(浙教版)备考2020中考数学考点导学案设计 一元一次方程(含解析)

第7课时 一元一次方程
【考点整理】
1．等式的概念和等式的性质
等式：表示相等关系的式子，叫做等式．
等式的性质： (1)等式两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得的结果仍相等．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；
(2)等式两边都乘以(或都除以)同一个数或式(除数不能为0)，所得的结果仍是等式．如果a ＝b ，那么__________，或_____________．
2．方程的概念
方程：含有未知数的等式叫做方程．
一元一次方程的概念：只含有____个未知数，且未知数的最高次数是____次的整式方程，叫做一元一次方程．
方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．
解方程：求方程解的过程叫做解方程．
3．一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)_________：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，注意别漏乘．
(2)__________：注意括号前的系数与符号．
(3)________：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号．
(4)_____________：把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式．
(5)__________：方程两边同除以x 的系数，得x ＝b a
(a ≠0)的形式．
4．一元一次方程的应用
一般步骤：
(1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． (2)设：设未知数，设其中某个未知量为x . (3)列：根据题意寻找等量关系列方程。

(4)解：解方程． (5)验：检验方程的解是否符合题意． (6)答：写出答案(包括单位)．
【智慧锦囊】
1．行程问题中的基本量之间的关系：路程＝速度×时间．
(1)相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
(2)追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；
(3)流水问题：v 顺＝v ＋v 水，v 逆＝v －v 水．
2．等积变形：变化前的体积＝变化后的体积．
3．银行利率问题：本金×利息税率＝利息税；本金＋利息－利息税＝实得本利和．
4．利润中的等量关系：
(1)毛利润＝售出价－进货价；
(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用；
(3)利润率＝利润÷进货价．
【解题秘籍】
1．列方程解应用题寻找等量关系的常用方法
(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)画图或列表格；(4)运用数学公式．
2．整体思想方法
当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看成一个整体来进行运算，从而使运算简便，这就是整体思想的重要体现．
【易错提醒】
1．解方程易错点
(1)去括号可用分配律，注意符号，不要漏乘，含多重括号的，按去括号法则去括号；
(2)去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，不要漏乘常数项，若分子是多项式，则要把它看成一个整体．
2．列方程解应用题易错点
找等量关系时，要抓住关键词语，如：多、少、共、几分之几、倍等，设未知数时，可以采取直接设元，也可以采用间接设元，尤其要注意间接设未知数时，最后要回归到题目中的问题，注意答题不要答非所问.
【题型解析】
1. 等式的概念及性质
【例题1】如图，天平中的物体a，b，c使天平处于平衡状态，则质量最大的物体是____.
2. 一元一次方程的有关概念
【例题2】（2019▪贵州毕节▪3分）如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项，那么m等于（）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
3. 一元一次方程的解法
【例题3】（2019•湖南怀化•4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
4. 一元一次方程的应用
【例题4】(2019安徽)（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【同步检测】
一、选择题：
1. （2019•湖南怀化•4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
2. 如图7－2①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20 g的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的一个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图7－2②，则被移动的玻璃球质量为( )
A．10 g B．15 g C．20 g D．25 g
3. （2019•湖南湘西州•4分）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
4. （2019•湖南岳阳•4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5
尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺．
A．7
20
B．
5
21
C． D．
6
25
5. （2019•湖北省荆门市•3分）欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）
A．盈利 B．亏损C．不盈不亏 D．与售价a有关
二、填空题：
6. （2019▪贵州毕节▪5分）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是元．
7. （2019•湖南株洲•3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．
8. （2019•甘肃•6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则共有人，辆车。

三、解答题
9. （2019•广东•7分）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮球的价格为70元，毎个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？
10. “绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各多少个？
11. （2019•甘肃•6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
12. (2019安徽)（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【参考答案】
【考点整理】：1.a c ＝b c
(c ≠0), ac ＝bc; 2.一,一;3. 去分母, 去括号 ,移项 , 合并同类项 , 系数化1
【题型解析】
1. 等式的概念及性质
【例题1】如图，天平中的物体a，b，c使天平处于平衡状态，则质量最大的物体是____.
【解析】当两个天平都平衡时，2a＝3b，2b＝3c，由等式的基本性质，得4a＝6b，6b＝9c，即4a ＝6b＝9c，则质量最大的物体是a.
2. 一元一次方程的有关概念
【例题2】（2019▪贵州毕节▪3分）如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项，那么m等于（）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可．
【解答】解：根据题意可得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2，选：A．
3. 一元一次方程的解法
【例题3】（2019•湖南怀化•4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．
【解答】解：x﹣2＝0，
解得：x＝2．
故选：A．
4. 一元一次方程的应用
【例题4】(2019安徽)（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
146-26
=10（天）
7+5
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【同步检测】
一、选择题：
1. （2019•湖南怀化•4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．
【解答】解：x﹣2＝0，
解得：x＝2．
故选：A．
2. 如图7－2①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20 g的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的一个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图7－2②，则被移动的玻璃球质量为( )
A．10 g B．15 g C．20 g D．25 g
【解析】设左盘玻璃球质量为m g，则右盘玻璃球质量为
(m－40)g，设被移动的玻璃球的质量为x g，
根据题意，得m－x＝m－40＋20＋x，
解得x＝10.
3. （2019•湖南湘西州•4分）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】直接把x＝2代入进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，
∴3×2﹣2k+2＝0，
解得：k＝4．
故答案为：4．故选B。

4. （2019•湖南岳阳•4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺．
A．7
20 B．5
21
C． D．6
25
【分析】直接根据题意表示出5天每天织布的尺数，进而得出方程求出答案．
【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：
x+2x+4x+8x+16x＝5，
解得：x＝，
即该女子第一天织布尺．
故答案为：．
故选C。

5. （2019•湖北省荆门市•3分）欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（）
A．盈利B．亏损
C．不盈不亏D．与售价a有关
【分析】设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x（1+20%）＝a，设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y（1﹣20%）＝a，得出x（1+20%）＝y（1﹣20%），整理得：3x＝2y，则两件衣服总的盈亏就可求出．
【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，
依题意得：x（1+20%）＝a，
设第二件衣服的进价为y元，
依题意得：y（1﹣20%）＝a，
∴x（1+20%）＝y（1﹣20%），
整理得：3x＝2y
该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，
即赔了0.1x元，
故选：B．
二、填空题：
6. （2019▪贵州毕节▪5分）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，
为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是元．
【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可．
【解答】解：设这种商品的进价是x元，
由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．
解得：x＝2000，
故答案为2000
7. （2019•湖南株洲•3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．
【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间＝路程，即可求出t 值，再将其代入路程＝速度×时间，即可求出结论．
【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，
根据题意得：（100﹣60）t＝100，
解得：t＝2.5，
∴100t＝100×2.5＝250．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
故答案是：250．
8. （2019•甘肃•6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则共有人，辆车。

【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设共有x人，
根据题意得：+2＝，
去分母得：2x+12＝3x﹣27，
解得：x＝39，
∴＝15，
则共有39人，15辆车．
三、解答题
9. （2019•广东•7分）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮
球的价格为70元，毎个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？
【解析】：（1）设购买篮球x个，则足球（60-x）个.
由题意得70x+80（60-x）=4600，解得x=20
则60-x=60-20=40.
答：篮球买了20个，足球买了40个.
（2）设购买了篮球y个.
由题意得70y≤80（60-x），解得y≤32
答：最多可购买篮球32个.
10. “绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各多少个？
【分析】设市县级自然保护区有x个，则省级自然保护区有（x+5）个，根据国家级、省级和市县级自然保护区共49个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设市县级自然保护区有x个，则省级自然保护区有（x+5）个，
根据题意得：10+x+5+x=49，
解得：x=17，
∴x+5=22．
答：省级自然保护区有22个，市县级自然保护区有17个．
11. （2019•甘肃•6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设共有x人，
根据题意得：+2＝，
去分母得：2x+12＝3x﹣27，
解得：x＝39，
∴＝15，
则共有39人，15辆车．
（浙教版）备考2020中考数学考点导学案设计 一元一次方程（含解析）
11 / 11 12. (2019安徽)（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【分析】设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进（x ﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进（x ﹣2）米，
由题意，得2x +（x +x ﹣2）＝26，
解得x ＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．。