湖南省益阳市桃江县2020-2021学年高二下学期期末数学试题
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A． B．16C．14D．8
10．若函数 的图象向右平移 个单位得到的图象对应的函数为 ，则下列说法正确的是（）
A． 的图象关于 对称B． 在 上有2个零点
C． 在区间 上单调递减D． 在 上的值域为
二、多选题
11．设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列各式的值为0的是（）
A． B． C． D．
7．A
【分析】
先根据题意得到函数 是定义在 上的增函数，再根据单调性可得结果.
【详解】
因为当 时， 为单调递增函数，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以函数 是定义在 上的增函数，
因为 ，所以 可化为 ，
根据 是增函数可得 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于基础题.
A． B． C． D．
7．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若实数 满足 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=
A．40B．60
C．32D．50
9．已知菱形ABCD边长为4， ，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，且满足AN=NM，则 的值为（）
四、双空题
16．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为 ，点P为准线 上一点，且不在x轴上，直线 交抛物线C于A，B两点，且 ，则 ______；设坐标原点为O，则 的面积为__________.
五、解答题
17．已知函数 且 .
（1）求 的定义域；
（2）解关于 的不等式 .
18．已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
【详解】
， .
故选:C.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合 中 这一条件.
2．B
【分析】
根据 可能导致 无意义，可知不是充分条件，根据对数函数的单调性可知是必要条件.
【详解】
当 时， 不一定有意义，所以推不出 ，
当 时，可得 ，满足 .
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 且 ，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（）
A． 的最小值为
B．椭圆 的短轴长可能为2
C．椭圆 的离心率的取值范围为
D．若 ，则椭圆 的长轴长为
三、填空题
13．已知平面向量 ，若 ，则 ________.
14．当 时， 的最小值为______.
15．在正方体 中，E为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为_________.
6．A
【分析】
根据排列组合知识求出所有基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式可得结果.
【详解】
根据题意可得所有基本事件的总数为 ，其中盒子的编号连续的有 种，所以盒子的编号不连续的有 种，
所以放入小球的盒子的编号Hale Waihona Puke 连续的概率为 .故选：A.
【点睛】
本题考查了不相邻问题的排列，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.
8．B
【解析】
由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．
4．C
【分析】
由题意可知，三个数中 的值最小，再根据换地公式可知 ， ，即可得到结果.
【详解】
因为 ， ， ，所以 最小.
又因为 ， ，所以 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了对数的大小比较以及对数换地公式的应用，属于基础题.
5．D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择.
3．若双曲线 的离心率为 ，则C的虚轴长为（）
A．4B． C． D．2
4．已知 ， ， ，则( )
A． B．
C． D．
5．函数y= sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
6．两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中，每个盒子中最多放入一个小球，则放入小球的盒子的编号不连续的概率为（）
（1）求角 的大小；
（2）已知 ，且 ，若 的面积为 ，求b边的长以及 外接圆的半径R．
19．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 （元）与销量 （杯）的相关数据如下表：
单价 （元）
8.5
9
9.5
10
10.5
销量 （杯）
120
110
90
70
60
（1）已知销量 与单价 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；
（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）
附：线性回归方程 中斜率和截距最小二乗法估计计算公式： ， ， ， .
20．如图，直三棱柱 中, , , , 分别是棱 , 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
21．已知等比数列 的前 项和为 , ,且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ,求数列 的前 项的和 .
22．已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若不过坐标原点的直线 与椭圆 相交于 、 两点，且满足 ，求 面积最大时直线 的方程．
参考答案
1．C
【分析】
解不等式 ，结合 ，用列举法表示集合 ，从而可求交集.
故选：B.
【点睛】
本题考查了必要不充分条件，考查了对数函数的单调性，属于基础题.
3．C
【分析】
利用离心率得到关于 的方程，求出其解后可得虚轴长.
【详解】
因为双曲线 的离心率为 ，故 ，
解得 ，所以虚轴长为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率及虚轴长，注意双曲线 中各几何量计算公式的正确应用，如虚轴长指 ，本题属于基础题.
详解：令 ，
因为 ，所以 为奇函数，排除选项A,B;
因为 时， ，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
湖南省益阳市桃江县【最新】高二下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分又不必要
10．若函数 的图象向右平移 个单位得到的图象对应的函数为 ，则下列说法正确的是（）
A． 的图象关于 对称B． 在 上有2个零点
C． 在区间 上单调递减D． 在 上的值域为
二、多选题
11．设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列各式的值为0的是（）
A． B． C． D．
7．A
【分析】
先根据题意得到函数 是定义在 上的增函数，再根据单调性可得结果.
【详解】
因为当 时， 为单调递增函数，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以函数 是定义在 上的增函数，
因为 ，所以 可化为 ，
根据 是增函数可得 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，考查了利用函数的单调性解不等式，属于基础题.
A． B． C． D．
7．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若实数 满足 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=
A．40B．60
C．32D．50
9．已知菱形ABCD边长为4， ，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，且满足AN=NM，则 的值为（）
四、双空题
16．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为 ，点P为准线 上一点，且不在x轴上，直线 交抛物线C于A，B两点，且 ，则 ______；设坐标原点为O，则 的面积为__________.
五、解答题
17．已知函数 且 .
（1）求 的定义域；
（2）解关于 的不等式 .
18．已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
【详解】
， .
故选:C.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合 中 这一条件.
2．B
【分析】
根据 可能导致 无意义，可知不是充分条件，根据对数函数的单调性可知是必要条件.
【详解】
当 时， 不一定有意义，所以推不出 ，
当 时，可得 ，满足 .
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 且 ，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（）
A． 的最小值为
B．椭圆 的短轴长可能为2
C．椭圆 的离心率的取值范围为
D．若 ，则椭圆 的长轴长为
三、填空题
13．已知平面向量 ，若 ，则 ________.
14．当 时， 的最小值为______.
15．在正方体 中，E为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为_________.
6．A
【分析】
根据排列组合知识求出所有基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式可得结果.
【详解】
根据题意可得所有基本事件的总数为 ，其中盒子的编号连续的有 种，所以盒子的编号不连续的有 种，
所以放入小球的盒子的编号Hale Waihona Puke 连续的概率为 .故选：A.
【点睛】
本题考查了不相邻问题的排列，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.
8．B
【解析】
由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．
4．C
【分析】
由题意可知，三个数中 的值最小，再根据换地公式可知 ， ，即可得到结果.
【详解】
因为 ， ， ，所以 最小.
又因为 ， ，所以 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了对数的大小比较以及对数换地公式的应用，属于基础题.
5．D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择.
3．若双曲线 的离心率为 ，则C的虚轴长为（）
A．4B． C． D．2
4．已知 ， ， ，则( )
A． B．
C． D．
5．函数y= sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
6．两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中，每个盒子中最多放入一个小球，则放入小球的盒子的编号不连续的概率为（）
（1）求角 的大小；
（2）已知 ，且 ，若 的面积为 ，求b边的长以及 外接圆的半径R．
19．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 （元）与销量 （杯）的相关数据如下表：
单价 （元）
8.5
9
9.5
10
10.5
销量 （杯）
120
110
90
70
60
（1）已知销量 与单价 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；
（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）
附：线性回归方程 中斜率和截距最小二乗法估计计算公式： ， ， ， .
20．如图，直三棱柱 中, , , , 分别是棱 , 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
21．已知等比数列 的前 项和为 , ,且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ,求数列 的前 项的和 .
22．已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若不过坐标原点的直线 与椭圆 相交于 、 两点，且满足 ，求 面积最大时直线 的方程．
参考答案
1．C
【分析】
解不等式 ，结合 ，用列举法表示集合 ，从而可求交集.
故选：B.
【点睛】
本题考查了必要不充分条件，考查了对数函数的单调性，属于基础题.
3．C
【分析】
利用离心率得到关于 的方程，求出其解后可得虚轴长.
【详解】
因为双曲线 的离心率为 ，故 ，
解得 ，所以虚轴长为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率及虚轴长，注意双曲线 中各几何量计算公式的正确应用，如虚轴长指 ，本题属于基础题.
详解：令 ，
因为 ，所以 为奇函数，排除选项A,B;
因为 时， ，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
湖南省益阳市桃江县【最新】高二下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分又不必要