以点 D ， E 为圆心、大于1DE 的长为半径画弧，两弧
2
交于点 F ．作射线 AF ，在 AF 上取点G，连结BG，过点G作GC AN ，垂足为点 C ．若AG 6 ，则 BG 的长可能为 ()
A． 1B． 2C． 3D．2 3
【剖析】利用基本作图获得AG 均分MON ，所以 NAGMAG30 ，利用含 30度的直角三角形三边的关系获得GC 3 ，依据角均分线的性质获得G 点到AM的距离为 3，而后对各选项进行判断．
【解答】解：由作法得AG 均分MON ，
2
NAG MAG30，Q GC AN ，
ACG90 ，
GC 11
6 3，AG
2
2
Q AG均分MAN ，
G 点到AM的距离为3，
BG⋯3 ．
应选： D．
6．若 2a3b1，则代数式4a 26ab 3b 的值为 ()
A ．1B． 1C． 2D． 3【剖析】将代数式4a26ab3b 变形后，整体代入可得结论．
【解答】解：
2
6ab3b，4a
2a (2a3b)3b ，
2a3b，
(2 a 3b) ，
1，
应选： B．
7．以下命题中，假命题是()
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个极点的距离相等
C．矩形的对角线相互均分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
【剖析】利用矩形的性质分别判断后即可确立正确的选项．
【解答】解： A 、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
B、矩形的对角线的交点到四个极点的距离相等，正确，是真命题；
C、矩形的对角线相互均分，正确，是真命题；
D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，
应选： D．
8．在学校的体育训练中，小杰扔掷实心球的7 次成绩如统计图所示，则这7 次成绩的中位数和均匀数分别是()
3
A． 9.7m ， 9.9m B． 9.7m ， 9.8m C． 9.8m ， 9.7m D ． 9.8m ， 9.9m 【剖析】将这 7 个数据从小到大排序后处在第 4 位的数是中位数，利用算术均匀数的计
算公式进行计算即可．
【解答】解：把这 7 个数据从小到大摆列处于第 4 位的数是 9.7m ，因其中位数是9.7m ，均匀数为： (9.59.69.79.79.810.110.2)79.8m ，
应选： B．
二．填空题（此题共16 分，每题 2 分）
9．若分式
3
存心义，则的取值范围是x 4．x 4
【剖析】分式存心义，分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x 40 ．
解得 x 4 ．
故答案是：x 4 ．
10．联合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：
1 3 180， a / /b ．
【剖析】两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【解答】解：Q 1 3 180 ，
a / /
b （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：1 3 180．
11．如图搁置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧
面睁开扇形的弧长为 2 2．（结果保存)
4
【剖析】依据圆锥侧面睁开扇形的弧长底面圆的周长即可解决问题．
【解答】解：某圆锥的主视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形，
斜边长为 2 2 ，
则底面圆的周长为 2 2 ，
该圆锥侧面睁开扇形的弧长为 2 2，
故答案为 2 2 ．
12．在 ABC 中， A 50，B30，点 D 在 AB 边上，连结CD，若ACD 为直角三角形，则BCD 的度数为60 或10度．
【剖析】当ACD 为直角三角形时，存在两种状况：ADC 90 或 ACD90 ，依据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：分两种状况：
①如图 1，当ADC 90 时，
QB30，
BCD 903060 ；
②如图 2，当ACD90 时，
Q A 50， B 30，
ACB 180 30 50 100 ，
BCD 100 90 10 ，
综上，则BCD 的度数为 60 或 10 ；
故答案为：60 或 10°；
6 ( x 0) 上，过点A作AB x轴于点B，点C在线段AB 13．如图，点 A 在双曲线y
x
k ( x 0) 经过点C，则k2．
上且 BC : CA 1: 2 ，双曲线y
x
5
【剖析】依据反比率函数系数 k 的几何意义即可获得结论．
【解答】解：连结 OC ，
点 A 在双曲线 y 6 上，过点
A 作 AB
x 轴于点 B ，
(x 0)
x
1 6 3 ，
S OAB
2
Q BC :CA 1:2， S OBC 3
1 1 ，
3
双曲线 y
k
(x
0)经过点 C ，
x
1 | k | 1 ，
S OBC
2
| k | 2 ，
双曲线 y
k
(x
0) 在第一象限，
x
k 2 ，
故答案为 2．
14．如图，在平面直角坐标系中， OA 1 ，以 OA 为一边，在第一象限作菱形
OAA 1 B ，
并使
AOB 60 ，再以对角线
OA 1 为一边，在以下图的一侧作同样形状的菱形
OA 1 A 2 B 1 ，再挨次作菱形 OA 2 A 3B 2 ， OA 3 A 4 B 3 ， ，则过点 B 2018 ， B 2019 ， A 2019 的圆的
圆心坐标为
( ( 3)2018 ， ( 3)2019)
．
6
【剖析】过 A1作 A1C x轴于 C ，由菱形的性质获得OA AA1 1 ， A1 AC AOB 60 ，依据勾股定理获得OA OC2AC 2 3 ，求得A2 B1 A360 ，解直角三角形获得
11
B1 A3 2 3 ， A2A3 3 ，求得OA3OB1B1 A3 3 3 ( 3)3获得菱形OA2 A3B2的边长3 ( 3) 2，设 B1 A3的中点为 O1，连结 O1 A2， O1B2，推出过点B1， B2， A2的圆的圆心坐标为 O1 (0 ， 2 3) ，以此类推，于是获得结论．
【解答】解：过A1作 A1C x 轴于 C ，
四边形 OAA1 B 是菱形，
OA AA1 1 ， A1AC AOB60，
13
， AC 1 ，
A C
22
OC OA AC 3 ，
2
在△22
Rt1OA OC AC3
OAC 中，11，
Q OA2C B1 A2O30 ，A3A2O120 ，
A3 A2 B190，
A2 B1 A360，
B1 A3 2 3， A2A3 3 ，
OA3OB1B1 A333 (3)3
菱形 OA2 A3 B2的边长3(3)2，
设 B1 A3的中点为 O1，连结 O1 A2， O1B2，
于是求得， O1 A2 O1 B2O1B13( 3)1，
过点 B1， B2， A2的圆的圆心坐标为O1(0 ， 23) ，
菱形 OA3 A4 B3的边长为 33 ( 3)3，
OA4 9 ( 3)4，
设 B2A4的中点为 O2，
连结 O2 A3， O2B3，
7
同理可得， O 2 A 3 O 2 B 3 O 2B 2 3 ( 3)2，
过点 B 2 ，B 3 ，A 3 的圆的圆心坐标为 O 2 ( 3，3 3) ， 以此类推， 菱形菱形 OA 2019 A 2020 B 2019
的边长为 (
3) 2019 ，
OA 2020 ( 3) 2020 ，
设
B
2018
A
2020
的中点为
O
2018
，连结
O
2018
A
2019
，
O
2018
B
2019
，
求得，
O 2018 A 2019 O 2018 B 2019
O 2018 B 2018 ( 3) 2018 ，
点 O 2018 是过点 B 2018 ， B 2019 ， A 2019 的圆的圆心， Q 2018 12 168
2 ，
点 O 2018 在射线 OB 2 上，
则点 O 2018 的坐标为 ( ( 3)2018 ， ( 3)2019 ) ，
即过点
2018
2019
2018
， B 2019
2019
的圆的圆心坐标为
((3) ， ( 3) )
，
B ， A
故答案为： ( (
3) 2018 ， (
3) 2019 ) ．
15．下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为
100 分）的成绩统计表：
同学 第一次
第二次
第三次 第四次
第五次
甲 90 88 92
94 91
乙
90
91
93
94
92
依据上表数据，成绩较好且比较稳固的同学是
乙
．
【剖析】 依据均匀数的计算公式先求出甲和乙同学的均匀数， 再代入方差公式求出甲和
乙同学的方差，而后依据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：甲同学的均匀数是：
1 9
2 94
91) 91（分 )，
(90 88
5
8
甲同学的方差是：1
[(90 91)2(88 91)2(92 91)2(94 91)2(91 91)2 ] 4 ，5
1
乙同学的均匀数是：(90 91 93 94 92)92 （分 ) ，
5
乙同学的方差是：122222，
[(90 92) (9192)(93 92)(94 92)(92 92) ] 2
5
Q S甲
2 4 S乙22，方差小的为乙，
成绩较好且比较稳固的同学是乙．
故答案为：乙．
16．如图，在矩形ABCD 中， AD 5 ， AB 3 ，点E从点A出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AD 向点 D 运动，同时点 F 从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB
向点 B 运动，当点 E 抵达点 D 时，点 E ， F 同时停止运动．连结BE ，EF ，设点 E运
动的时间为 t ，若BEF 是以 BE 为底的等腰三角形，则t的值为57
．
4
【剖析】如图，过点 E 作EG BC 于 G ，可得 AB EG 3 ， AE BG 2t ，由勾股定理可求 t 的值．
【解答】解：如图，过点E作EG BC于G，
四边形ABGE 是矩形，
AB EG3， AE BG2t ，
Q BF EF5t ， FG | 2t(5 t ) | | 3t 5| ，
EF 2FG 2EG2，
(522
9 ，t ) (3t5)
t57 ，故答案为：57
．44
三．解答题（此题共68 分，第 17-21 题，每题5 分，第 22-24 题，每题 6 分，第
25 题5 分，第 26题 6分，第 27-28题，每题 7分）
17．计算： (1)1(1)02cos609
2
【剖析】第一计算乘方、开方，而后计算乘法，最后从左向右挨次计算，求出算式的值
是多少即可．
9
【解答】解：(1
)1( 1)02cos609 2
2121
3 2
313
5
,6
2x
18．解不等式组 3 x1，并把它的解集在数轴上表示出来．
2
x
【剖析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
2x①
,
【解答】解：3x1②，
2x
解不等式①得， x, 3，
解不等式②， x 1 ，
所以，原不等式组的解集为 1 x, 3 ，
在数轴上表示以下：
．
2
19．已知对于的方程kx 3 x 10 有实数根．
（ 1）求 k 的取值范围；
（ 2）若该方程有两个实数根，分别为x1和 x2，当 x1x2 x1 x2 4 时，求 k 的值．【剖析】（ 1）分 k 0 及 k0 两种状况考虑：当k 0 时，原方程为一元一次方程，经过解方程可求出方程的解，从而可得出 k0 切合题意；当 k 0 时，由根的鉴别式△⋯0可得出对于 k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．综上，此问得解；
（ 2）利用根与系数的关系可得出x1x23
， x1 x2
1
，联合 x1 x2 x1 x2 4 可得出关k k
于 k 的分式方程，解之经查验后即可得出结论．
【解答】解：（ 1）当 k 0 时，原方程为3x 1 0 ，
解得：x 1 ，
3
k0 切合题意；
当 k 0 时，原方程为一元二次方程，
该一元二次方程有实数根，
10
△
( 3)2
4
k 1⋯0 ，解得： k,
9 ．
4 上所述， k 的取 范 k,
9 ．
4
（ 2） Q x 1 和 x 2 是方程 kx 2 3x
1 0 的两个根，
x 1 x 2
3
， x 1x 2
1 ．
k
k
Q x 1 x 2 x 1 x 2 4 ，
3
1 ，解得： k 1 ，
k
4
k
， k 1 是分式方程的解，且切合 意．
k 的 1．
20．如 ，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一点，点 F 是 CD 延 上的一点，且
BE DF ， AE 、 AF 、EF ．
（ 1）求 ：
ABE ADF ；
（ 2）若 AE
5 ， 求出 EF 的 ．
【剖析】（ 1）依据正方形的性 获得
AB AD ， ABC ADC ADF 90 ，利用 SAS
定理 明 ；
（ 2）依据全等三角形的性 获得
AE AF ， BAE DAF ，获得 AEF 等腰直角
三角形，依据勾股定理 算即可．
【解答】（ 1） 明：四 形
ABCD 是正方形，
AB
AD ， ABC
ADC
ADF 90 ，
AB AD
在 ABE 和 ADF 中，ABE
ADF ，
BE
DF
ABE ADF (SAS) ；
（ 2）解： Q
ABE ADF ，
AE AF ， BAE
DAF ，
11
Q BAE EAD90，
DAF EAD90，即EAF 90 ，
EF2AE 5 2 ．
21． 8 年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如
以下图表（得分为整数，满分为10 分，成绩大于或等于 6 分为合格，成绩大于或等于9
分为优异）．
均匀分方差中位数众数合格率优异率
一班7.2 2.117692.5%20%
二班 6.85 4.288885%10%
依据图表信息，回答以下问题：
（ 1）用方差推测，班的成绩颠簸较大；用优异率和合格率推测，班的阅读水平更好些；
（2）甲同学用均匀分推测，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推测，二班
阅读水平更好些．你以为谁的推测比较科学合理，更客观些．为何？
【剖析】（1）从方差上看，二班的方差较大，二班颠簸较大，合格率、优异率一班都比
二班高，
（2）均匀分会受极端值的影响，众数、中位数则是反应一组数据的集中趋向和均匀水
平，所以用众数、中位数进行剖析比较客观．
【解答】解：（1）从方差看，二班成绩颠簸较大，从众数、中位数上看，一班的成绩较
好，
故答案为：二，一．
（2）乙同学的说法较合理，众数和中位数是反应一组数据集中发展趋向和集中水平，
12
因为二班的众数、中位数都比一班的要好．
22．如图，在ABC 中，内角A、B、 C 所对的边分别为、 b 、．
（ 1）若 a6， b 8， c 12 ，请直接写出 A 与 B的和与 C 的大小关系；（ 2）求证：ABC 的内角和等于 180 ；
a 1
(a b c)
（ 3）若2ABC 是直角三角形．
，求证：
a b c c
【剖析】（ 1）依据三角形中大角对大边，即可获得结论；
（ 2）画出图形，写出已知，求证；过点 A 作直线MN / /BC，依据平行线性质得出MAB B ，NAC C ，代入MAB BAC NAC 180 即可求出答案；（ 3）化简等式即可获得a2c2b2，依据勾股定理的逆定理即可获得结论．
【解答】解：（ 1）在 ABC 中， a 6 ， b8 ， c12 ，
A B C ；
（2）如图，过点 B 作MN / / AC，
QMN //AC，
MBA A ，NBC C （两直线平行，内错角相等），
Q MBA ABC NBC180 （平角的定义），
A ABC C 180 （等量代换），即：三
角形三个内角的和等于 180 ；
a 1
(a b c)
（ 3）
c 2
c
，
a b
ac 1
(a b c)( a b c)
1
[( a
22ac c2) b2]，22
2ac a22ac c2b2，
222
a c
b ，
ABC 是直角三角形．
23．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，，我们可将这个两位数记为mn ，易知 mn 10m n ；同理，一个三位数、四位数等均能够用此记法，如abc100a 10b c ．
13
【基础训练】
（ 1）解方程填空：
①若 2x x345 ，则x 2 ；
②若 7 y y826 ，则y；
③若 t935t813t1 ，则 t；
【能力提高】
（ 2）互换随意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可获得一个新数nm ，则 mn nm 必定能被整除， mn nm 必定能被整除， mngnm mn 必定能被整除；（请从大于 5 的整数中选择适合的数填空）
【研究发现】
（3）北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力
极大的天体，连光都逃走不了它的约束．数学中也存在风趣的黑洞现象：任选一个三
位数，要求个、十、百位的数字各不同样，把这个三位数的三个数字按大小从头摆列，
得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数获得一个新数（例如若选的数为325，则用 532 235 297) ，再将这个新数按上述方式从头摆列，再相减，
像这样运算若干次后必定会获得同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” ．
① 该“卡普雷卡尔黑洞数”为；
②设任选的三位数为abc （不如设 a b c) ，试说明其均可产生该黑洞数．
【剖析】（ 1）①②③均按定义列出方程求解即可；
（2）按定义式子睁开化简即可；
（3）①选用题干中数据，依据定义式子睁开，化简到出现循环即可；
② 按定义式子化简，注意条件a b c 的应用，化简到出现循环数495 即可．
【解答】解：（ 1）① mn10m n
若 2 x x3 45 ，则 10 2x10x 345
x 2
故答案为： 2．
②若 7 y y8 26 ，则 107y(10y8) 26
解得 y4
故答案为： 4．
14
③由 abc 100a10b c ．及四位数的近似公式得
若 t 935t8 13t1，则 100t 10 9 3 100 5 10t 8 1000 1 100 3 10t 1
100t700
t 7
故答案为： 7．
（ 2） mn nm 10m n 10n m 11m 11n 11(m n)
则 mn nm 必定能被 11 整除
mn nm 10m n (10n m) 9m 9n 9( m n)
mn nm 必定能被9 整除．
mngnm mn (10m n)(10n m) mn 100mn 10m210n2mn mn 10(10mn m2n 2 )
mngnm mn 必定能被10 整除．
故答案为： 11； 9； 10．
（ 3）①若选的数为325，则用 532 235297 ，以下依据上述规则持续计算
972 279693
963 369594
954 459495
954 459495
故答案为： 495．
②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a 10b c (100c 10b a) 99(a c) ，
结果为 99 的倍数，因为 a b c ，故a厖b1 c 2
a c⋯2 ，又 9厖a c 0 ，
a c, 9
a c 2 ， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9
第一次运算后可能获得：198， 297，396， 495， 594， 693， 792，891，
再让这些数字经过运算，分别能够获得：
981 189 792 ，972 279 693 ，963 369 594 ，954 459 495 ，954 459495
故都能够获得该黑洞数495．
15
24．如图，已知AOB 90 ， OAB 30 ，反比率函数y 3 ( x 0) 的图象过点B( 3,a )，
x
反比率函数y
k (x 0) 的图象过点A．
x
（ 1）乞降 k 的值；
（ 2）过点B作 BC / / x 轴，与双曲线y k 交于点C．求OAC的面积．
x
【剖析】（ 1）把 B(3,a ) 代入反比率函数y 3
即可求得的值，分别过点 A 、B 作AD x x
轴于 D ，BE x 轴于E，易证得BOE∽ OAD ，依据相像三角形的性质即可求得 A 点
的坐标，而后辈入反比率函数y k
(x0) ，依据待定系数法即可求得k 的值；x
（ 2）由B的纵坐标求得 C 的纵坐标，依据图象上点的坐标特点求得 C 的坐标，而后根据S AOC S AOD S梯形ADFC S COF S梯形ADCF求得即可．
【解答】解：（ 1）比率函数y30)的图象过点 B( 3,a) ，
(x
x
a 3
1 ，3
OE 3， BE1，
分别过点A、B作AD x 轴于D， BE x 轴于E，
BOE OBE90，
Q AOB90 ，OAB 30 ，
BOE AOD90， tan 30OB 3 ，
OA3
OBE AOD ，
Q OEB ADO90，
BOE∽ OAD
OE BE OB 3 ，
AD OD OA3
AD3gOE 3 333，OD 3 gBE3 13
16
A( 3 ， 33)，
反比率函数y k
( x 0)的图象过点 A ，x
k 3 339 ；
（ 2）由（ 1）可知 AD 3 3，OD 3 ，Q BC / / x 轴， B( 3,1) ，
C 点的纵坐标为1，
过点 C作CF x 轴于F，
点 C 在双曲线 y
9 上，
x
19
，解得 x 9 ， x
C (9,1) ，CF 1 ，
S AOC S AOD S梯形ADFC S COF S梯形ADCF
1
CF )(OF OD )
( AD
2
1
31)(93)
(3
2
13 3．
25．一次函数y kx b 的图象与轴的负半轴订交于点 A ，与 y 轴的正半轴订交于点 B ，且 sin ABO
3 ．OAB的外接圆的圆心M的横坐标为3．
2
（1）求一次函数的分析式；
（2）求图中暗影部分的面积．
17
【剖析】（ 1）由垂径定理得： 点 N 为 OB 的中点， MN
1 6 ，即 A( 6,0) ， OA ，则 OA
2
而 sin
ABO
3
，OA 6 ，则 B(0,2 3) ，即可求解；
2
（ 2）
1 3 ，MN
BN 3 ，则 BMN 30 ，则 ABO 60 ，
NBOB
3 ，tan BMN
3 2
MN
即 AMO 120 ，即可求解．
【解答】解：（ 1）作 MN
BO ，
由垂径定理得：点
N 为 OB 的中点，
MN
1
OA ，
2
Q MN 3 ， OA 6，即 A( 6,0) ，
Q sin ABO
3
，OA 6，
2
OB 2 3 ，
即 B(0,2 3) ，
设 y
kx b ，将 A 、 B 带入得： y
3 ，
x 2 3
3
（2） NB
1
OB
3，MN
3 ，
2
tan BMN
BN 3
，则
BMN
30 ，
MN 3
ABO 60 ，
AMO 120
18
1232
3 ．
暗影部分面积为 S(2 3)(2 3) 4 3
34
26．如图，在 YOABC 中，A、 C 两点的坐标分别为(4,0) 、 ( 2,3) ，抛物线 W 经过 O 、A 、C三点，点 D 是抛物线W的极点．
（ 1）求抛物线 W 的函数分析式及极点D的坐标；
（ 2）将抛物线 W 和 YOABC 同时先向右平移 4 个单位长度，再向下平移m(0m3) 个单位长度，获得抛物线W1和□ O1 A1 B1C1，在向下平移过程中，O1C1与轴交于点H ，YO1 A1 B1C1与 YOABC 重叠部分的面积记为S ，尝试究：当m为何值时， S 有最大值，并求出 S 的最大值；
（ 3）在（ 2）的条件下，当S 取最大值时，设此时抛物线W1的极点为F，若点M是轴上的动点，点 N 是抛物线 W1上的动点，能否存在这样的点M、N，使以 D、F、M 、N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明原因．【剖析】（ 1）设抛物线 W 的函数分析式为y ax2bx ，图象经过A(4,0) ， C (2,3)即可求解；
（ 2 ）y 3
6m ，直线 O1C1与轴交于点 H，
122m x H (,0) ，23
C1 E3m, HA4122m2m
，33
S HAgC1 E2m (3m) 2 m22m 2
(m 3 )2 3 ，即可求解；
33322
（3）① 以DF为边时， D(2,1) ，
5
D F
F (6,)，点，横坐标之差是，纵坐标之差是
2
3 ，即可求解；②以 DF 为对角线时，以点 D ， F ， M ，N为极点不可以组成平行四边2
形．
【解答】解：（ 1）设抛物线 W 的函数分析式为y ax2bx ，图象经过A(4,0) ， C (2,3)
19
抛物线 W 的函数分析式为 y
1 x
2 x ，极点 D 的坐标为 (2, 1) ；
4
（ 2）依据题意，由 O(0,0) ， C( 2,3) ，得 O 1(4, m) ， C 1 (2,3 m)
设直线 O 1C 1 的函数分析式为 y kx b
把 O 1 (4, m) ， C 1 (2,3 m) 代入 y
kx b 得： y
3 x 6 m ，
2
直线 O 1C 1 与轴交于点 H
12
2m
H (
,0)
3
过C 1作C 1E HA 于点 E ，
Q 0 m 3
C 1E
3 m, HA 4
12 2m
2m ，
3
3
S HA gC 1E 2m (3 m) 2 m 2 2m 2 (m 3 )2
3 ，
3 3
3 2 2 2 0 ，抛物线张口向下， S 有最大值，最大值为
3 3 2
当 m
3
时， S max
3 ；
2
2
（ 3）当 m
3
时，由 D (2, 1)得 F (6, 5 )
2
2 抛物线 W 1 的函数分析式为 y
1 (x 6) 2
5 ，
4
2
依题意设 M (t ,0) ，以 D ， F ， M ， N 为极点的四边形是平行四边形，分状况议论： ①以 DF 为边时
Q D(2, 1) ， F(6,
5)
2
20
点 D ， F 横坐标之差是4，纵坐标之差是 3 ，
2
若点 M 、N的横纵坐标与之有同样规律，
则以 D ， F ， M ，N为极点的四边形是平行四边形，Q M (t ,0) ，
N1 (t
33 4,) N 2 ( t 4, ) 22
把
N1 (t4,3)N 2 (t4,3) 分别代入 y1(x 6)25
得 t10 ， t
2 4 ， t
3 6 ， t
4 14
2242
M 1 (0,0) ， M 2 (4,0) ， M 3 (6,0) ， M 4 (14,0)
②以 DF 为对角线时，以点 D ， F ， M ，N为极点不可以组成平行四边形．
综上所述： M 1 (0,0)， M 2 (4,0) ， M 3 (6,0)， M 4 (14,0) ．
27．如图， ABC 中， AB AC ，DE垂直均分AB，交线段 BC 于点E（点E与点 C 不
重合），点 F 为AC上一点，点G为 AB上一点（点G与点A不重合），且
GEF BAC 180 ．
（ 1）如图 1，当 B 45 时，线段AG 和 CF 的数目关系是AG CF．
（ 2）如图 2，当 B 30 时，猜想线段AG 和 CF 的数目关系，并加以证明．
（ 3）若 AB 6 ， DG 1 ， cos B 3 ，请直接写出CF的长．
4
【剖析】（ 1）如图1，连结AE，依据线段垂直均分线的性质获得AE BE ，依据等腰
直角三角形的性质获得BAE B 45 ，BE EC AE ，BAE EAC C 45 ，依据全等三角形的性质即可获得结论；
（ 2）如图 2，连结AE，依据等腰三角形的性质和三角形的内角和获得BAC 120，依据线段垂直均分线的性质获得AE BE ，求得BAE B 30 ，依据相像三角形的
性质获得AG AE
，解直角三角形即可获得 AG1CF ；CF CE2
（ 3）①当 G 在DA上时，如图 3，连结AE，依据线段垂直均分线的性质获得AD BD 3 ，
AE BE ，由三角函数的定义获得BE
BD3
4，依据相像三角形的性质获得cos B3
4
CF CE
，过 A作AH BC 于点H由三角函数的定义即可获得结论．②当点 G在BD
AG AE
上，如图4，方法同（ 1）．
【解答】解：（ 1）相等，原因：如图1，连结AE，Q DE 垂直均分 AB ，
AE BE ，
BAE B 45，
AE BC ，
Q AB AC ，
BE EC AE ，BAE EAC C 45，
Q GEF BAC180，
AGE AFE360180180，
Q AFE CFE180，
AGE CFE ，
Q GAE C 45，
AEG CEF ( AAS) ，
AG CF ；
故答案为：AG CF ；
（2）AG 1
CF ，2
原因：如图2，连结AE，
QAB AC，
B C 30，
BAC 120 ，
Q DE 垂直均分 AB ，
AE BE ，
BAE B30，
CAE90，BAEC，Q GEF BAC180 ，
AGE AFE180 ，
Q CFE AFE180 ，
AGE CFE ，
AGE∽ CFE ，
AG AE ，
CF CE
在 Rt ACE 中， Q C 30 ，
AE sin C 1 ，
CE2
AG 1 ，
CF2
AG 1
CF ；2
（3）①当 G 在DA上时，如图3，连结AE，Q DE 垂直均分 AB ，
AD BD3，AE BE ，
Q cos B BD ，
BE
BE
BD3
，cos B
4
3
4
AE BE 4 ，
BAE B ，
Q AB AC，
B C ，
C BAE ，
Q GEF BAC180，
AGE AFE360180 180 ，Q AFE CFE180，
CFE AGE ，
CFE ∽ AGE ，
CF CE ，
AG AE
过A作AH BC于点H，
Q cos B 3 2
，， cos45
42
3 2 ，
42
B45，
E在H的左边，
Q cos B BH 3 ，
AB4
BH3AB369 ，
442
Q AB AC ，
BC2BH9 ，
Q BE 4 ，
CE9 4 5 ，
Q AG AD DG31 2 ，
CF 5 ，
24
CF 2.5 ；
②当点 G 在BD上，如图4，同（ 1）可得，CFE∽ AGE ，
CF CE ，
AG AE
Q AG AD DG31 4 ，
CF 5 ，
44
CF 5 ，
综上所述，CF 的长为 2.5 或 5．
28．如图，矩形ABCD 中，AB 2 ， AD 4 ． E ， F 分别在 AD ，BC上，点 A 与点C 对于 EF 所在的直线对称，P 是边DC上的一动点．
（1）连结AF， CE ，求证四边形 AFCE 是菱形；
（2）当PEF的周长最小时，求DP
的值；CP
（ 3）连结BP交EF于点M，当EMP 45 时，求 CP 的长．
【剖析】（ 1）由“ AAS ”可证AEO CFO ，可得 AE CF ，可得四边形AFCE 是平行四边形，且AC EF ，可证四边形AFCE 是菱形；
（ 2）作点F对于 CD 的对称点H，连结EH，交 CD 于点P，此时EFP 的周长最小，由勾股定理可求AF 的长，由平行线分线段成比率可求解；
（3）延伸EF，延伸AB交于点 N ，过点E作 EH BC 于H，交BP于点 G ，过点 O 作
BO FN 于点 O ，可证四边形ABHE 是矩形，可得AB EH 2 ，BH AE 5 ，由相
2
似三角形的性质挨次求出BN ， NF ， BO ，EM，EG 的长，经过证明BGH ∽BPC ，由相像三角形的性质可求CP 的长．
【解答】证明：（ 1）如图：连结AF ，CE，AC交 EF 于点O
四边形 ABCD 是矩形，
AB CD， AD BC， AD//BC
AEO CFO ，EAO FCO ，
点 A与点C对于 EF所在的直线对称
AO CO， AC EF
Q AEO CFO ，EAO FCO ， AO CO
AEO CFO ( AAS )
AE CF ，且 AE / /CF
四边形 AFCE 是平行四边形，且AC EF
四边形 AFCE 是菱形；
（ 2）如图，作点 F 对于CD的对称点 H ，连结 EH ，交CD于点 P ，此时EFP 的周长最小，
四边形AFCE 是菱形
AF CF CE AE ，
Q AF2BF 2AB2，
2
(4AF )2
，
AF4
5
AF
2
5
AE CF
2
DE 3 2
点F，点H对于CD对称
5
CF CH
2
QAD//BC
DP DE3
CP CH5
（ 3）如图，延伸EF ，延伸 AB 交于点N，过点 E 作EH BC 于H，交BP于点 G ，过点 B作BO FN 于点O，
由（ 2）可知，AE CF 5
，BF DE3 22
QEH BC， A ABC90四边形 ABHE 是矩形
AB EH2，BH
5 AE
2
FH1
EF EH 22
5 ，
FH
QAD//BC
BFN ∽ AEN
BN BF FN
AN AE EN
BN3NF BN25NF5
BN3
35， NF
2
AN
55 5， NE
2
Q N N， BON A 90 NBO∽ NEA
BN BO NO EN AE AN 3BO NO 5555 22
BO 3 5
，NO 6 5 55
Q EMP BMO45，BO EN OBM BMO45
BO MO 35 5
ME EN NO
75 MO
10
Q AB//EH
BNM ∽GEM
BN NM
EG EM
9 5
35
EG 7 5
10
7
EG
6
5 GH EH EG
6 QEH //CD
BGH ∽BPC
GH BH
PC BC
5 5
6 2
PC 4
4
CP
3。