一类含绝对值函数值域的求法
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４
２
万方数据
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青海教育２００２・ｌ一２
一类含绝对值函数值域的求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 张洁
青海教育 QINGHAI EDUCATION 2002(1)
本文链接：/Periodical_qhjy200201054.aspx
解：可求得ｆ（ｘ）＝｛÷｝的值域为
ｆ（ｘ）∈（一ｃｏ，１）Ｕ（１，＋。ｏ），但因为ｆ（ｘ）可以取～１ 于是ｙ可以取１。因此ｙＥ［０．＋ｏｏ）
Ｉ可以取一切非负实数，而源自１只能取不小于１的实数。２．即使Ｉ ｆ（ｘ）ｌ，Ｉ ｇ（ｘ）Ｉ都能取一切非负实数， 『ｆ（ｘ）ｆ＋｜ｇ（ｘ）Ｊ也不一定能取一切非负实数。 如Ｉ ｘ＋２ Ｉ，『２ｘ一３ ｌ都能取一切非负实数，其和却 不能为零。因为要使其和为零。必须ｌ
ＺＸＬＫＪＸ
一类含绝对值
’
若一２≤ｘ＜Ｔ３，则ｙ＝ｘ＋２＋（３－２ｘ）＝一ｘ＋５ 由一２≤ｘ＜丁３，得ｉ７＜一ｘ＋５≤７
若ｘ＜一２，则Ｙ＝（一ｘ一２）＋３—２ｘ＝一３ｘ＋１ 由ｘ＜一２，得一３ｘ＋１＞７
ｅ冯
数值域白匀求法
口张
洁
因此ｙ∈［丁７，＋ｏｏ）Ｕ（Ｔ７，７］Ｕ（７，＋。ｏ）＝［７２
＋ｏｏ）
在高中数学＜函数＞一章中涉及到求下列函数 的值域：（１）ｙ＝Ｉ ｘ一２ ｌ；（２）Ｙ＝『ｘ ２＋１ Ｉ；（３）Ｙ＝
２ｘ一３ ｌ同时为零，这是不可能的。
ｘ＋２ １，
下面举例说明此类问题的一般解法。
例１．求函数Ｙ＝Ｉ—Ｘ２＋２ｘ一４ Ｉ的值域。 解：ｆ（ｘ）＝一ｘ２＋２ｘ一４＝一（ｘ一１）２—３≤三一３ 所以ｌ ｆ（ｘ）Ｉ≥３，因此Ｙ∈［３，＋ｏｏ） 例２．求函数ｙ＝Ｊ ｘ＋２
Ｉ＋ｌ
例５．求函数ｙ＝Ｉ鲁旧值域。 解：ｆ（ｘ）＝罢＝ｘ（ｘ≠±１）
不难解决。 演员，属排列问题，共有Ｐｉ种指导方法，最后依乘法原理，共有
ｒ、。ｒｐ２ｒ：
１
例３．六名歌唱演员分成四组，每组人数分别为１人，１人，
有多少种不同的配合方法？ 解：歌唱演员分组属均匀不编号分组，分组方法为
２人，２人，－ｆ５声乐教师分成两组，一组教师指导一组演员，问±｛薹善；：竺ｃ℃≯２＿１６２０种配合方法。
Ｘ一１
所以Ｉ ｆ（ｘ）Ｉ≠１。因此，ｙ∈［０，１）【Ｊ（１．４－ｏ。）
例６．求函数ｙ＝Ｉ普
解：可求得ｆ（ｘ）＝
ｘ一１
的值域。
２ｘ一３
Ｉ的值域。
ｘ２一ｘ＋１
的值域为
解：若ｘ≥二｝，贝４
ｙ＝ｘ＋２＋２ｘ一３＝３ｘ一１
ｆ（ｘ）∈（一ＣＯ，一１］Ｕ［３，＋ｏｏ），若ｆ（Ｘ）≥３，贝４
ｆ（ｘ）ｆ≥３，若ｆ（Ｘ）≤一１，则Ｊ ｆ（ｘ）Ｊ≥１。因此，ｙ∈
ｘ２＋１ ｘ２—１
解：仿例２解法，可得
ｆ ｘ一３（当２≤ｘ≤３时），此时一１≤ｘ一３≤０； —ｘ＋１（当ｏ≤ｘ＜２时），此时一１＜一ｘ＋１≤１； 一Ｊ ７一‘１ —３ｘ＋１（当一ｌ≤ｘ＜ｏ时），此时１＜一３ｘ＋１≤４； Ｌ—ｘ＋３（当一２≤三ｘ＜一１时），此时４＜一ｘ＋３≤５ 因此ｙＥ［一１，５］
例４．求函数ｙ＝ｆ鲁旧值域。
例３．若Ｘ∈［～２，３］，求函数ｙ＝Ｉ
ｘ＋１ Ｉ的值域。
Ｘ一２
Ｉ＋Ｉ
ｘ
｜ｘ＋２｜＋『２ｘ＿３…４）ｙ－Ｉ并ｌ。许多学
生都不假思索地说是非负实数集。理由是：绝对值
是非负数，非负数的和也是非负数。可是只答对了 第一题，其余都错了，错误的原因在于忽视了： １．如果ｆ（ｘ）不能取一切实数，那么ｌ ｆ（ｘ）ｌ就不 一定能取一切非负实数。如ｘ２—１和ｘ２＋１都不能 取一切实数，ｌ
由ｘ≥丁３，得３Ｘ－１≥÷
［１，＋ｏｏ）
ｒ、ｌ，’ｌ，、４，、ｌ，、ｌ，、Ｚ，、２
去挑选，又有Ｐ；种，故总的分法数为÷菩丢；｝Ｐ；＝９０（种）±专；善；翌种，声乐教师分组属非均匀不编号分组，分组方法为
掌握了分组方法后，只要善于正确归类，许多分组问题便ＣｌＣｊ种。一组教师指导一组演员，相当于２组教师去指导４组
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万方数据
。黝缓缓６７荔缓貔‰。
青海教育２００２・ｌ一２
一类含绝对值函数值域的求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 张洁
青海教育 QINGHAI EDUCATION 2002(1)
本文链接：/Periodical_qhjy200201054.aspx
解：可求得ｆ（ｘ）＝｛÷｝的值域为
ｆ（ｘ）∈（一ｃｏ，１）Ｕ（１，＋。ｏ），但因为ｆ（ｘ）可以取～１ 于是ｙ可以取１。因此ｙＥ［０．＋ｏｏ）
Ｉ可以取一切非负实数，而源自１只能取不小于１的实数。２．即使Ｉ ｆ（ｘ）ｌ，Ｉ ｇ（ｘ）Ｉ都能取一切非负实数， 『ｆ（ｘ）ｆ＋｜ｇ（ｘ）Ｊ也不一定能取一切非负实数。 如Ｉ ｘ＋２ Ｉ，『２ｘ一３ ｌ都能取一切非负实数，其和却 不能为零。因为要使其和为零。必须ｌ
ＺＸＬＫＪＸ
一类含绝对值
’
若一２≤ｘ＜Ｔ３，则ｙ＝ｘ＋２＋（３－２ｘ）＝一ｘ＋５ 由一２≤ｘ＜丁３，得ｉ７＜一ｘ＋５≤７
若ｘ＜一２，则Ｙ＝（一ｘ一２）＋３—２ｘ＝一３ｘ＋１ 由ｘ＜一２，得一３ｘ＋１＞７
ｅ冯
数值域白匀求法
口张
洁
因此ｙ∈［丁７，＋ｏｏ）Ｕ（Ｔ７，７］Ｕ（７，＋。ｏ）＝［７２
＋ｏｏ）
在高中数学＜函数＞一章中涉及到求下列函数 的值域：（１）ｙ＝Ｉ ｘ一２ ｌ；（２）Ｙ＝『ｘ ２＋１ Ｉ；（３）Ｙ＝
２ｘ一３ ｌ同时为零，这是不可能的。
ｘ＋２ １，
下面举例说明此类问题的一般解法。
例１．求函数Ｙ＝Ｉ—Ｘ２＋２ｘ一４ Ｉ的值域。 解：ｆ（ｘ）＝一ｘ２＋２ｘ一４＝一（ｘ一１）２—３≤三一３ 所以ｌ ｆ（ｘ）Ｉ≥３，因此Ｙ∈［３，＋ｏｏ） 例２．求函数ｙ＝Ｊ ｘ＋２
Ｉ＋ｌ
例５．求函数ｙ＝Ｉ鲁旧值域。 解：ｆ（ｘ）＝罢＝ｘ（ｘ≠±１）
不难解决。 演员，属排列问题，共有Ｐｉ种指导方法，最后依乘法原理，共有
ｒ、。ｒｐ２ｒ：
１
例３．六名歌唱演员分成四组，每组人数分别为１人，１人，
有多少种不同的配合方法？ 解：歌唱演员分组属均匀不编号分组，分组方法为
２人，２人，－ｆ５声乐教师分成两组，一组教师指导一组演员，问±｛薹善；：竺ｃ℃≯２＿１６２０种配合方法。
Ｘ一１
所以Ｉ ｆ（ｘ）Ｉ≠１。因此，ｙ∈［０，１）【Ｊ（１．４－ｏ。）
例６．求函数ｙ＝Ｉ普
解：可求得ｆ（ｘ）＝
ｘ一１
的值域。
２ｘ一３
Ｉ的值域。
ｘ２一ｘ＋１
的值域为
解：若ｘ≥二｝，贝４
ｙ＝ｘ＋２＋２ｘ一３＝３ｘ一１
ｆ（ｘ）∈（一ＣＯ，一１］Ｕ［３，＋ｏｏ），若ｆ（Ｘ）≥３，贝４
ｆ（ｘ）ｆ≥３，若ｆ（Ｘ）≤一１，则Ｊ ｆ（ｘ）Ｊ≥１。因此，ｙ∈
ｘ２＋１ ｘ２—１
解：仿例２解法，可得
ｆ ｘ一３（当２≤ｘ≤３时），此时一１≤ｘ一３≤０； —ｘ＋１（当ｏ≤ｘ＜２时），此时一１＜一ｘ＋１≤１； 一Ｊ ７一‘１ —３ｘ＋１（当一ｌ≤ｘ＜ｏ时），此时１＜一３ｘ＋１≤４； Ｌ—ｘ＋３（当一２≤三ｘ＜一１时），此时４＜一ｘ＋３≤５ 因此ｙＥ［一１，５］
例４．求函数ｙ＝ｆ鲁旧值域。
例３．若Ｘ∈［～２，３］，求函数ｙ＝Ｉ
ｘ＋１ Ｉ的值域。
Ｘ一２
Ｉ＋Ｉ
ｘ
｜ｘ＋２｜＋『２ｘ＿３…４）ｙ－Ｉ并ｌ。许多学
生都不假思索地说是非负实数集。理由是：绝对值
是非负数，非负数的和也是非负数。可是只答对了 第一题，其余都错了，错误的原因在于忽视了： １．如果ｆ（ｘ）不能取一切实数，那么ｌ ｆ（ｘ）ｌ就不 一定能取一切非负实数。如ｘ２—１和ｘ２＋１都不能 取一切实数，ｌ
由ｘ≥丁３，得３Ｘ－１≥÷
［１，＋ｏｏ）
ｒ、ｌ，’ｌ，、４，、ｌ，、ｌ，、Ｚ，、２
去挑选，又有Ｐ；种，故总的分法数为÷菩丢；｝Ｐ；＝９０（种）±专；善；翌种，声乐教师分组属非均匀不编号分组，分组方法为
掌握了分组方法后，只要善于正确归类，许多分组问题便ＣｌＣｊ种。一组教师指导一组演员，相当于２组教师去指导４组