广西师范大学附属外国语学校高考新题型——数学数列多选题专项练习含答案

广西师范大学附属外国语学校高考新题型——数学数列多选题专项练习含答案
一、数列多选题
1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第(
)*
n n ∈N
次得到数列1，
123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++
++，数列{}n a 的前n 项为n S ，
则（ ） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2
332
n a n n =
+
D ．()1
33234
n n S n +=
+- 【答案】ABD 【分析】
根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】
由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,
,,,k x x x x ，2 此时21n k =-
所以12n k +=，故A 项正确；
结合A 项中列出的数列可得： 12
3433339339273392781
a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩
123333(*)n n a n N ⇒=+++
+∈
用等比数列求和可得(
)33132
n n a -=+
则 (
)12
1
331
3
3332
2
n n n a
+++--=+
=+2
3
3
22
n +=+ 又 (
)331
333339
2n n a ⎡⎤
-⎢⎥-=+
-=⎢⎥⎣
⎦
22393332222
n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；
由B 项分析可知(
)()
3313
3312
2
n n
n a -=+=+
即()
2
332
n a n n ≠
+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++
23
1
333322
22n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()
23133132
2
n
n --=
+ 2339424n n +=+-()
133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.
2．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且11
2
n n n S a a +=⋅-，则（ ）
A ．12
d =
B ．11a =
C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列
D ．设(1)n
n n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =
【答案】AC 【分析】
利用已知条件可得1121
2
n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d
的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下2121
2
n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-
，所以11212
n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，1
2
d =
，故选项 A 正确；
当1n =时，1111122a a a ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112
a =-，故选项B 不正确；
由选项A 、B 可知，当112
a =-
，12d =时，()1111222n n
a n =-+-⨯=-，
{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，
同理当()()11
11122
n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =
+时，()221212n n b a n ==+，()21211
2112
n n b a n n --=-=--+=-， 因为2122121
2
n n n n b b a a --+=-+=
， 所以()()()212342122
n n n n T b b b b b b -=++++++=
， 当12n n a =
-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213
122
n n n b a n ---⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以22131
122
n n b b n n -+=-+
-=， 此时()()()22212223212
n n n n n n
T b b b b b b ---=++++++=
， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
3．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是
012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则（ ）
A ．6016a =
B ．18128S =
C ．2
1
2
2k k k a -+=
D ．2
2
21k
k k
S k +=-- 【答案】AC 【分析】
对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()
12
k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C
由C 得到9
552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得
22
k k
S +，即前k 组数之和
18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21
2
22k k k S k ++=--结论计算即可.
【详解】
A.由题可将数列分组
第一组：02 第二组：012,2, 第三组：012
2,2,2, 则前k 组一共有12++…()
12
k k k ++=个数 第k 组第k 个数即1
2k -，故2
1
2
2k k k a -+=，C 对
又
()10101552+=，故9
552a = 又
()
11111662
+=， 60a 则为第11组第5个数
第11组有数：0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故4
60216a ==，A 对
对于D. 每一组的和为0
1
22++ (1)
212
2121
k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221
k k k k k k +-+-=
-=---
212
22
k k k S k ++=--
故D 错. 对于B.
由D 可知，6
15252S =--
()551152
+=，()
661212+=
01261815222252764S S =+++=--+=
故B 错 故选：AC 【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
4．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】BC 【分析】
分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】
在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，
59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，
所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：
（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝
，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2
920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】AB 【分析】
利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到
12n n
a ，进而得到n
b ；利用1
0n
n
b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的
取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】
当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=
21n n S a ∴=-
当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-
1
122n n n
n n a S S a a ，即：12n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
12n n
a
2
920n n a b n n =-+-，21
920
2
n n n n b --+-∴= ()()2
2211191209201128
0222
n n n n n
n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()2
1128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<
又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．
6．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有
21
1n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等
差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0
C ．若32n
n a =-+，则数列{}n a 是等差比数列
D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】
考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】
对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，
21
1n n n n
a a a a +++--无意义，所以A 选项错误；
若等差比数列的公差比为0，
21
2110,0n n n n n n
a a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；
若32n
n a =-+，
21
13n n n n
a a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；
若等比数列是等差比数列，则1
1,1n n q a a q -=≠，
()()
11211111111111n n n
n n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.
故选：BCD 【点睛】
易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
7．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
【答案】BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对; 故选：BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
8．（多选题）已知函数()22()
()
n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则n
a 等于（ ）
A ．()21n -+
B ．21n -
C ．21n
D ．12n -
【答案】AC 【分析】
对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】
当n 为奇数时，()()()()2
2112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，
所以()()()
2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】
易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，
1n +为奇数.
9．下列说法中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+
B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有2
12n n n a a a ++=
C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列
D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列 【答案】AC 【分析】
利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立； 必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-， 可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-=
=-=
，
所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.
所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；
对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有2
12n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B
选项错误；
对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112
n n n d
S na -=+
，()2122122n n n d S na -=+
，()3133132
n n n d
S na -=+， 所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡
⎤⎡⎤-=+-+=+
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡
⎤⎡⎤-=+-+=+
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 所以，
()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+
++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()22n n S S =-，
所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；
对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0， 故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】 方法点睛；
1.判断等差数列有如下方法：
（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）； （2）等差中项法：(
)122n n n a a a n N
*
++=+∈；
（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；
（4）前n 项和法：2
n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.
2.判断等比数列有如下方法： （1）定义法：
1
n n
a q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）； （2）等比中项法：2
12n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠； （3）通项公式法：n
n a p q =⋅（p 、q 为非零常数）； （4）前n 项和法：n
n S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
【答案】AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；。