指数函数及其性质教学设计(曹媛)

指数函数及其性质（第一课时）教学设计
河北省保定市第一中学曹媛
一、教材分析：
1、在教材中的地位和作用：
本节课是人教A版数学必修一第二章2.1.2《指数函数及其性质》第一课时。

函数的思想贯穿于整个高中数学之中。

指数函数是继研究了函数的概念和性质之后在高中阶段研究的第一个基本初等函数。

对指数函数及图象与性质的研究，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，初步培养学生的函数应用意识，同时也为今后学习其它的初等函数奠定了基础，起到承上启下的作用。

本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了函数图象在研究函数性质时的重要作用。

2、学情分析：学生已有了一定的函数基础知识，会建立简单的函数关系式，能用“描点法”画图，这使学生的自主探究活动具备了良好的基础，但是学生思维的全面性、深刻性，以及数形结合的思想有待进一步培养和加强。

二、教学目标
（1）知识与技能目标：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；
（2）过程与方法目标：通过观察，分析、讨论、归纳指数函数的概念和性质，体会从具体到一般的认知规律和数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力；（3）情感态度与价值观目标：体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系，增强学生对实际生活问题“数学化”的处理能力。

三、教学重、难点：
教学重点：指数函数的概念和性质。

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数概念和的性质。

突破难点的关键：寻找新知生长点，建立新旧知识的联系，在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。

四、教法设计
我采用“诱思探究”教学模式和“情景式”教学模式，主要突出了几个方面：
（1）创设问题情景.充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理，顺利引入课题；（2）强化“指数函数”概念的形成.让学生经历从特殊到一般的抽象概括指数函数模型、建立指数函数概念的过程，并讨论底数a的取值范围，学生自主建构概念。

（3）突出图象的作用.让学生体会函数图象是理解和研究函数的直观工具。

（4）注意数学与生活和实践的联系.在课堂教学中，用与指数函数相关的大量实际问题引入，培养学生数学化的能力。

五、学法指导
根据注重提高学生的数学思维能力的理念，指导学生采用自主、合作、探究的学习方法：
（1）帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念和性质做好准备；
（2）在研究指数函数的性质时领会分类讨论、数形结合等常见数学思想方法；
（3）在互相交流和自主探究中获得发展，让学生变被动的接受为主动地合作学习，从而完成知识的内化过程；
（4）注意学习过程的循序渐进。

在概念、性质、应用的过程中按照先具体后一般的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获。

六、教学过程
环节一：创设情境，形成概念
师：我们在初中学习了一些基本初等函数，高中阶段又进而学习了函数定义及性质，你能否用函数的观点分析下面这段新闻？请看：《物种入侵-澳大利亚的野兔》的新闻视频。

根据这个实例，把现实问题呈现“数字化” ,提出问题：
问题1：若兔子种群每月成倍增长，由最初第一个月的一对兔子开始，一个月后，两个月后，三个月后，分别有多少对兔子？
学生答：232,2,2
再问：如果月数用x 表示，兔子对数用y 表示，它们有什么关系？
学生答：*2,()x y x N =∈。

师：兔子数量的翻翻增长给澳大利亚带来了前所未有的灾难，无奈之下，政府最终决定采用生物控制的办法，粘液瘤病毒一经引进，很快便在整个兔群中传播开来，困扰澳大利亚近百年的兔灾终于被控制住了.
问题2：引进病毒后，兔子种群（视为1个单位）若每天按6%的速度减少，问天数x 与剩余量y 的关系？
生答：()*0.94,()x
y x N =∈
回忆：课本48页的问题1：从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%．那么，在2001——2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？
1年后即（2001年），我国的GDP 可望为2000年的（1+7.3%）倍
2年后即（2002年），我国的GDP 可望为2000年的（1+7.3%）2倍
3年后即（2003年），我国的GDP 可望为2000年的（1+7.3%）3倍
……
设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍，那么)20*,(073.1≤∈=x N x y x ．
【设计意图】大量具体的生活实例引入，了解指数函数模型的实际背景，让同学们体会数学来源于生活，在这个过程中培养学生用数学化的观点理解现实问题的能力。

师：我们把这三个关系式抽离实际背景.
2,x y =()0.94,x
y = x y 073.1= 问题3：它们的关系能否构成函数？为什么？
请观察这三个函数，这些函数你熟悉吗？它们的函数解析式有什么共同特征？
你能抽象、概括出此类函数一般的“模型”吗？
学生回答教师引导用函数定义（如，自变量，值域，对应关系等）解释为什么？
学生归纳概括得出一般的模型：x y a =.
师：x 是自变量，y 是因变量，描述了这两个变量之间的函数关系，底数a 是个常数.类似于上节课研究指数与指数幂的运算，为使这个函数适用范围更广,希望把函数的定义域扩展为实数集R ，那么对底数a 的取值有什么要求呢？
问题4:函数x y a =中对底数a 的取值有什么要求吗？为什么？
展示问题并先让学生独立思考，再组织学生展开小组讨论并适时进行点拨、评价.老师引导学生思考当a 取a <0和a =0、a =1的数会有什么情况？
①若a <0会有什么问题？（如a =-2则在实数范围内相应的函数值不存在情况比较复杂） ②若a =0会有什么问题？（对于x ≤0，0x 都无意义）
③若a =1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）
老师引导学生总结，得出指数函数的概念:
一般地，函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

【设计意图】通过学生观察思考、讨论总结得出新知，加深对指数函数概念中01a a >≠且的理解，同时培养学生合作学习与交流，发现探索的能力,也为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。

环节二：小组合作，探究新知
回顾研究基本初等函数性质的基本方法和步骤：
先给出函数的定义 作出函数图象 研究函数性质 性质运用解决问题 问题1:我们学过函数的哪些性质?
生：（1）定义域（2）值域（3）单调性（4）奇偶性（5）其它特性
师：对于新学的指数函数，也要研究这个函数性质，那这个函数有什么性质？你打算如何探究归纳出它的性质？（停顿一会儿学生想象）
问：画怎样的函数图象？画x
y a
=吗？
生：通过函数图象研究，可先画几个具体的指数函数的图象，如2x
y=和
1
2
()x
y=等，再归
纳出一般的指数函数性质。

师：图象法，数形结合研究指数函数性质，这是一个方法，还有其它的研究方法吗？引导学生还可以通过函数解析式（代数方法）说明这个函数的特点性质。

按学生说的数形结合的方法研究指数函数性质：
学生活动：请每个小组在不同的坐标系内画出下列指数函数图象.2x
y=；
1
2
x y
⎛⎫= ⎪
⎝⎭
学生自己用列表、描点、连线画出具体的指数函数图象。

教师提出思考：猜想指数函数可能有那些性质？
并利用设备展示学生画的图象，发现学会做函数图像中出现的问题，教师学生互动并点评。

为了更好的研究一般的指数函数图象性质我们多研究些具体的指数函数图象：
3x
y=；5x
y=；
1
3
x
y
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；
1
5
x
y
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；
教师利用几何画板使六个图象在同一坐标系内，给学生提出研究步骤，让学生充分思考并在小组内讨论归纳性质：
问题2：这六个特殊的指数函数图象有什么共同点和不同点？由它们的图象特点你会怎样对它们进行分类?
问题3：当底数变为a（01
a a
>≠
且）时，一般的指数函数图象有什么共同点？能归纳出指数函数的哪些性质？
师生活动：针对思考的问题组织学生采用分组讨论、代表上讲台用图象说明函数性质，图象与解析式对应说话，教师引导点评完善，在生生互动和师生互动中探究问题。

学生在充分讨论后由教师利用“几何画板”演示指数函数图象的形式，让学生仔细观察底数a不断变化时，指数函数图象和性质有何变化，验证学生探究的结果。

问题4：由这些指数函数图象性质，你认为怎样设计一个表格能更清晰的反映出来？
【设计意图】让学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图象，目的是使学生更加信服，加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。

在探究一般指数函数图象性质时采用小组合作共同探究性质，自己归纳并自己设计表格展示性质，整个过程体现了“从具体到抽象，从特殊到一般”的思维方式，使学生的思维得到升华。

.
教师总结：指数函数性质的掌握要数形结合，心中有图，利用图表记住但注意灵活运用。

【设计意图】研究指数函数性质后，继续研究（有时学生会发现）两个特殊指数函数图象关
于y轴对称的关系，引导学生从解析式角度证明这个对称性，使其从现象看到这个问题的本质，并且推广到一般指数函数中，最后再推广到两个一般抽象函数的对称性。

这是一次伟大的数学发现，学生从中体会了几何与代数的关系，达到数与形的完美结合，整个过程中学生
的思维得到锻炼并达到升华。

环节三：学以致用，拓展思维
例1.不通过计算比较下列各组数中各个值的大小：
（1）5.27.1，37.1；（2）1.0
8.0-，2.0
8.0-；
0.8 1.8
11
42
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭（3） 与；
（4）3.07.1，1.39.0；
11
32
(5),(0,1)
a a a a
>≠
且
由（1）（2）让学生回归概念与性质，构造函数，利用单调性比两个函数值的大小。

由（3）（4）让学生寻找中间值，利用这个“桥梁“比大小
（5）构造的函数，通过分类讨论确定单调性，再比较两个函数值的大小。

预想学生作答中的困难可能有：
（1）是否能够构造指数函数，并正确应用函数性质；
(2)若出现不同底是否能够运用指数幂运算化为同底;
(3)对第四个题学生是否能找到合适的中间值；
(4)分类讨论是否考虑了的限制条件。

思考: 你能发现题中所给的各式有哪些共同点和不同点吗？这些特点能否给你解答该题有所启示呢？
师生共同总结：
①当底数相同且明确底数与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．
②当底数不同可以转化成同底数或借助中间值，比较两个数的大小．
③当底数相同但不明确底数与1的大小关系时，要分情况讨论．
环节四：归纳小结，深化目标
思考:本课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？请回忆学习过程，过程中提炼了哪些思想方
法？
（1）数学知识点：指数函数的概念、图象和性质．
（2）研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用.在研究函数性质及途径时，由具体到一般研究问题的方法
（3）数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想.
我们的生活离不开指数函数，指数函数是描述现实中某些变化规律的重要的数学模型，并例举生活中大量的指数函数模型，让学生体会学习指数函数的重要性。

环节五：布置作业，延伸课堂
1、必做题：P64 A 2 B 2
2、选作题：B 3
3.探究题
（1）A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天给A先生2元,,第三天给A先生4元,第四天给A先生8元,依次下去,…，A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗?
（2）根据本节课的研究，对指数函数有了初步认识，请课下查阅相关资料进而分析指数函数是描述哪一类问题的函数，把收获和体会写成一篇简短的数学小论文。

【设计意图】分层次的作业设计满足了不同层次学生的要求，有效地依据学生的能力提高他们的数学水平。

探究题让学生体会指数的增长速度之快，同时让学生感受指数函数是描述现实中某些变化规律的重要的数学模型，激发学生的兴趣。