高考数学 专题十九 几何概型精准培优专练 文-人教版高三全册数学试题

培优点十九 几何概型
例1：某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是______．
【答案】
12
【解析】如图所示，画出时间轴．
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时， 才能保证他等车的时间不超过10分钟，
根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为10101
402
P +=
=． 例2：在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“1
2
1log (121)x -+≤≤”发生的概率为________． 【答案】
3
4
【解析】由12
1log (12
1)x -+≤≤，得
21122x ≤+≤，得302
x ≤≤． 由几何概型的概率计算公式可得所求概率为3
32204
P -==-．
二、与面积有关的几何概型
一、与长度有关的几何概型
例3：在如图所示的扇形AOB 中，π
6
AOB ∠=
，半圆C 切AO 于点D ，与圆弧AB 切于点B ，若随机 向扇形AOB 内投一点，则该点落在半圆C 外的概率为（）
A ．
13
B ．
23
C ．
34
D ．
35
【答案】A
【解析】连接CD ，则CD OA ⊥，
因为π
6
AOB ∠=
，所以2OC CD =， 设半圆C 的半径为r ，则扇形AOB 的半径为3R r =，
半圆C 的面积22
1ππ22
r S r =⨯⨯=，扇形AOB 的面积为2213ππ124r S R '=⨯⨯=
， 则所求概率21
1133
S P S =-
=-='，故选A ． 例4：圆O 内有一内接正三角形，向圆O 内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（）
A B ． C ．D ． 【答案】C
【解析】由题可得，设正三角形的边长为2，
其外接球的直径为22sin 60r =
=︒
，所以其半径为r =4π
3
S =，
由几何概型的概率计算公式可知所求概率为
3
P =
=，故选C ．
例5：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
【答案】π
112
-
【解析】记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，33
314
2π1π23()1212
P A -⨯⨯⨯==-
． 例6：如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．
【答案】π
14
-
【解析】鱼缸底面正方形的面积为224=，圆锥底面圆的面积为π．
三、与体积有关的几何概型的求法
所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是
π1
4 -．
例7：如图，在矩形ABCD中，AB=1
BC=，以A为圆心、1为半径作圆弧DE，点E在线段AB 上，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是（）
A．
1
4
B．
1
3
C．
2
5
D．
3
5
【答案】B
【解析】连接AC交圆弧DE于点M，
在ABC
Rt△中，AB=1
BC=，所以tan
BC
BAC
AB
∠==，即
π
6
BAC
∠=，
要使直线AP与线段BC有公共点，则点P必须在圆弧EM上，
于是所求的概率为
π
1
6
π3
2
P==．故选B．
例8：在Rt ABC
△中，30
A
∠=︒，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则AM AC
>的
概率为________．
四、与角度有关的几何概型的求法
【答案】
16
【解析】设事件D 为“作射线CM ，使AM AC >”． 在AB 上取点C '，使AC AC '=，
因为ACC '△是等腰三角形，所以71005832
ACC ︒-︒
∠'=
=︒， 事件D 发生的区域907515D μ=︒-︒=︒，构成事件总的区域90μΩ=︒，
所以151()906
D P D μμΩ︒==︒=
．
一、选择题
1．在区间[0,2π]上随机取一个数x ，则事件“1
sin 2
x ≤
”发生的概率为（） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
【答案】C
【解析】当[0,2π]x
时，由1sin 2x ≤，得π06x ≤≤或5π
2π6
x ≤≤，
因此所求概率为5ππ
2
6612π3
P -
=-=．故选C ．
对点增分集训
2．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，则这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为（）
A ．
310B ．1
5
C ．
2
5
D ．
45
【答案】B
【解析】因为以线段AP 为边的正方形的面积介于2
25cm 与2
49cm 之间， 所以线段AP 的长度介于5cm 与7cm 之间，
满足条件的P 点对应的线段长2cm ，而线段AB 总长为10cm ，
故正方形的面积介于225cm 与2
49cm 之间的概率为
21
105
=，故选B ． 3．某某某某景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山， 则他等待时间不多于5分钟的概率为（）
A ．
13
B ．
16
C ．
19
D ．
112
【答案】B
【解析】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，
所以他等待时间不多于5分钟的概率为101
606
P =
=．故选B ． 4．在直角坐标系中，任取n 个满足22
1x y +≤的点(),x y ，其中满足||||1x y +≤的点有m 个，则用随机
模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）
A ．
4m
n
B ．
4n m
C ．
2m
n
D ．
2n m
【答案】D
【解析】画出可行域，如图所示，四边形ABCD 的面积为2，其中圆O 的面积为π．
由几何概型的概率计算公式可得
2πm n =，则2πn m
=，故选D ．
5．三棱锥P ABC -的侧棱两两垂直，D 为侧棱PA 的中点，E ，F 分别为棱PB ，PC 上一点，DE ∥平
面ABC ，2PF FC =，若从三棱锥P ABC -内部随机选取一点，则此点取自三棱锥P DEF -内部的概率为（）
A ．
1
12
B ．
18
C ．
16
D ．
13
【答案】C
【解析】因为DE ∥平面ABC ，DE ⊂平面PAB ，平面PAB
平面ABC AB =，
所以DE AB ∥，所以
11212236P DEF P ABC V V --=⨯⨯=，即所求概率为16
．故选C ． 6．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（）
A ．
1
4
B ．
13
C ．
34
D ．
716
【答案】D
【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则所有基本事件构成的区域Ω满足024
024
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩，
这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A ，满足024024||6x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪-≤⎩
，
作出对应的平面区域如图所示，
则这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为Ω242418187()242416
S P A S ⨯-⨯=
==⨯阴．故选D ．
7．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马
P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1AB =，2AD =，3PC =，若在阳马P ABCD -的
外接球内部随机取一点，则该点落在阳马内的概率为（）
A ．
1
27π
B ．
427π
C ．
827π
D ．
49π
【答案】C
【解析】根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，
因为PC =
3=2PA =，
又PA ⊥平面ABCD ，所以1412233P ABCD
V -=⨯⨯⨯=，3
43π329π2
V ⎛⎫=⨯ ⎪⎝=⎭球， ∴4
8327ππ9
2
P =
=．
8．函数2()28(46)f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≥的概率是（）
A ．
310
B ．
23
C ．
35
D ．
45
【答案】C
【解析】由题意，知0)(0f x ≥，即2
00280x x -++≥，解得00{24}|x x -≤≤，
所以由几何概型的概率计算公式可得概率为4(2)3
6(4)5
P --=
=--，故选C ．
9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）
A ．3π
10
B ．3π 20
C ．3π110
-
D ．3π120
-
【答案】D
【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径81517
32
r +-=
=， 所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，
则豆子落在其内切圆外的概率为1
8159π
3π211208152
P ⨯⨯-=
=-⨯⨯． 10．已知实数[2,30]x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率为（）
A ．
514
B ．
914
C ．
59
D ．
49
【答案】B
【解析】已知实数[2,30]x ∈，经过第一次循环，得到21x x =+，2n =； 经过第二次循环，得到2(21)1x x =++，3n =； 经过第三次循环，得到2[2(21)1]1x x =+++，4n =， 输出的值为87x +，令87103x +≥，得12x ≥，
由几何概型的概率计算公式，得到输出的x 不小于103的概率为30129
30214
P -=
=-，故选B ．
11．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）
A ．
413
B
C ．
926
D
【答案】A
【解析】在ABD △中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，
由余弦定理得AB =
，所以DF AB =．
故所求概率为24
13DEF ABC S P S =
==△△．故选A ．
12．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）
A
．2-
B
．4-
C
D
【答案】B
【解析】设圆的半径为r ，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，
且弓形AmB
的面积为222211π1πsin π62364
S r r r =
-⋅⋅=-弓形．
∴所求的概率为222
124(π)
64π24π
4r S P S r r =
-==-弓形
圆
．故选B ．
二、填空题
13．一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为________．
【答案】
4
5
【解析】由题意，将5米长的绳子剪为两段，有一段大于3米的概率为514
55
P -=
=． 14．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个
点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是__________．
【答案】9
【解析】根据题意，可设阴影部分的面积为则正方形的面积为36，
向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，
则向正方形内随机投掷一点，则落到阴影部分的概率为20018004P =
=，而36
S
P =， 则
1
364
S =，解得9S =． 15．中国古代钱币（如图1）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图2，圆形钱币的半径为2cm ，正方形边长为1cm ，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是______．
【答案】114π
-
【解析】圆形钱币的半径为2cm ，则圆的面积为2
4πcm ，正方形边长为1cm ，则正方形的面积为2
1cm ，
∴在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1
14π
P =-
． 16．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为______．
【解析】如图，设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是2π22π
63
⨯=
，
ABC △的面积是1222⨯⨯=
所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，
即
2π
32π3
⨯-=-，
=。