高考数学总复习 38 正弦定理和余弦定理的应用备选练习 文(含解析)新人教A版

1 【优化探究】2015届高考数学总复习 3-8 正弦定理和余弦定理的应
用备选练习 文（含解析）新人教A 版
[B 组 因材施教·备选练习]
(2014年青岛调研)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，设计一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根长为5米的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根长为9米的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC
.
(1)设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范围；
(2)求四边形ABCD 面积的最大值．
解析：(1)在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A .
同理，在△CBD 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C .
∵∠A 和∠C 互补，∴cos C ＝－cos A ，
∴AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝CB 2＋CD 2＋2CB ·CD ·cos A .
即x 2＋(9－x )2－2x (9－x )cos A ＝x 2＋(5－x )2＋2x (5－x )·cos A ，
解得cos A ＝2x ，又∵5－x >0,9－x >0，且cos A <1， ∴x ∈(2,5)，即f (x )＝2x
，其中x ∈(2,5)． (2)四边形ABCD 的面积为S ＝S △ABD ＋S △CBD
＝12(AB ·AD ＋CB ·CD )sin A ＝12
[x (9－x )＋x (5－x )]·1－cos 2A ＝x (7－x ) 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＝ x 2－4
7－x 2＝x 2－4x 2－14x ＋49. 记g (x )＝(x 2－4)(x 2
－14x ＋49)，x ∈(2,5)．
∴g ′ (x )＝2x (x 2－14x ＋49)＋ (x 2－4)(2x －14)
＝2(x －7)·(2x 2－7x －4)＝2(x －7)(2x ＋1)(x －4)，
令g ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝7(舍)或x ＝－0.5(舍)．
∴函数g (x )在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减．
∴g (x )的最大值为g (4)＝12×9＝108，∴四边形ABCD 的面积S 的最大值为108＝63， ∴所求四边形ABCD 面积的最大值为63平方米．。