云南省昆明市光华学校高三数学理模拟试卷含解析

云南省昆明市光华学校高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数的导函数为，若为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则的图像可能为（）
A．B．
C. D．
参考答案：
C
2. 用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为
A．
B．
C．
D．
参考答案：B
3. 设是周期为的偶函数，当时，，则（）
参考答案：
B
略
4. 已知双曲线的一个焦点与抛物线= 24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为300，则该双曲线的标准方程为
参考答案：
B
【知识点】抛物线的简单性质．H7
解析：抛物线= 24y的焦点为（0，6），
即有双曲线的焦点为（0，±6），
设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），则c=6，
由渐近线方程为．则有，
又a2+b2=c2，解得a=3，b=3，则双曲线的方程为．
故选B．
【思路点拨】出抛物线的焦点，即有c=6，求得渐近线方程即有，结合a，b，c
的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．
5. 函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，
则（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
试题分析：因为,故
,故应选C.
考点：函数的周期性和奇偶性及运用.
6. 一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
（A）（B）
（C）
（D）
参考答案：
B
试题分析：由三视图可知，这是半个圆柱和三棱柱组成的几何体，所以体积为
.
考点：三视图.7. 将函数的图象如右平移个单位后得到函数的图象，则
的值为
A． B．-
1 C． D．2
参考答案：
A
8. 设分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点，使，且
，则双曲线离心率为（）
A．B． C．D．
参考答案：
B
9. 在区间上任选两个数和，则的概率为
A. B. C. D.
参考答案：
D
10. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
【答案解析】A 解析：经过变换后的新函数为，而对称轴是函数取得最值的x 值，经检验选项A成立，所以选A.
【思路点拨】先依题意得到变换后的新函数，再根据对称轴的意义确定选项.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合，，
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
参考答案：
略
12. 如图，四面体中，两两垂直，且. 给出下列命题：
①存在点（点除外），使得四面体仅有3个面是直角三角形；
②存在点，使得四面体的4个面都是直角三角形；
③存在唯一的点，使得四面体是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面
正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；
④存在唯一的点，使得四面体与四面体的体积相等；
⑤存在无数个点，使得与垂直且相等.
其中正确命题的序号是▲．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：
①②⑤
略
13. 已知函数，将f(x)的图像与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．
参考答案：
【知识点】旋转体 G8
解析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为
【思路点拨】由题意可求出组合体的体积.
14. 如图，直径AB=2，C是圆O上的一点，连接BC并延长至D，使|CD|＝|BC|，若AC与OD的交点P，，则
参考答案：
2
15. 已知函数，若，则实数a 的取值范围是
；
参考答案：
因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.
16. 在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，2），对于任意不全为零的实数a、b，直线l：a（x﹣1）+b（y+2）=0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是．
参考答案：
[0，5]
【考点】IT：点到直线的距离公式．
【分析】由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l 过P时，d取得最小值0，可得结论．
【解答】解：由题意，直线过定点Q（1，﹣2），PQ⊥l时，d取得最大值=5，直线l过P时，d取得最小值0，
∴d的取值范围[0，5]，
故答案为[0，5]．
17. 若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为▲．
参考答案：
2
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)已知函数 y = f (x) 的定义域为R，其导数 f '(x) 满足 0 < f '(x) < 1，常数α为方程 f (x) = x的实数根。

(1) 求证：当 x > α时，总有 x > f (x) 成立；
(2) 对任意 x1、x2若满足| x1－α | < 1,| x2－α | < 1,求证：| f (x1)－f (x2)| < 2. 参考答案：
(1)证明：令 g(x) = x－f (x)则 g '(x) = 1－f '(x)
∵ 0 < f '(x) < 1 ∴ g '(x) = 1－f '(x) > 0
∴函数 g(x) = x－f (x)为R增函数
∴当 x > α时 g(x) = x－f (x) > α－f (α) = 0
∴当 x > α时，总有 x > f (x) 成立 ---------6分
(2)证明：∵ | x1－α | < 1,| x2－α | < 1
∴α－1 < x1 < α + 1;α－1 < x2 < α + 1 又 0 < f '(x) < 1
∴ f (x) 在R是增函数
∴ f (α－1) < f (x1) < f (α + 1); f (α－1) < f (x2) < f (α + 1)
∴ f (α－1)－f (α + 1) < f (x1)－f (x2) < f (α + 1)－f (α－1)
∴ | f (x1)－f (x2) | < f (α + 1)－f (α－1)
由 (1) 知： f (α + 1) < α + 1 ；－f (α－1) < －(α－1)
∴ | f (x1)－f (x2) | < f (α + 1)－f (α－1) < 2
∴ | f (x1)－f (x2) | < 2. -----------13分
19. (本小题满分12分)
在中，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求.
参考答案：
20. （本小题满分7分）设函数f(x)=|x－4|+,
（Ⅰ）求f(x)的最小值m
（Ⅱ）当(a,b,c∈R)时,求的最小值.参考答案：
(Ⅰ)法1: f(x)=|x－4|+≥|(x－4)－(x－3)|=1,
故函数f(x)的最小值为1. m =1.………4分
法2:. ……1分
x≥4时,f(x)≥1;x<3时,f(x)>1,3≤x<4时,f(x)=1, ……3分
故函数f(x)的最小值为1. m =1.……4分
(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1……5分
故a2+b2+c2≥………6分
当且仅当时取等号……7分
21. （本小题12分）已知函数
（1）求的最小正周期。

（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值。

参考答案：
（1）
……………3分
………5分
于是。

…………………………6分
（2）由已知得……………………8分
∵，∴
∴，…………………………10分
∴…………………………12分
故函数在区间上的最大值为，最小值为。

22. 已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P为圆O上任意一点．
（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为θ=，求|PQ|得长；
（2）已知D（2，π），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，即可求出|PQ|；
（2）求出A，B，D的直角坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．
【解答】（1）解：θ=代入ρ=4sinθ，可得ρ=2，
∴|PQ|=2﹣2；
（2）证明：由题意，A（﹣，1），B（，1），D（0，﹣2），
设P（x，y），则|PA|2+|PB|2+|PD|2=（x+）2+（y﹣1）2+（x﹣）2+（y﹣1）2+x2+（y+2）2=3（x2+y2）+12=24，为定值．
【点评】本题考查极坐标方程，考查两点间的距离公式，比较基础．。