(整理)广东省届高三模拟试题分类汇总圆锥曲线

广东省2009届高三数学模拟试题分类汇总——圆锥曲线
一、选择题
1、（2009揭阳）若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）A
A. 212x y =
B.2
12y x = C.2
4x y = D.2
6x y =
2、（2009吴川）若圆0422
2=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为2
2
,则a 的值为（ ）C A ．-2或2
B
2
321或 C ．2或0 D ．-2或0
3、（2009广东四校）设F 1、F 2为曲线C 1： x 26 + y 22 =1的焦点，P 是曲线2C ：
13
2
2
=-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（ ）C (A) 1
4
(B) 1
(C) 2 (D) 2 2
4、（2009珠海）经过抛物线x y 22
=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（ A ）
A.0346=--y x
B. 0323=--y x
C.0232=-+y x
D. 0132=-+y x
5、（2009惠州）若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） D
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
6、（2009汕头）如图，过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，
交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的
方程为（ ）B A ．x y 232=
B ．x y 32
=
C ．x y 2
9
2=
D ．x y 92
=
7、（2009广东六校）以14
122
2=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ）D
A ．
1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.116
42
2=+y x
8、（2009广州）已知双曲线192
22=-y a
x ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D A.
54 B. 55558 C. 4
5
D. 774
二、解答题
1、（2009珠海二中）已知点M 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上, 以M 为圆心的圆与x 轴
相切于
椭圆的右焦点F .
(1)若圆M 与y 轴相切,求椭圆的离心率；
(2)若圆M 与y 轴相交于B A ,两点,且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程. 解：(1)设),(00y x M ，圆M 的半径为. 依题意得||00y r c x ===
将c x =0代入椭圆方程得：a b y 20=，所以
c a
b =2
，又222c a b -= 从而得 022=-+a ac c ，两边除以2a 得：012=-+e e
解得：251±-=e ，因为 )1,0(∈e ，所以 2
1
5-=e .
(2)因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2=r ，
M 到圆y 轴的距离3=d 又由(1)知：a
b r 2
=，c d =
所以，3=c ，22
=a
b 又因为 222
c b a =-,解得：3=a , 622==a b 所求椭圆方程是：16
92
2=+y x
2、（2009吴川）已知圆C ：224x y +=.
（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量
OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r
，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()
3
,1和()
3,1-，其距离为32，满足题意…………………… 2分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，
即02=+--k y kx …………………………………………………… 3分
设圆心到此直线的距离为d ，则2
4232d -=，得1=d ∴1
|2|12++-=
k k ，3
4
k =
， 故所求直线方程为3450x y -+= ……………………………………5分 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分 （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,
则N 点坐标是()0,0y …………………… 7分
∵OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ，
∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，
2
0y
y =
……………………9分 又∵420
20
=+y x ，∴44
2
2
=+y x …………………………… 10分 由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，…………………………… 11分
∴Q 点的轨迹方程是
22
1(0)164
y x y +=≠，…………………… 12分
轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点。

…………………… 14分
3、（2009惠州三模）已知点(x, y) 在曲线C 上，将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程2
2
8x y +=；定点M(2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点. (1)求曲线C 的方程； (2)求m 的取值范围.
解： (1)在曲线C 上任取一个动点P(x,y),
则点(x,2y)在圆2
2
8x y +=上. … 3分
所以有2
2
(2)8x y +=. 整理得曲线C 的方程为12
82
2=+y x . ………… 6分
(2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m,又2
1=OM K , ∴直线l 的方程为m x y +=
2
1
. ………………………………9分 由22
1,2 1.82
y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ , 得 222240x mx m ++-= ………… 10分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，
∴2
2
(2)4(24)0,m m ∆=--> ………… 12分 解得220m m -<<≠且.
∴m 的取值范围是2002m m -<<<<或. ………… 14分 4、（2009汕头）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且
经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；
（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.
解：（1）设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ………………………………1分
则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=28
11
42222
2b a b a b a 解得………………………………………………3分 ∴椭圆方程为12
82
2=+y x …………………………………………………………4分 （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又K OM =
2
1 m x y l +=
∴2
1
的方程为：……………………………………………………5分
由0422128
212
22
2
=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ……………………………………6分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，
分
且解得8...........................................................0,22,
0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m
（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可…………9分 设42,2),,(),,(2
21212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且……………………10分
则2
1,21222111--=
--=x y k x y k 由可得04222
2=-++m mx x
42,222121-=-++m x x m x x ……………………………………………………10分
而)2)(2()
2)(1()2()1(2121211221221121----+---=
--+--=+x x x y x y x y x y k k )
2)(2()1(4)2)(2(42)
2)(2()
1(4))(2()2)(2()
2)(121
()2)(12
1(212212*********------+-=
----+++=
----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x
13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分
故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分
5、（2009韶关一中）已知椭圆14
22
2=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上
一点，并满足121=⋅PF PF ，过P 作倾斜角互补的两条直线P A 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.
（1）求P 点坐标； （2）求证直线AB 的斜率为定值； （3）求△P AB 面积的最大值。

解：（1）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=，)2,(001y x PF ---=，……………………2分
∴1)2(20
2
21=--=⋅y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则1422020=+y x ，∴2
42
02
0y x -=
，从而1)2(2
4202
0=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(. ……………………5分
（2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，………6分
则BP 的直线方程为：)1(2-=-x k y .由⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-14
2)1(222y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则2
22222
2212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=
-+-=+-=+， 同理可得222)222k k k x A +-+=，则2
224k k
x x B
A +=-，2
28)1()1(k k
x k x k y y B A B A +=
----=-. ………………9分 所以：AB 的斜率2=--=B
A B
A A
B x x y y k 为定值. ………………10分
（3）设AB 的直线方程：m x y +=2.
由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=14
2222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ，
由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m
P 到AB 的距离为3
|
|m d =
，………………12分 则3
||3)21
4(21||212m m d AB S PAB
⋅
⋅-=⋅=∆ 2)2
8(81)8(812222
2=+-≤+-=m m m m 。

当且仅当()
22,222-∈±=m 取等号
∴三角形PAB 面积的最大值为2。

………………14分
6、（2009广州）已知长方形ABCD , AB =22, BC =1. 以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy .
(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P (0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由. 解：(Ⅰ)由题意可得点A,B,C
的坐标分别为(
)(
)(
)
1,2,
0,2,
0,2-
设椭圆的标准方程是()0122
22>>=+b a b
y a x .……2分
则
()(
)
()(
)
()2
,224012
2012
222
2
2
2
=∴>=-+-+
-+--=
+=a BC AC a ……4分
224222=-=-=∴c a b .……5分 ∴椭圆的标准方程是.12
42
2=+y x ……6分 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y .……7分
设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x
联立方程:⎩⎨⎧=++=4
22
2
2y x kx y 消去y 整理得,(
)048212
2
=+++kx x
k
有2
21221214
,218k
x x k k x x +=+-=+……9分 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则OM ⊥,所以02121=+y y x x ,……10分
所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即(
)()0421212
12
=++++x x k x
x k
所以,
()
0421*******
2
22=++-++k k k k 即,021482
2
=+-k
k ……11分 得.2,22±==k k ……12分 所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .……13分
所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点. ……14分 7、（2009封开）已知定点H （－3，0），动点P 在y 轴上，动点Q 在x 轴的正半轴，动点M 满足：,0=⋅PM HP .2
3
-
=设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点D （m ，0）
（常数m ＞0）的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的方程；
（2）若点E 的坐标为（－m ，0），求证：∠AED=∠BED
（3）是否存在实数a ，使得以AD 为直径的圆截直线a x l =:'
所得的弦长恒为定值？若
存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.
解：
（Ⅰ）设M （x,y ）,P （0,y ′）,Q （x ′,0）(x ′>0)
∵.0,2
3
=⋅-= O x
y
A B
C
D
图8
∴且),(2
3
),(y x x y y x --'-
='-（3，y ′）
·(x,y －y ′)=0………………2分 ∴.03,2
1
,312='-'+-='='y y y x y y x x ………………3分
∴)0(42
>=x x y ……………………5分
（Ⅱ）（1）当直线l 垂直于x 轴时，根据抛物线的对称性有，∠AED=∠BED ；
……………………6分
（2）当直线l 与x 轴不垂直时，依题意，
可设直线l 的方程为y=k （x －m ）（k ≠0,m>0） A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，则A 、B 两点的坐标 满足方程组
⎩
⎨⎧>=-=)0(4)
(2
x x y m x k y 消去x 并整理，得 ky 2－4y －4km =0 ∴y 1+y 2=
m y y k
4,4
21-= ………………7分
设直线AE 和BE 的斜率分别为k 1、 k 2，则
m
x y m x y k k +++=
+22
1121
))(()
(4141))(()()(2121212221211221m x m x y y m y y y y m x m x m x y m x y +++++=+++++=
0)
)((4)4)(4(4
121=+++
-=m x m x k m k m ………………9分 ∴tan ∠AED+tan （π－∠BED ）=0 ∴tan ∠AED=tan ∠BED ∵0<∠AED<
2
0,2
π
π
<
<BED ∴∠AED=∠BED.
综合（1）（2）可知∠AED=∠BDE.………………10分
（Ⅲ）假设存在满足条件的实数a ，AD 的中点为O ′l ′:x=a 与AD 为直径的圆相交于点F 、G ，FG 的中点为I ，则O ′I ⊥FG ，O ′点的坐标为).2
,2(1
1y m x + ∵12121214)(2
1
)(21||21||x m x y m x AD F O +-=+-==
'
|2|2
1
|2|||11m x a m x a I O --=+-
=' ∴21121222)2(4
1
]4)[(41||||||m x a x m x I O F O FI ---+-=
'-'= )()1(1a m a x m a -++-=
)]()1[(4|)|2(||122a m a x m a FI FG -++-==∴
∵|FG|与x 1的取值无关，∴a －m +1=0,得a=m －1,此时，|FG |2=4（m －1）>0. ∴当m －1>0,即m >1时，|FG |=21-m （定值）
∴当m >1时，满足条件的实数a=m －1；当0<m ≤1时，满足条件的实数a 不存在.
……………………14分
8、（2009湛江）已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x m 上的三点，其中点
A 的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•。

（Ⅰ）求椭圆m 的方程；
（Ⅱ）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m
与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围。

解（Ⅰ）∵BC AC BC 且||2||=过（0，0） 则0|
|||=⋅=BC AC AC OC Θ又
∴∠OCA=90°， 即)3,3(C …………2分
又∵11212:,3222
2=-+=c
y x m a 设 将C 点坐标代入得
11231232=-+C
解得 c 2=8，b 2=4
∴椭圆m ：14
122
2=+y x …………5分 （Ⅱ）由条件D （0，－2） ∵M （0，t ）
1°当k=0时，显然－2<t<2 …………6分 2°当k≠0时，设t kx y l +=:
⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
t kx y y x 14
122
2 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k …………8分
由△>0 可得 22124k t +< ①………………9分 设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点 则22103132k kt x x x +=+= 2
0031k
t
t kx y +=+= ∴)31,313(2
2k
t
k kt H ++-
…………11分 由k
k PQ
OH DH 1
||||-=⊥∴=即
∴22
2311
0313231k t k k kt k
t
+=-=-+-++化简得 ②
∴t>1 将①代入②得 1<t<4
∴t 的范围是（1，4）………………13分 综上t ∈（－2，4） ………………14分
9、（2009潮阳）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右
焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r
、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r
同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：2
2
2
()()m d m m d -+=+
得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23
AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22
431b
a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,
则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b
=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立 将2a b =
，c =
代入，化简有22152104x x b b
-+=
124x =-=
将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为22
1369
x y -=。

10、（2009斗门一中）已知椭圆的两焦点为)0,3(1-F ，)0,3(2F ，离心率23=e .
（1）求此椭圆的方程；（2）设直线m x y l +=:，若l 与此椭圆相交于P ，Q 两点，且 PQ 等于椭圆的短轴长，求m 的值；
（3）以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
解：（1）设椭圆方程为122
22=+b
y a x )0(>>b a ， 则3=
c ，2
3=a c ，∴1,2222=-==c a b a
∴所求椭圆方程为14
22
=+y x . --------------------------------------4分
（2）由⎩⎨⎧=++=4
422y x m x y ，消去y ，得0)1(48522=-++m mx x ，
则0)1(80642
2>--=∆m m 得52<m （*）
设),(),,(2211y x Q y x P ，则5
821m x x -=+，5)1(4221-=m x x ，2121x x y y -=-，
2]5
)1(16)58[(2)()(22221221=---=-+-=m m y y x x PQ 解得.8
152=m ，满足（*）∴.430±=m -----------------------------8分
（3）设能构成等腰直角三角形ABC ，其中B （0，1），由题意可知，直角边BA ，BC 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BA 边所在直线的方程为1+=kx y （不妨设k<0），则BC 边所在直线的方程为11+-=x k y ，由⎩⎨⎧=++=4
4122y x kx y ，得A ),1418,418(222++-+-k k k k
∴,4118)418()418(2
2222
22k k k k k k k AB ++=+-++-=用k 1-代替上式中的k ，得22418k
k BC ++=，由BC AB =，得,41)4(22k k k +=+ Θk<0，∴解得：1-=k 或253±-=
k ，故存在三个内接等腰直角三角形.----14分。