2022年北师大版《正切与坡度》精品教案

1．1 锐角三角函数第1课时正切与坡度
1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)
2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)
3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)
一、情境导入
观察与思考：
某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶．
问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用∠A的大小来描述，还可以用什么方法？
方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；
方法二：在台阶斜坡上另找一点B1，测出B1C1与AC1的长度，算出它们的比，也能说明台阶的倾斜程度．
你觉得上面的方法正确吗？
二、合作探究
探究点一：正切
【类型一】根据正切的概念求正切值
分别求出图中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．
由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．
解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可．
解：如图①，tan∠A＝
16
12＝
4
3，tan∠B ＝
12
16＝
3
4；如图②，BC＝73
2－552＝48，tan ∠A＝
48
55，tan∠B＝
55
48.
因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数．
方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．
变式训练：见《》本课时练习“课后稳固提升〞第1题
【类型二】在网格中求正切值
：如图，在由边长为1的小正方
形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 、E 都在小正方形的顶点上，求tan ∠ADC 的值．
解析：先证明△ACD ≌△BCE ，再根据tan ∠ADC ＝tan ∠BEC 即可求解．
解：根据题意可得AC ＝BC ＝12＋22＝
5，CD ＝CE ＝12＋32＝10，AD ＝BE ＝5，∴△ACD ≌△BCE (SSS)．∴∠ADC ＝∠BEC .∴tan ∠ADC ＝tan ∠BEC ＝1
3
.
方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函数值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值．
变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞 第3题
【类型三】 构造直角三角形求三角函数值
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
BC ＝AC ，D 为AC 的中点，求tan ∠ABD 的值．
解析：设AC ＝BC ＝2a ，根据勾股定理
可求得AB ＝22a ，再根据等腰直角三角形
的性质，可得DE 与AE 的长，根据线段的
和差，可得BE 的长，根据正切三角函数的
定义，可得答案．
解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E .设AC
＝BC ＝2a ，根据勾股定理得AB ＝22a .由D 为AC 中点，得AD ＝a .由∠A ＝∠ABC ＝45°，又DE ⊥AB ，得△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AE ＝
2a
2
.∴BE ＝AB －AE ＝32a 2，tan ∠ABD ＝DE BE ＝1
3
. 方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时，可作辅助线构造直角三角形进行解答． 变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第7题
探究点二：坡度
【类型一】 利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)
堤的横断面如图．堤高BC 是5
米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度是( )
A ．1∶3
B ．1∶2.6
C ．1∶2.4
D ．1∶2
解析：由勾股定理得AC ＝12米．那么
斜坡AB 的坡度＝BC ∶AC ＝5∶12＝1∶C.
方法总结：坡度是坡面的铅直高度h 和
水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比
值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，
常写成i ＝1∶m 的形式．
变式训练：见《 》本课时练习“课堂
达标训练〞第9题
【类型二】 利用坡度解决实际问题
一水坝的横断面是梯形ABCD ，
下底BC 长14m ，斜坡AB 的坡度为3∶3，另一腰CD 与下底的夹角为45°，且长为46m ，m ，参考数据：2≈1.414，3≈)．
解析：过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，根据条件求出AE ＝DF 的值，再根据坡度求出BE ，最后根据EF ＝BC －BE －FC 求出AD .
解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F .∵CD 与BC 的夹角为45°，∴∠DCF ＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD ＝46m ，∴DF ＝CF ＝
46
2
＝43(m)，∴AE ＝DF ＝43m.∵斜坡AB 的坡
度为3∶3，∴tan ∠ABE ＝AE BE ＝3
3＝3，
∴BE ＝4m.∵BC ＝14m ，∴EF ＝BC －BE －CF ＝14－4－43＝10－43(m)．∵AD ＝
EF ，∴AD ＝10－43≈(m)．
所以，m.
方法总结：考查对坡度的理解及梯形的性质的掌握情况．解决问题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
变式训练：见《 》本课时练习“课后稳固提升〞第8题
三、板书设计
正切与坡度
1．正切的概念
在直角三角形ABC 中，tan A ＝
∠A 的对边
∠A 的邻边
.
2．坡度的概念
坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值．
在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导．在数学学习中，有一些学生往往不注重根本概念、根底知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握根本概念、根底知识
3．乘、除混合运算
1．能熟练地运用有理数的运算法那么进行有理数的加、减、乘、除混合运算；(重点)
2．能运用有理数的运算律简化运算；(难点)
3．能利用有理数的加、减、乘、除混
合运算解决简单的实际问题．(难点)
一、情境导入 1．在小学我们已经学习过加、减、乘、除四那么运算，其运算顺序是先算________，再算________，如果有括号，先
算__________里面的． 2．观察式子3×(2＋1)÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－12，里面
有哪几种运算，应该按什么运算顺序来计算？
二、合作探究
探究点一：有理数乘、除混合运算
计算：
(1)－2.5÷58×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－47÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－314×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－112.
解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法那么进行计算即可．(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可．
解：(1)原式＝－52×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52×8
5×
1
4
＝1； (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－47×⎝ ⎛⎭⎪⎫－143×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－⎝
⎛47×
⎭
⎪⎫
143×32＝－4. 方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算．
探究点二：有理数的加、减、乘、除混合运算及乘法的运算律
【类型一】 有理数加、减、乘、除混
合运算 计算： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)．
解析：(1)先计算括号内的，再按“先
乘除，后加减〞的顺序进行；(2)可考虑利
用乘法的分配律进行简便计算．
解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋13＝53
×(－6)－12÷43＝(－10)－12×34＝－10－38＝－103
8
；
(2)⎝
⎛⎭
⎪⎫－316－113＋114
×(－12)＝
⎝
⎛－3－16
⎭⎪⎫－1－13＋1＋14×(－12)＝⎝
⎛⎭⎪⎫－3－14×(－12)＝－3×(－12)－1
4×12＝3×12－
1
4
×12＝36－3＝33. 方法总结：在进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，假设能应用运算律进行简化运算，就先简化运算．
【类型二】 有理数乘法的运算律
计算：
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)； (2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×5
14
.
解析：第(1)题括号外面的因数－24是括号内每个分数的倍数，相乘可以约去分母，使运算简便．利用乘法分配律进行简便运算．第(2)题－7可以与5
14的分母约分，因
此可利用乘法的交换律把它们先结合运算．
解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－56×(－24)＋3
8
×(－24)＝20＋(－9)＝11；
(2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×5
14
＝(－7)×514×
⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＝103.
方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算．
【类型三】 有理数混合运算的应用
海拔高度每升高1000m ，气温下降
6℃.某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是－1℃，热气球的高度为________m.
解析：此类问题考查有理数的混合运算，解题时要正确理解题意，列出式子求解，由题意可得[8－(－1)]×(1000÷6)＝1500(m)，故填1500.
方法总结：此题的考点是有理数的混合运算，熟练运用运算法那么是解题的关键．
三、板书设计
1．有理数加减乘除混合运算的顺序：
先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行．
2．利用运算律简化运算 3．有理数混合运算的应用
这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算．运算顺序“先乘除后加减〞学生早已熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点．在教学时，要注意结合学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯．。