函数的单调性、极值与最值问题

函数的单调性、极值与最值问题

典例9 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 审

题

路

线

图

求f ′(x )

――――――→讨论f ′(x )

的符号

f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.

评分细则(1)函数求导正确给1分；

(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；

(3)求出最大值给2分；

(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；

(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．

跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)＝a x，g(x)＝log a x，其中a>1.

(1)求函数h(x)＝f(x)－x ln a的单调区间；

(2)若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2，

g(x2))处的切线平行，证明x1＋g(x2)＝－2ln ln a ln a；

(3)证明当a≥1e e时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线．

(1)解由已知得h(x)＝a x－x ln a，

则h′(x)＝a x ln a－ln a.

令h′(x)＝0，解得x＝0.

由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：

所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．

(2)证明由f′(x)＝a x ln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处

的切线斜率为1x a ln a．由g′(x)＝

1

x ln a，可得曲线y＝g(x)在点

(x 2，g (x 2))处的切线斜率为1x 2ln a .因为这两条切线平行，所以

有1

x a

ln a ＝1

x 2ln a

，

即x 21

x a (ln a )2＝1，两边取以a 为底的对数，得log a x 2＋x 1＋2log a ln a ＝0，所以x 1＋g (x 2)＝－2ln ln a

ln a

.

(3)证明 曲线y ＝f (x )在点(x 1，1

x a )处的切线为l 1：y －1

x a ＝1

x a ln

a ·(x －x 1)．曲线y ＝g (x )在点(x 2，log a x 2)处的切线为l 2：y －log a x 2＝1x 2ln a

(x －x 2)． 要证明当a ≥1

e

e 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝

f (x )的切线，也是曲线y ＝

g (x )的切线，只需证明当a ≥1e

e 时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使得l 1与l 2重合． 即只需证明当a ≥1e

e 时，下面的方程组有解

⎩⎪⎨⎪⎧

1

x a ln a ＝1

x 2ln a ， ① 1

x a －x 11

x a ln a ＝log a x 2－1ln a ， ②

由①得，x 2＝1

1

x a (ln a )

2，代入②， 得1

x a －x 11

x a

ln a ＋x 1＋1ln a ＋2ln ln a

ln a

＝0.③

因此，只需证明当a ≥1

e

e 时，关于x 1的方程③存在实数解． 设函数u (x )＝a x

－xa x

ln a ＋x ＋1ln a ＋2ln ln a

ln a

，

即要证明a ≥1

e

e 时，函数u (x )存在零点．

u ′(x )＝1－(ln a )2xa x ，可知当x ∈(－∞，0)时，u ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，u ′(x )单调递减，又

u ′(0)＝1>0，u ′⎝ ⎛⎭

⎪

⎪

⎫

1(ln a )2＝1－1

(ln )a a <0，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得u ′(x 0)＝0，即1－(ln a )2x 00

x a ＝0.

由此可得u (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．

u (x )在x ＝x 0处取得极大值u (x 0)． 因为a ≥1

e

e ，所以ln ln a ≥－1， 所以u (x 0)＝0

x a －x 00

x a

ln a ＋x 0＋1ln a ＋2ln ln a

ln a

＝1x 0(ln a )

2＋x 0＋2ln ln a ln a ≥2＋2ln ln a

ln a ≥0. 下面证明存在实数t ，使得u (t )<0. 由(1)可得a x ≥1＋x ln a ，

当x >1ln a 时，有u (x )≤(1＋x ln a )(1－x ln a )＋x ＋1ln a ＋2ln ln a ln a ＝

－(ln a )2x 2

＋x ＋1＋1ln a ＋2ln ln a ln a

，

所以存在实数t ，使得u (t )<0.

因此当a ≥1e

e 时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，使得u (x 1)＝0. 所以当a ≥1

e e 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝

f (x )的切线，也