2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一（上）期末数学
试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2-3x＜0}，则A∩B为（）
A. 2，
B.
C.
D.
2.已知角α在第三象限，且sinα=-，则tanα=（）
A. B. C. D.
3.已知向量，则=（）
A. B. C. D.
4.函数y=ln（x2-2x）的单调增区间是（）
A. B. C. D.
5.下列函数定义域是（0，+∞）的是（）
A. B. C. D.
6.函数f（x）=2x-5的零点所在的区间为（）
A. B. C. D.
7.求值：=（）
A. B. C. D.
8.将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是（）
A. B. C. D.
9.函数的最小正周期是π，且ω＞0，则ω=（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.sin70°cos20°+cos70°sin20°=（）
A. 0
B.
C. 1
D.
11.sin210°+cos60°=（）
A. 0
B. 1
C.
D. 2
12.已知在△ABC中，角A是三角形一内角，sin A=，则角A=（）
A. B. C. D. 或
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.如果cosα=，且α是第四象限的角，那么=______．
14.函数f（x）=x2+mx-1在[-1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围是______．
15.化简：sin40°（tan10°-）=______．
16.函数的图象为C，如下结论中正确的是______．
图象C关于直线对称；
图象C关于点对称；
函数在区间内是增函数；由的图象向右平移个单位
长度可以得到图象C．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知函数f（x）=2x-sin2x-．
（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（II）求函数f（x）的单调区间．
18.若0＜＜，0＜＜，sin（）=，cos（）=．
（I）求sinα的值；
（II）求cos（）的值．
19.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a-c）cos B=b cos C．
（I）求角B的大小；
（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．
20.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的
图象关于点（，）中心对称，且过点（，）．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若方程2f（x）-a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．
21.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin
（A-B）+sin C=sin A，b=3．
（Ⅰ）求cos B的值；
（Ⅱ）求边a，c的值．
22.设函数f（x）=a2x+ma-2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）-2kf（）+2a-2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：∵集合A={1，2，3，4，5}，
B={x|x2-3x＜0}={x|0＜x＜3}，
∴A∩B={1，2}．
故选：C．
先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.【答案】C
【解析】
解：∵角α在第三象限，且sinα=-，
∴cosα=-．
∴．
故选：C．
由已知利用平方关系求得cosα，再由商的关系求得tanα．
本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
3.【答案】B
【解析】
解：由向量，则=．
故选：B．
直接由向量的加法计算即可．
本题考查了向量的加法及其几何意义，是基础题．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查复合函数的单调性，解题的关键是确定函数的定义域，再确定内外
函数的单调性.
确定函数的定义域，再确定内外函数的单调性，即可求得结论.
【解答】
解：由x2-2x＞0，可得x＜0或x＞2
∵t=x2-2x=（x-1）2-1的单调增区间是（1，+∞），y=lnt在（0，+∞）上单调增
∴函数y=ln（x2-2x）的单调增区间是（2，+∞），
故选D.
5.【答案】A
【解析】
解：函数y=log5x的定义域为（0，+∞）；
函数y=的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
函数y=的定义域为[0，+∞）；
函数y=e x的定义域为R．
∴函数定义域是（0，+∞）的是y=log5x．
故选：A．
分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
6.【答案】B
【解析】
解：函数f（x）=2x-5是连续的单调增函数，
f（2）=-1＜0，f（3）=1＞0，
可得f（2）f（3）＜0，
所以函数f（x）=2x-5的零点所在的区间为（2，3）．
故选：B．
判断函数的单调性以及函数的连续性，然后利用零点判定定理求解即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．
7.【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题.
首先构造出两角和与差的三角函数，然后就能解决问题.
【解答】
解：==tan（45°-15°）=tan30°=．
故选C.
8.【答案】D
【解析】
解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数是：
y=sin（x+）．
故选：D．
利用函数的图象的平移原则，写出结果即可．
本题考查的知识点：正弦型函数的平移问题，符合左加右减的原则．
9.【答案】B
【解析】
解：函数的最小正周期是π，且ω＞0，
可得=π，∴ω=2．
故选：B．
利用三角函数的周期公式转化求解即可．
本题考查正弦函数的周期的求法，考查计算能力．
10.【答案】C
【解析】
解：sin70°cos20°+cos70°sin20°=sin（70°+20°）=sin90°=1．
故选：C．
直接利用两角和的正弦函数体积特殊角的三角函数求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，是基本知识的考查．
11.【答案】A
【解析】
解：sin210°+cos60°
=sin（180°+30°）+cos60°
=-sin30°+cos60°
=．
故选：A．
直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．
12.【答案】D
【解析】
解：在△ABC中，角A是三角形一内角，sinA=，
即有0°＜A＜180°，sin30°=sin150°=，
可得A=30°或150°，
故选：D．
由题意可得0°＜A＜180°，由sin30°=sin150°=，即可得到所求角A．
本题考查三角形的内角的求法，注意运用正弦的诱导公式，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】
解：已知cosα=，且α是第四象限的角，
；
故答案为：．
利用诱导公式化简，根据α是第四象限的角，求出sinα的值即可．本题考查象限角、轴线角，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题．
14.【答案】（-∞，-6]∪[2，+∞）
【解析】
解：f（x）的函数图象开口向上，对称轴为直线x=-，
∴f（x）在（-∞，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增，
∵f（x）在[-1，3]上是单调函数，
∴-≤-1或-≥3，
解得m≥2或m≤-6．
故答案为：（-∞，-6]∪[2，+∞）．
根据二次函数的对称轴与区间[-1，3]的关系列不等式得出m的范围．
本题考查了二次函数的单调性，属于中档题．
15.【答案】-1
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式在化简求值中的应用,利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式等对函数式化简即可求解，属于中档题.
【解答】
解：=sin40°（）
=sin40°•
=
=
=
=×2
=-=-1.
故答案为-1.
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、平移变换等基础知识，先利用倍角公式、两角和差的正弦公式化简函数
=．再利用三角函数的图象与性质进行判断即可．属于中档题．
【解答】
解：函数=sin2x-cos2x=．
①∵==-2，因此图象C关于直线x=π对称，正确；
②∵==0，因此图象C关于点（，0）对称，正确；
③由，得到∈，因此函数f（x）在区间（-，
）内是增函数，正确；
④由y=2sin2x的图角向右平移个单位长度得到图象y=2=
≠，因此不正确．
综上可知：只有①②③正确．
故答案为①②③．
17.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x-sin2x-
=（1+cos2x）-sin2x-
=-sin2x+cos2x
=2cos（2x+）；
∴f（x）的最小正周期为π，
令∈，得∈，
对称轴方程为x=+，k∈Z；
（Ⅱ）令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ，k∈Z，
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；
令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，
解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[-+kπ，+kπ]（k∈Z）．
【解析】
（Ⅰ）化函数f（x）为余弦型函数，再求它的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）根据余弦函数的单调性，求出f（x）的单调递增、递减区间．
本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
18.【答案】解：（Ⅰ）∵0＜＜，
∴＜＜，
又sin（）=，
∴cos（）=，
∴sinα=sin[-（）]=sin cos（）-cos sin（）
=；
（Ⅱ）∵0＜＜，∴ ＜＜，
又 cos（）=，
∴sin（）=，
∴cos（）=cos[（）+（）]
=cos（）cos（）-sin（）sin（）
=．
【解析】
本题考查两角和与差的正弦，关键是“拆角、配角”思想的应用，是中档题．
（I）由已知求得cos（）=，利用sinα=sin[-（）]，展开两角差的正弦求解；
（II）由已知求得sin（）=，利用 cos（）=cos[（）+（）]，
展开两角和的余弦求解．
19.【答案】解：（Ⅰ）∵由（2a-c）cos B=b cos C，可得：（2sin A-sin C）cos B=sin B cos C，∴2sin A cos B=sin B cos C+cos B sin C，可得：2sin A cos B=sin（B+C）=sin A，
∵A∈（0，π），sin A＞0，
∴可得：cos B=，
∴由B=，B∈（0，π），B=.
（Ⅱ）∵2R==，a=sin A，c=sin C，
∴可得三角形周长：
a+b+c=sin A+sin C+2
=sin A+sin（-A）+2=4sin（A+）+2，
∵0＜A＜，＜A+＜，可得：sin（A+）∈（，1]．
∴周长的最大值为6．
【解析】
（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式
可得2sinAcosB=sinA，结合sinA＞0，可求cosB=，结合范围B∈（0，π）即可解得B的值．
（Ⅱ）由已知及正弦定理可得a=sinA，c=sinC，由三角函数恒等变换
的应用化简可求三角形周长：a+b+c=4sin（A+）+2，由A的范围可求＜A+
＜，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解周长的最大值．
本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=A sin（ωx+φ）的最小正周期为T==π，
由ω＞0，得ω=2；
由函数f（x）的图象关于点（，）中心对称，
∴2×+φ=kπ，φ=-+kπ，k∈Z；
又|φ|＜，∴φ=-；
又f（x）过点（，），
∴A sin（2×-）=1，解得A=2，
∴函数f（x）=2sin（2x-）；
（II）方程2f（x）-a+1=0，
∴a=4sin（2x-）+1；
又x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，
∴sin（2x-）∈[-，1]，
∴4sin（2x-）+1∈[-1，5]，
∴实数a的取值范围是[-1，5]．
【解析】
（Ⅰ）由题意求出T、ω、φ和A的值，即可写出f（x）的解析式；
（II）分离变量a，利用三角函数的图象与性质求出a的取值范围．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）由sin（A-B）+sin C=sin A，得sin A cos B-cos A sin B+sin（A+B）=sin A 即2sin A cos B=sin A，∵sin A≠0，∴cos B=．sin B=
（Ⅱ）由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac•cos B=a2+c2-ac
⇒a2+c2-ac=9…
又∵s△ABC=ac•sin B=2，∴ac=6…
由解得，
∵a＞c，
∴a=3，c=2．
【解析】
（1）由sin（A-B）+sinC=sinA，得sinAcosB-cosAsinB+sin（A+B）=sinA，
即．sinB=，然后求解cosB的值．
（Ⅱ）由余弦定理得：a2+c2-ac=9…①，又s△ABC=ac•sinB=2，ac=6…②，由①②解得a，c．
本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得f（0）=0，1+m=0，
解得m=-1，
则f（x）=a2x-a-2x，
f（-x）=a-2x-a2x=-f（x），
可得f（x）为奇函数，
则m=-1成立；
（Ⅱ）由f（x）=a2x-a-2x，f（1）=，
可得a2-a-2=，解得a=2，
则f（x）=22x-2-2x，
设y=g（x）=22x+2-2x-2k（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2k（2x-2-x）+2，
设t=2x-2-x，y=t2-2kt+2
x∈[0，1]，可得t∈[0，]，
当k＜0时，y min=2成立；
当0≤k≤时，y min=2-k2=2，解得k=0成立；
当k≥时，y min=-3k+=2，解得k=不成立，舍去．
综上所述，实数k的取值范围是（-∞，0]．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得f（0）=0，1+m=0，求得m，由定义检验可得成立；
（Ⅱ）由题意可得a=2，y=g（x）=（2x-2-x）2-2k（2x-2-x）+2，设t=2x-2-x，y=t2-2kt+2，求得对称轴，讨论与区间[0，]的关系，可得最小值，解方程即可得到所求范围．
本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查函数的最值的求法，注意运用分
类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．。