2015-2016学年江苏省扬州中学高三(上)开学数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|＞0}，则A∩B＝．
2．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为．
3．（5分）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝．4．（5分）设向量＝（1，x），＝（﹣3，4），若∥，则实数x的值为．5．（5分）曲线y＝x﹣cos x在点（，）处的切线方程为．
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于．
7．（5分）记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y＝lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．
8．（5分）若函数f（x）＝是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．9．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α＝．
10．（5分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．
11．（5分）在菱形ABCD中，，，，，则＝．12．（5分）已知知函数f（x）＝，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．
13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1，函数g（x）＝x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则实数m的取值范围是．
14．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15．（14分）已知，求值：
（1）tanα；
（2）．
16．（14分）已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．
（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．
（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N＝M时，求实数m的取值范围．
17．（14分）已知向量＝（sin2x，2cos x），＝，函数f（x）＝•﹣1．
（I）求f（x）的周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）＝1，b＝1，△ABC 的面积为，求边a的值．
18．（16分）如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠POF＝θ（rad），将S表示成θ的函数；
（ii）设MN＝x（m），将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？
19．（16分）已知函数f（x）＝+，
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）＝•[f2（x）﹣2]+f（x）（其中a为参数），求F（x）的最大值g（a）．
20．（16分）设函数f（x）＝lnx，g（x）＝（m＞0）．
（1）当m＝1时，函数y＝f（x）与y＝g（x）在x＝1处的切线互相垂直，求n的值；
（2）若函数y＝f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝（﹣2，2）
B＝{x|＞0}＝（﹣1，+∞）
∴A∩B＝（﹣1，2）＝{x|﹣1＜x＜2}
故答案为：{x|﹣1＜x＜2}
2．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，
因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．
即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．
3．【解答】解：复数＝＝﹣ai+1，
∵Z的实部与虚部相等，
∴﹣a＝1，
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
4．【解答】解：由于向量＝（1，x），＝（﹣3，4），若∥，
则由两个向量共线的性质可得1×4﹣x（﹣3）＝0，
解得x＝﹣，
故答案为﹣．
5．【解答】解：y＝x﹣cos x的导数为y′＝1+sin x，
即有在点（，）处的切线斜率为k＝1+sin＝2，
则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣＝2（x﹣），
即为2x﹣y﹣＝0．
故答案为：2x﹣y﹣＝0．
6．【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心坐标为（0，0），半径为2∵圆心到直线3x+4y﹣5＝0的距离为＝1
∴弦AB的长等于2＝
故答案为：
7．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B＝（a，+∞），
若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
则A⊆B，
即a≤﹣3，
故答案为：（﹣∞，﹣3]
8．【解答】解：f（x）为奇函数；
∴f（﹣x）＝﹣f（x）；
即；
∴1﹣a•2x＝a﹣2x；
∴a＝1；
∴；
①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；
解得0＜x＜1；
②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；
∴不满足f（x）＞3；
综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
9．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣，①
∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣sin2α＝，
∵α为第二象限角，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα﹣cosα＝，②
∴cos2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）
＝（﹣）×
＝．
故答案为：．
10．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），
所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，
而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，
因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，
且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，
所以，m≥1，即实数m的最小值为1．
故答案为：1．
11．【解答】解：在菱形ABCD中，，，，，
则＝++＝（﹣）﹣+＝﹣，
且＝，∠BAD＝．
故＝（﹣）•（）＝﹣+﹣＝﹣×2×2 cos+﹣12＝﹣4+4﹣12＝﹣12，
故答案为﹣12．
12．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝＝1，
当x＜0时，f（x）＝＝﹣1﹣，
作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，
不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为
或，
即有或，
解得≤x＜2或1＜x＜，
即有1＜x＜2．
则解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
13．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）＝0，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1∈（0，3]，
则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，
若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），
则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，
∵g（x）＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，
∴g（x）max＝g（﹣2）＝8+m，g（x）min＝g（1）＝m﹣1，
则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，
解得m≥﹣5且m≤﹣2，
故﹣5≤m≤﹣2，
故答案为：[﹣5，﹣2]
14．【解答】解：当x＝0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，
令f（x）＝，则f′（x）＝﹣++＝﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max＝f（1）＝﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min＝f（﹣1）＝﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故答案为：[﹣6，﹣2]．
二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα＝﹣（2）＝＝
由（1）tanα＝﹣，
∴＝＝﹣
16．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1＝0有两不等的负根，
则，解得：m＞2，
即命题p：m＞2，
若方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根，则△＝16（m﹣2）2﹣16＝16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．
由题意知，命题p、q应一真一假，
即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．
∴或，
解得：m≥3或1＜m≤2．
（2）∵M∪N＝M，∴N⊆M，
∵M＝（m﹣5，m），N＝（1，3），
∴，
解得：3≤m≤6．
17．【解答】解：（I）由题意可得f（x）＝﹣1＝﹣1＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin（），
所以函数f（x）的最小正周期为T＝π；
（II）由（I）可知：若f（A）＝2sin（）＝1，即sin（）＝，
可得＝，∴A＝，又S△ABC＝bc sin A＝＝，∴c＝2，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝1+4﹣4×＝3，
∴a＝
18．【解答】解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．（i）在Rt△ONF中，NF＝OF sinθ＝10sinθ，ON＝OF cosθ＝10cosθ．
在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON﹣OM＝10cosθ﹣3.5，
故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ﹣3.5）＝10sinθ（20cosθ﹣7）．
即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．
（ii）因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x+3.5．
在Rt△ONF中，NF＝＝＝．
在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，
故S＝EF×FG＝x．
即所求函数关系是S＝x，（0＜x＜6.5）．
（2）方法一：选择（i）中的函数模型：
令f（θ）＝sinθ（20cosθ﹣7），
则f′（θ）＝cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）＝40cos2θ﹣7cosθ﹣20．
由f′（θ）＝40cos2θ﹣7cosθ﹣20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝﹣．
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．
设cosα＝，且α为锐角，
则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，
f（θ）是减函数，
所以当θ＝α，即cosθ＝时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝10cosθ﹣3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．
方法二：选择（ii）中的函数模型：
因为S＝，
令f（x）＝x2（351﹣28x﹣4x2），
则f′（x）＝﹣2x（2x﹣9）（4x+39），
因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x＝时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．
19．【解答】解：（1）由，得﹣1≤x≤1，∴函数f（x）的定义域为[﹣1，1]；
又f2（x）＝2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得值域为[，2]；
（2）∵F（x）＝•[f2（x）﹣2]+f（x）＝a++，
令t＝f（x）＝+，则＝t2﹣1，
∴F（x）＝m（t）＝a（t2﹣1）+t＝at2+t﹣a，t∈[，2]，
由题意知g（a）即为函数m（t）＝at2+t﹣a，t∈[，2]的最大值．
注意到直线t＝﹣是抛物线mt＝at2+t﹣a的对称轴，
当a＝0时，m（t）＝t，∴g（a）＝2；
当a＞0时，m（t）＝at2+t﹣a，t∈[，2]递增，∴g（a）＝m（2）＝a+2；
当a＜0时：
①若t＝﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）＝m（）＝；
②若t＝﹣∈（，2]，即﹣，则g（a）＝m（﹣）＝﹣a﹣；
③若t＝﹣∈（2，+∞]，即，则g（a）＝m（2）＝a+2．
综上有g（a）＝．
20．【解答】解：（1）当m＝1时，，
∴y＝g（x）在x＝1处的切线斜率，
由，∴y＝f（x）在x＝1处的切线斜率k＝1，
∴，∴n＝5．
（2）易知函数y＝f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），
又，由题意，得的最小值为负，
∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，
∴，
∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，
∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5，（舍去，理由由m＞0，1﹣n＞0）；
（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）＝，其中x＞0，a＞0，
则θ'（x）＝，
设，
∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）＝0在区间（0，+∞）必存在实根，
不妨设δ（x0）＝0，即，
可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，
在（x0，+∞）上单调递减，
所以θ（x）max＝θ（x0），θ（x0）＝（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，
代入（*）式得，
根据题意恒成立．
又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立
即有，即ax0＝1，即．
代入（*）式得，，即，
解得．
解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）＝ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a＝（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
根据条件对任意正数x恒成立，
即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
∴且，解得且，
即时上述条件成立，此时．
解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）＝ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a＝（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，
即对任意正数x恒成立，
设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，
与x正半轴至少有一个交点的抛物线，
因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，
即，所以．。