第7节正弦定理和余弦定理--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

1 强基础 固本增分
知识梳理
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
2= b2+c2-2bccos A
a
,



sin
b2=a2+c2-2accos B,
公式 =
= sin =2R
c2= a2+b2-2abcos C
考点一 利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量
例1(1)(2024·湖南长郡、雅礼等名校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分
别为 a,b,c,且满足(b-c)2-a2=-bc,若 a=√3,则△ABC 外接圆的半径长为( B )
A.√3
C.√2
B.1
1
D.2
解析 由(b-c) -a =-bc,得 b +c -a =bc,再由余弦定理,得 cos
是等边三角形.

,所以

b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所
2 +2 -2
A= 2
=

2
=
1
.因为
2
A∈(0,π),所
[对点训练2](2024·浙江温州十五校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边
分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC为( A )
A.钝角三角形

AD=sin60°=2,在△ACD 中,由余弦
定理,得 AC2=AD2+CD2-2AD·
CDcos∠ADC=22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以
AC=√19.
[对点训练1](2024·山东泰安模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为
a,b,c,a=2,b=3,cos B=
1
(2)S△ABC= (a+b+c)r(r
2
c
(3)S△ABC= 4R ,其中
a 上的高);
为△ABC 内切圆半径);
R 为△ABC 外接圆半径;
(4)S△ABC= (-)(-)(-c),其中
++c
p= 2 (海伦公式).
常用结论
1.在△ABC 中,内角 A,B,C

2
成等差数列⇔B= ,A+C= .
1
S=2bcsin
1
√6-√2
A=2 ×3√6 ×6× 4
=
2
√2
1 √2
−2× 2
2
27-9√3
.
2
=
√6-√2
4
,所以三23·全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
acos B-bcos A=c,且

A.
10

C= ,则
5
B=( C )
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
解析 在△ABC中,由c<bcos A,得sin C<sin Bcos A,因为A+B+C=π,所以
sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,即sin Acos B+cos Asin B<sin Bcos A,
所以sin Acos B<0,又A,B∈(0,π),所以sin A>0,cos B<0,所以B∈ (
3
3
2.在△ABC 中,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos
+
C
+
C
C,sin
=cos ,cos
=sin .
2
2
2
2
3.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
自主诊断
题组一基础自测
2.在△ABC中,已知B=30°,b= √2, c=2,则角A=
15°或105° .
sin 2sin30° √2
解析 由正弦定理,得sin C=
,因为c>b,B=30°,所以
=
=

2
√2
30°<C<180°.于是C=45°,或C=135°.当C=45°时,A=105°,当
C=135°时,A=15°.
(方法二)由正弦定理得 cos
sin
B= ,又
sin
sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cosBsin C,
∴cos Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C,即 sin Bcos C=0,又 sin B≠0,∴cos C=0,又
π
角 C 为三角形的内角,∴C= ,∴△ABC 为直角三角形,又无法判断两直角边是
D.等腰直角三角形
c-
2
=sin
2c
2
,则△ABC的
2
解析 由 cos B=1-2sin 2 ,得 sin
∴
-
2
=
1-cos
,即
2
cos
2
2
=
1-cos
,
2

B= .
2 +2 -2
(方法一)由余弦定理得 2
=

2
2 2
2
2
2
2
,即
a
+c
-b
=2a
,∴a
+b
=c
,

∴△ABC 为直角三角形,又无法判断两直角边是否相等.故选 B.

B.
5
3
C.
10
2
D.
5
解析 由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin(AB)=sin C.
又因为 A,B,C 是△ABC 的内角,所以 A-B=C,所以
4π
又因为 A+B=π-C= 5 ,②
3π
结合①②解得 B= .故选
10
∴ = ,∴AD=CD,
1
又∠ABC+∠ADC=π,∴cos∠ADC=3.
=
2×
2 2
3 = 4√2,∴cos A=7.
3
9
4√2
1 7 2√2
B= 9 ×(-3)+9 × 3
9
=
10√2
.
27
设 AD=CD=m(m>0),在△ACD 中,由余弦定理,
1
3
得 AC =AD +DC -2AD·
2
1
,故
2
π
A=3,因为
2
2
2
2
a=√3,所以△ABC 外接圆的直径长

2R=sin
2 +2 -2
A= 2
=
√3
=

2
=
=2,则 R=1.
π
sin
3
(2)(2023·北京,7)在△ABC中,(a+c)·(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则∠C=(

A.
6

不要错以为a=sin A
定理
正弦定理
余弦定理
(1)已知三边,求各角;
(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条 (2)已知两边和它们的夹
可解
边;
角,求第三边和其他两个
决的
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和 角;
问题
其他两角(该三角形具有不唯一性)
(3)已知两边和其中一边
的对角,求其他角和边
C.
π
A-B= . ①
5
5.(2021·全国甲,文 8)在△ABC 中,已知 B=120°,AC=√19,AB=2,则 BC=( D )
A.1
B.√2
C.√5
D.3
解析 设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·
cos 120°,解得x=3或x=-5(舍
去).故选D.
2 研考点 精准突破
B.
3
2
C.
3
5
D.
6
解析 因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),所以由正弦定理,得
(a+c)·
(a-c)=b(a-b),即 a2-c2=ab-b2,则 a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得
cos
2 +2 -2
C=
2
=

2
=
1
,又
2
0<C<π,所以
2
否相等.故选 B.
(2)(2024·江苏苏州模拟)在△ABC中,若 ·C = 1-2 ,则△ABC的形状为
c·
1-2C
( D )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析
cos
cos
·cos
由正弦定理以及二倍角公式可知,·cos
图形
a=bsin A
关系式
解的个数 一解
bsin A<a<b
两解
a≥b
一解
a>b
一解
3.三角形的面积公式
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则面积S=
1
bcsin
2
A
=
1
acsin
2
B
1
absin
2
C=
.
公式中是两条边和夹角的正弦
微点拨△ABC的面积公式的其他形式
1
(1)S△ABC=2aha(ha 表示边
=
sin
,整理为
sin
sin Bcos B=sin Ccos
=
1
C,即2sin
sin·cos
sin·cos
1
2B=2sin
=
1-cos2
1-cos2
=
2sin2
,即
2sin2
2C,得 2B=2C,或
2B+2C=180°⇒B+C=90°,所以△ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形.故
2 + 2 -2
(1)a= 2Rsin A
, b= 2Rsin B ,
cos A=
,
2
c= 2Rsin C .


2 + 2 -2

常见 (2)sin A= 2 ,sin B= 2
,
cos B=
,
2

变形
sin C= 2
.
2 + 2 -2
cos C=
2
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).
(1)三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比.( × )
(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.( √ )
(3)在△ABC的内角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.( × )
(4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.( √ )
1
3
.
(1)求sin C;
(2)若点D在△ABC的外接圆上,且∠ABD=∠CBD,求AD的长.
解 (1)(方法一)在△ABC 中,由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B,即 9=4+c21
2 4
4c×(- ),即 c + c-5=0,解得
3
3
c=-3(舍去)或
5
c= ,∵cos
3
1
B=- ,B∈(0,π),
27-9√3
2 .
3.已知△ABC中,b=3√6 ,c=6,B=120°,则△ABC的面积是
解析

由
sin
=

得 sin
sin
sin
C=

=
6×
3
2 = √2.因为 b>c,所以 B>C,所以 C=45°,
3√6
√3
从而 A=15°.而 sin 15°=sin(60°-45°)= 2 ×
积为
△ABC为钝角三角形.
π
2
,π),所以
考点三 正弦、余弦定理的综合应用(多考向探究预测)
考向1与三角形面积有关的计算
例3(2022·新高考Ⅱ,18)记△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,以
a,b,c 为边长的三个正三角形的面积分别为 S1,S2,S3,且
(1)求△ABC 的面积;
(2)若 sin Asin
√2
C= 3 ,求
b.
√3
S1-S2+S3= 2 ,sin
1
B=3.
解 (1)由题意得
S1-S2+S3
微点拨在三角形中大边对大角,大角对大边.
微思考在△ABC中,∠A>∠B是sin A>sin B的什么条件?
提示 在△ABC中,∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B,即∠A>∠B是sin A>sin B成立
的充要条件.
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为钝角
或直角
A的情况 A为锐角
3
5× 2 2
2√2
sin
10√2
3
3
∴sin B= .由正弦定理,得 sin C=
=
=
.
3

3
27
(方法二)△ABC 中,cos
∴sin
1
B=-3,
2√2
B= .由正弦定理,得
3
sin
sin
A=

∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin
(2)连接 CD(图略),∵∠ABD=∠CBD,
2025
北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
第7节 正弦定理和余弦定理
课标解读
1.通过对三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解
决一些简单的三角形度量问题.
2.会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.
3.会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题.
目录索引
DCcos∠ADC,即 9=m +m -2m × =
2
∴m
2
2
27
3√3
= 4 ,∴m= 2 ,即
2
2
3√3
AD= 2 .
2
2
4 2
m
,
3
考点二 利用正弦、余弦定理判断三角形形状
例2(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
形状为( B )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
选 D.
变式探究
c-

2
(变条件)将本例(1)中的条件“ =sin ”改为“
2c
2