广东省蓬溪中学实验学校高2012级第二学期第二次月考数学试题

广东省蓬溪中学实验学校高2012级第二学期第二次月考数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

满分150分，考试时间120分钟。

一、 选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）
1. cos 480=（ ） A ．
12 B ．1
2
- C 2 D ．2-
（文）0
585sin =（ ） A ．
2
2
B ．2
2
-
C ．
2 D ．2
- 2.已知b a m b a //),,6(),2,4(且==，则m 的值为
A 、2
B 、3
C 、-2
D 、-3
3. 若点A 分有向线段BC 所成的比是2，则点C 分有向线段BA 所成的比是 （ ）
A ．
2
1
B ．3
C ．-2
D ．-3
4. 已知1
tan 43πα⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，则tan α的值为 ( ) A 、12 B 、1
2
- C 、2 D 、-2 (文)若2tan =α，则ααααcos sin cos sin 2+-的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．43 D ．45
5. 将2cos(2)6
y x π
=+的图像按向量(,2)12a π=--平移，则平移后所得的图像的解析式为（ ）
（A ） 2cos 22y x =- （B ） 2cos 22y x =+ （C ）2cos(2)23
y x π
=+
- （D ）
2cos(2)23
y x π
=++
6. cos 15°sin 105°+ cos 75°sin 15°等于（ ）A ．0 B ．2
1
C ．23
D ．1
7.下列边长均为1的正多边形中，AB BC ⋅的最大的是
A 、
B 、
C 、
D 、
8. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若:cos :cos a b B A ==，则:a c =
A 、
B
C
D 、0
9.已知2sin()3αβ+=
，1
sin()5
αβ-=，则tan tan αβ的值为（ ）
（A ）3 （B ）
713 （C ）137- （D ）13
7
10、如图2是函数tan()42
y x ππ
=-的部分图像，则()OB OA OB -⋅的值为（ ）
（A ）4 （B ）2 （C ）2- （D ）4- 11、已知非零向量AB 与AC 满足0(
=•BC AC
AC AB
AB 2
1=
AC
AC AB
AB ， 则ABC ∆为（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．三边均不相等的三角形
(文)已知等差数列}{n a 的前n 项的和为n S ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于（ ）
（A ）100 （B ）101 （C ）200 （D ）201 12、函数()sin ,()()2
f x x
g x f x π
==+
，直线()x t t R =∈与(),()f x g x 的图像交于M 、N 两
点，则M 、N 两点间的距离||MN 的最大值是（ ）
（A ）
1
2
（B ）32 （C 2 （D ）2
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上) 13.2
2
cos 15sin 15︒-︒的值是
14.若向量a 、b 满足(2,1),(4,3)a b a b +=---=-，则a b ⋅=__________ 15. 向量()1,2a =在向量()2,2b =-方向上的投影为
16.设()()()cos sin ,2sin ,cos sin ,cos ,a x x x b x x x f x a b =-=+=⋅，给出下列四个命题：①函数在区间
5,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数；②直线8x π=是函数图像的一条对称轴；③函数()f x 的图像可由函数22y x =
的图像向左平移
4
π
个单位而得到；④函数()||y f x =的最小正周期是π；其中正确命题的序号是 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本题满分12分）求证：()sin 1cos2sin 2cos θθθθ+=
18.（本小题满分12分）已知π2 <α<π,0<β<π2 ,tanα=－ 34 ,cos(β－α)= 5
13 ,求sinβ的值
19.(本小题满分12分)已知向量→
→b a ,满足()3,1,5||-==→
→b a ，且→
→→⊥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+b b a 2．（1）求向
量→
a 的坐标；
（2）求向量→
a 与→
b 的夹角.
20.（本题12分）已知.||)(),2
sin ,2(cos ),23sin
,23
(cos 2b a b a x f x
x b x x a +-⋅=-==若 （I ）求函数)(x f 的单调减区间； （II ）若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
4,3ππx ，求函数)(x f 的最大值和最小值. （文）已知)
sin ,(cos ),sin ,(cos 222323x
x b x x a -==，若b a x f ⋅=)( （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若],[43ππ-∈x ，求函数)(x f 的最大值和最
小值
21.（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且
(2)cos cos 0a c B b C ++=
（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若a+c=4，求△ABC 面积S 的最大值
22.(本小题满分14分)设(0,)απ∈，函数)(x f 的定义域为]1,0[，且,0)0(=f 1)1(=f ，对定义域内任意的,x y ，满足)()sin 1(sin )()2
(
y f x f y
x f αα-+=+． ⑴试用α表示)2
1(f ，并在11()22f =时求出α的值； （2）试用α表示13
(),()44
f f ，并求出α的值；
（3）N n ∈时，1
2
n n a =
，求)(n a f ,并猜测∈x ]1,0[时，)(x f 的表达式.（文）已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA ---=-=-=
⑴若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数m 应满足的条件。

⑵若△ABC 为直角三角形，求m 的取值范围。

蓬溪中学实验学校高2012级第二学期第二次月考数学试题参考答案及
评分标准
二、填空题：(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.
2
3 14. 5- 15. 2
2-
16.①②
三、解答题(本大题共6小题,共74分)
17.证明：左边=θθ2
cos 2sin ⋅ …………3分 =θθθcos )cos sin 2( …………6分 =θθcos 2sin …………9分 =右边 …………10分 所以原等式成立 …………12分
18.解：∵2
παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且3tan 4
α=-
∴5
4
cos ,53sin -==
αα； …………4分 ∵2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，02
πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
∴2
παπ⎛⎫
-∈-- ⎪⎝
⎭
，
，()βαπ-∈-，0 …………6分
又∵5
cos()13
βα-= ∴12sin()13βα--
…………8分
∴()1245363sin sin sin()cos cos()sin 135135
65ββααβααβαα⎛⎫=-+=-+-=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝⎭
………
…12分
19.解：（1）设(,)a x y =，由题意得225x y += …………（2分）
又
(2)(2)0a b b a b b +⊥∴+•=
即2
2026100a b b x y •+=∴-+= …………（4分） 联立方程组解得12
21
x x y y ==-⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩或 (1,2)a ∴=或(2,1)- …………（6分） （2）
5a b •=- …………（8分）
又10b =5cos ,25a b a b a b
•-∴=
=
=-• …………（10分）
[]3,0,,4a b a b π
π∈∴=
…………（12分） 20.（理）解：（I ）由).2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x
x b x x a -==
则1||,1||==b a
所以22||)(2
2
2
-⋅-=-⋅--⋅=+-⋅=→→b a b b a a b a b a b a x f
函数Z k k k x f ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-,,2)(πππ的单调区间是. …………6分
（II ）4
3
π
π
≤
≤-
x 则2232π
π≤≤-
x …………7分 12cos 2
1
≤≤-x
…………9分 当.3)(,0;2
3
)(,3min max -==-=-
=x f x x f x 时当时π
…………12分
（文）解：（Ⅰ）已知)
sin ,(cos ),sin ,(cos 222323x
x b x x a -==且b a x f ⋅=)( 则223223sin sin cos cos )(x
x x x x f -= …………2分 x x x 2cos )cos(223=+= …………4分
∴函数)(x f 的最小正周期为ππ
==
2
2T …………6分
（Ⅱ）∵],[43ππ-∈x ∴],[2232π
π-∈x …………7分 ]1,[)(12cos 2121-∈⇒≤≤-x f x …………10分
因此，函数)(x f 的最大值为1，最小值为2
1
-
…………12分
21.解 （Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=， …………2分
即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++= 得2sin cos sin()0A B B C ++=， 因为A B C π++=，
所以sin()sin B C A +=，得2sin cos sin 0A B A +=，因为sin 0A ≠， …………4分
所以
1cos 2B =-
，
又B 为三角形的内角，所以
23π
B =
…………6分
（Ⅱ）
1sin 2S ac B =
，由
23πB =及4a c += 得
12(4)sin
23S a a π=- …………8分
2)a a =
-2(2)]a =--， …………10分
又04a <<，所以当2a =时，S
…………12分
22.（理）解：（1）αααsin )0()sin 1(sin )1()()(20121
=-+==+f f f f ， ………….(1分)
则1sin (0,)2
6
π
ααπα=
∈∴=
或
56
π
………….(3分) （2）1
2
2011
()()()sin
(1sin )(0)sin 422
f f f f +==+-= …………(4分)
12
131()()(1)sin (1sin )()422f f f f αα+==+-22sin sin αα=- …………(6分)
αααα3241
43sin 2sin 3)4
1
()sin 1(sin )43()2()21(-=-+=+=f f f f …………(8分) 2
1
2sin 1sin 0sin ,sin )sin 23(sin =
==∴-=∴αααααα或或(0,)56
6
,αππ
π
α∈∴=
或
………….(10分) （
3
）
N
n ∈，
n
n a 21=
，所以
))((21)2
1(21)20
2
1
()2
1
()(111N n a f f f f a f n n n n n ∈==
+==--- …………（11分）
因此)(n a f 是首项为21
)(1=
a f ，公比为2
1的等比数列 …………(12分) 故n
n n f a f 21
)21()(== …………(13分). 猜测
x x f =)(
…………(14
分).
（文）解：⑴已知向量
)3,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA ---=-=-=，
若点A 、B 、C 不能构成三角形，则这三点共线。

…………1分
)1,2(),1,3(m m AC AB --== …………3分
故知3（1-m ）=2-m …………4分
时，满足条件。

实数21=∴m …………5分 ⑵若△ABC 为直角三角形,且
①∠A 为直角，则AC AB ⊥，∴3（2-m ）+(1-m)=0,解得4
7
=m …………7分
②∠B
为直角，),1(m m BC ---=则BC
AB ⊥，∴3(-1-m)-m=0，解得
43-=m …………10分
③∠C 为直角，则AC BC ⊥，∴(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0，解得2
51±=m …………13分
综上，4
7
=
m 或43-=m 或2
5
1±=m …………14分。