四川省宜宾市南溪区第二中学校高中数学人教A教案 必修二 第二章第三节直线与平面垂直

直线与平面垂直（一）
授课教师：南溪二中黄彬
一、教学目标
1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理
解直线与平面垂直的定义.
2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定
定理证明一些空间位置关系的简单命题，培养学生的识图能力和规范书写表达能力.
3．通过猜想并证明直线与平面垂直的性质定理
4.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
1.教学重点：（1）操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.
（2）推证直线与平面垂直的性质定理.
2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用.
三、教学方法与教学手段：
教法：启发诱导式
学法：合作交流、动手试验
四、教学过程设计
师：我们知道直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面平行以及直线与平面相交.
前几节课我们着重研究了直线与平面平行，哪位同学还记得研究了哪几块内容？
定义-判定-性质-应用（板书）
回顾直线与平面平行的判定定理及性质定理的内容；
总结：线面关系-------线线关系（板书）虚线上面加“化归思想”
今天我们研究直线与平面相交.生活中哪些图形给我们以直线与平面相交的印像？请举例.
教师举例：直线与平面相交（垂直、不垂直的）
如果我们约定把地面抽象为平面，竹子、旗杆、斜塔抽象为直线，那么
在这些相交关系中哪种相交最特殊？（“垂直”）
给出本节课的课题：直线与平面垂直.
学生自我感知直线与平面垂直.如：摆放笔与本子.
1.直线与平面垂直定义的建构
举实例：圆锥.
轴所在直线与底面的关系是垂直的，母线所在直线与底面的关系不垂直.
思考：如何定义直线与平面的垂直？
师：在前面的线面平行的学习过程中，我们将线面平行关系转化为线线平行关系来考察.这里能不能作类似的考虑？也就说能否用线线垂直来得到线面垂直.
下面请看圆锥的形成过程，分析轴与底面内直线的关系.（几何画板）
轴SO与这个平面的垂直.
分析：轴SO不动，OC旋转后构成了一个平面.
轴SO垂直于底面内过点O的所有直线，平面内的其它直线是否与轴SO垂直？
（停顿思考）
学生分析：任意直线可以平移经过点O.SO垂直于底面内的所有直线.
师：我们从直观上看到的轴SO与底面垂直不是偶然的，事实上这里轴SO垂直于底面内的所有直线，因此我把它作为直线与平面垂直的定义.
由学生归纳定义：（板书）
定义：如果直线a与平面α内的任意一条直
线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，
记作：a⊥α.
画图：
这里要注意画图的规范性.
直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．垂线与平面的交点P叫做垂足.
αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m 内任一直线是平面b a b a ⊥⇒⎭
⎬⎫⊂⊥ααb a b a ⊥⇒⎭
⎬⎫⊂⊥αα用符号语言表示为： 概念辨析：关键词是什么？（任意）
定义辨析：练习:判断下列说法是否正确
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直.
②如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线. ③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的无数条直线. 对练习②的分析无数条与任意一条的区别.（指出反例中的无数条平行直线与平面外的直线垂直可以转化为其中一条直线与平面外的直线垂直，原因是异面直线的所成角相等）
师：一般来说定义都有两个方面（两重性）.从两个方面来认识定义（充要条件）
（1）
线线垂直 线面垂直
（2）
线面垂直 线线垂直
（板书）性质 2. 直线与平面垂直的判定定理的探究
通过定义我们可以进行线面垂直的判定.那么利用定义来得到直线与平面的垂直，方便吗？
需要验证平面内的任意一条直线（所有直线）与已知直线垂直，工程浩大.实在不可能而为之.
师：用有限的生命去解决这个“无限”的问题看来有点困难.况且数学本身就是要求简洁明了.数学大师陈省身也说过：“在数学世界里，简单性和优雅性是压倒一切的.”我们当然希望平面内的直线越少越好！
问题：平面α内有一条直线与平面α外的直线l 垂直，那么平面α是否与直线l 垂直？有两条呢？
辨别得到相交直线的过程可以要求学生摆出反例模型进行说明.
让学生在操作过程中，确认并理解判定定理的条件．
αα⊥⇒⎭
⎬⎫⊥a m a m 内任一直线是平面
实验操作（折纸实验）
准备一个纸片．折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．
引导学生分析后得到结论：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线垂直于这个平面.
师：我们把这个结论叫做直线和平面垂直的判定定理，事实上在几何中除了公理，其它的定理都是要求严格证明的.现在大家赶上了一个好时代.新课改后，很多的定理不要求证明了，比如这里.这个定理的证明方法较多，留给大家课后思考.我相信我们辅仁中学的同学有能力把它解决掉. 引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳.
直线和平面垂直的判定定理．（板书） 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线垂直于这个平面.
符号语言：a l ⊥，b l ⊥，α⊂a ，α⊂b ，A b a =I ⇒l α⊥．
图形语言：
定理辨析：
练习:判断下面说法是否正确.
①若直线l 垂直于三角形的两条边，则直线l 垂直于三角形所在平面.
②若直线l 垂直于平行四边形的两条边.则直线l 垂直于平行四边形所在平面. ③若直线l 不垂直平面α，则平面α内没有直线与l 垂直.
师：定理的关键我们用一句话可以归结为“线不在多两条就行，位置确定相交就灵”
3. 直线与平面垂直的判定定理的初步应用 例1．正方体''''ABCD A B C D -中，证明：B D BD ''⊥平面AC .
B
C
E
F
l b a αA
小结:解题的思路: 线线垂直------线面垂直（转化思想）
例2、 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．
由学生上黑板板演并分析求证过程：
证明1：在平面α内作任意一条直线m ．
因为直线a α⊥，
根据直线与平面垂直的定义知：m a ⊥
又因为b ∥a 所以m b ⊥．
又因为m 是平面α内任意一条直线，
所以α⊥b ．
证明2：在平面α内作两条相交直线m ，n ．
因为直线a α⊥，
根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．
又因为b ∥a
所以m b ⊥，n b ⊥．
又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线，
所以α⊥b ．
观察学生的答题过程并作出修改.学生完成，教师说明要点.（投影） 请学生用文字语言将例2表示出来——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．
4. 直线与平面垂直的性质定理的推证
师：数学的发展离不开对原问题的再研究，我们把例2中的条件和结论调换一下就可以得到如下结论：若 α⊥b ,α⊥a ．则 b a //．
这个结论对不对啊？请大家思考如何证明.
分析直接证明较困难，采用反证法.（板书）
证明：设b 不平行于a ，设O b =αI ，b '是经过点O 与 b a α b b '
O
a α
直线a 平行的直线.
直线b 与b '确定平面β，设c =βαI ，因为α⊥a ，α⊥b
所以c b c a ⊥⊥,，又因为a b //'，所以c b ⊥'
这样在平面内，经过直线c 上同一点，就有两条直线b 与b '与c 垂直，显然不可能. 因此b a //．
师：这个命题的已知条件为线面垂直（线面关系），结论为线线平行（线线关系）我们把这个命题就叫做直线与平面垂直的性质定理.
让学生用语言文字叙述：
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.（板书）
5. 总结反思
问题1:通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?
问题2:在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题?
问题3:本节课涉及到哪些数学思想和方法?
问题4:本节课你还有哪些疑问?
6.布置作业
课本P38页练习2、3、6
7.【板书设计】
设计说明：
在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平1.2.3直线与平面垂直的判定（一） 1、 直线与平面垂直的定义： 2、 直线与平面垂直的判定定理： 例题1： 3、线面垂直的性质
定理：
面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识.学生在学习了直线与平面的平行后具备了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的基础，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础.但是对于学生而言，他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提高,规范书写及语言表达还需进一步强化.
通过实例引导学生认识线面“垂直”，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题.类比研究线面平行的方法，通过圆锥的动画演示来使学生理性认识线面垂直与线线垂直的关系，线面垂直存在的必然性.通过展示实例，多媒体演示，使学生感受l与平面内任意一条直线都垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义.
在辨析问题中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化.从两个方面来认识定义（充要条件）
通过直观感知、操作确认，从两个角度“相交”、“两垂直”认识归纳出线面垂直的判定定理，运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.完成两个例题的研究，由学生根据定理的内容进行判定.
按照研究数学问题的一般模式，给出性质定理的猜想，并通过分析引导学生给予证明.最后对本节课进行总结，从知识和方法两个层面认识线面垂直.。