2019高中数学 课时分层作业14 综合法和分析法 新人教A版选修2-2

课时分层作业(十四) 综合法和分析法
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．证明命题“f(x)＝e x＋1
e x
在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
∵f(x)＝e x＋1
e x ，∴f′(x)＝e x－
1
e x
.
∵x>0，∴e x>1,0<1
e x
<1
∴e x－1
e x
>0，
即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
他使用的证明方法是( )
【导学号：31062147】A．综合法B．分析法
C．反证法D．以上都不是
A[该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]
2．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P，Q，R的大小关系是
( ) A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q
C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P
B[先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)．
又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218＜0，
∴Q＜R，由排除法可知，选B.]
3．要证3
a－
3
b＜
3
a－b成立，a，b应满足的条件是( )
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0有a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
D[要证3
a－
3
b＜
3
a－b，
只需证(3
a－
3
b)3＜(
3
a－b)3，
即证a －b －33a 2b ＋33ab 2
＜a －b ， 即证3ab 2＜3a 2
b ，
只需证ab 2
＜a 2
b ，即证ab (b －a )＜0. 只需ab ＞0且b －a ＜0或ab ＜0，且b －a ＞0. 故选D.]
4．下面的四个不等式：
①a 2＋b 2＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；
③b a ＋a b
≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2
. 其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
C [∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12
[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2
]≥0，
a (1－a )－14＝－a 2＋a －14
＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫
a －12
2≤0，
(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2
≥a 2c 2
＋2abcd ＋b 2d 2
＝(ac ＋bd )2
.∴应选C.]
5．若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2
－3m 有解，则实数m 的取值范
围是( )
【导学号：31062148】
A ．(－1,4)
B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C ．(－4,1)
D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)
B [∵x >0，y >0，1x ＋4
y
＝1，
∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2＋y 4x ＋4x y
≥2＋2
y 4x ·4x
y
＝4， 等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立， ∴x ＋y
4的最小值为4，
要使不等式m 2
－3m >x ＋y
4
有解，
应有m 2
－3m >4，
∴m <－1或m >4，故选B.] 二、填空题
6．如图2­2­2所示，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥
A 1C (写上一个条件即可)．
图2­2­2
[解析] 要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . [答案] AC ⊥BD (答案不唯一)
7．已知sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，则cos(α－β)的值为________.
【导学号：31062149】
[解析] 由sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，得sin α＋sin β＝－sin r ，cos α＋cos β＝－cos r ，
两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos(α－β)＝－12
. [答案] －1
2
8．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________1
2
[lg(1＋a )＋lg(1＋
b )]．
[解析] ∵(1＋ab )2
－(1＋a )(1＋b ) ＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋
b )＝－(a －b )2≤0.
∴(1＋ab )2
≤(1＋a )(1＋b )，
∴lg(1＋ab )≤1
2[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．
[答案] ≤ 三、解答题
9. 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证：a x ＋c y
＝2.
[证明] 由已知条件得b 2
＝ac ， 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c . ①
要证a x ＋c y
＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy . ②
由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 10. 设a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证： (1)c 2
＞ab ；
(2)c －c 2
－ab ＜a ＜c ＋c 2
－ab .
[证明] (1)∵a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ≥2ab ， ∴c ＞ab ， 平方得c 2＞ab ；
(2)要证c －c 2
－ab ＜a ＜c ＋c 2
－ab . 只要证－c 2
－ab ＜a －c ＜c 2
－ab . 即证|a －c |＜c 2
－ab ， 即(a －c )2
＜c 2
－ab ，
∵(a －c )2
－c 2
＋ab ＝a (a ＋b －2c )＜0成立， ∴原不等式成立．
[能力提升练]
1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋
，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )
A ．A ≤
B ≤
C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A
D ．C ≤B ≤A
A [ a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ab a ＋b . 即A ≤B ≤C .]
2．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )
A ．a 2＋b 2＋c 2
≥2 B ．(a ＋b ＋c )2
≥3 C.1a ＋1b ＋1
c
≥2 3
D ．abc (a ＋b ＋c )≤1
3
B [∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2
＋b 2
≥2ab ，
b 2＋
c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，
∴a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ac ＝1，
又(a ＋b ＋c )2
＝a 2
＋b 2
＋c 2
＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2
＋b 2
＋c 2＋2≥3.] 3．若对任意x >0，
x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.
【导学号：31062150】
[解析] 若对任意x >0，
x x 2
＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝x
x 2＋3x ＋1
的最大值，且令a
不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝
x
x 2
＋3x ＋1
＝
1
x ＋1
x
＋3≤1
2
x ·1
x
＋3＝1
5
，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a
的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫15，＋∞. 4．已知x 1是方程x ＋2x
＝4的根，x 2是方程x ＋log 2x ＝4的根，则x 1＋x 2的值是________． [解析] ∵x ＋2x
＝4，∴2x
＝4－x ，∴x 1是y ＝2x
与y ＝4－x 交点的横坐标． 又∵x ＋log 2x ＝4，∴log 2x ＝4－x ，∴x 2是y ＝log 2x 与y ＝4－x 交点的横坐标． 又y ＝2x
与y ＝log 2x
互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝4－x ，
y ＝x 得x ＝2，
∴
x 1＋x 2
2
＝2，∴x 1＋x 2＝4.
[答案] 4
5．求证抛物线y 2
＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p
2
相切.
【导学号：31062151】
[证明] 如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作
MM ′垂直准线．
要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝1
2|AB |，
由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，
因此只需证|MM ′|＝1
2(|AA ′|＋|BB ′|)
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p
2相切.。