函数的零点-高中数学知识点讲解(含答案)

函数的零点（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共3小题）
1．（2014•海淀区校级模拟）函数13
1
()2x
f x x =-的零点所在区间是( ) A ．1
(0,)6
B ．11(,)63
C ．11(,)32
D ．1(,1)2
2．（2014•房山区一模）函数212
()log f x x x =- 的零点个数为( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．（2013•延庆县一模）已知函数2()()2()f x x a b x ab a b =-+++<的两个零点为α，()βαβ<，则实数a ，b ，α，
β的大小关系是( )
A ．a b αβ<<<
B ．a b αβ<<<
C ．a b αβ<<<
D ．a b αβ<<<
二．填空题（共6小题）
4．（2015•海淀区二模）已知()cos f x x lnx =，0101()()0()f x f x x x ==≠，则01||x x -的最小值是 ．
5．（2015秋•海淀区校级期中）函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是 （填写下列正确函数的序号）． ①43
()x f x x
-=
②2()(1)f x x =-③()1x f x e =-④()41f x x =-． 6．（2015•北京）设函数2,
1
()4()(2),
1
x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨
--⎩， ①若1a =，则()f x 的最小值为 ；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．
7．（2015•东城区二模）已知函数()cos ((0f x x x =∈，2))π有两个不同的零点1x ，2x ，且方程()f x m =有两个不同的实根3x ，4x ，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ．
8．（2012秋•西城区期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0xf x >的x 的取值范围是 ．
9．（2013春•海淀区校级期中）已知关于x )4x k π
+=在[0，]π上有两解，则实数k 的取值范围是 ．
三．解答题（共2小题）
10．（2019秋•房山区期末）已知函数()log (3)a f x x =-，其中0a >且1a ≠． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的零点；
（Ⅲ）比较(1)f -与f （1）的大小．
11．（2011秋•东城区校级期中）若2()f x ax bx c =++为一元二次函数，且f （1）2
a
=-，2a c b >>；
)（1）试判别a ，b 的符号；
)（2）求函数()y f x =图象被x 轴所截得弦长的范围； )（3）求证：()f x 在(0,2)在至少存在一个零点．
函数的零点（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2014•海淀区校级模拟）函数13
1
()2x
f x x =-的零点所在区间是( ) A ．1
(0,)6
B ．11(,)63
C ．11(,)32
D ．1(,1)2
【分析】如果函数()y f x =在区间[a ，]b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）f （b ）0<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点．据此可判断出有零点的区间． 【解答】解：
f （1）0=，31()0222
f =-
>，331()0332f =-<． ∴1
1()()03
2
f f ⨯<，
根据函数零点的判断定理可知：函数1
3
1()2x f x x =-在区间11
(,)32
内一定有零点． 故选：C ．
【点评】理解函数零点的判断定理是解题的关键．
2．（2014•房山区一模）函数212
()log f x x x =- 的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【分析】由题意可得，本题即求函数2y x =的图象和函数12
log y x = 的图象的交点个数，数形结合可得结论．
【解答】解：函数212
()log f x x x =- 的零点个数即为函数2y x =的图象和函数12
log y x = 的图象的交点个数．
如图所示：数形结合可得，函数2y x =的图象和函数12
log y x = 的图象的交点个数为1，
故选：B ．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
3．（2013•延庆县一模）已知函数2()()2()f x x a b x ab a b =-+++<的两个零点为α，()βαβ<，则实数a ，b ，α，
β的大小关系是( )
A ．a b αβ<<<
B ．a b αβ<<<
C ．a b αβ<<<
D ．a b αβ<<<
【分析】2()()()()g x x a b x ab x a x b =-++=--则函数()f x 的图象可以看成把函数()g x 的图象向上平移2个单位得到的，数形结合可得实数a ，b ，α，β的大小关系．
【解答】解：函数2()()2()()2f x x a b x ab x a x b =-+++=--+ 的两个零点为α、β， 设2()()()()g x x a b x ab x a x b =-++=--，则a 、b 是函数()g x 的两个零点， 则函数()f x 的图象可以看成把函数()g x 的图象向上平移2个单位得到的，如图所示： 故有a b αβ<<<， 故选：A ．
【点评】本题主要考查不等式与不等关系，函数图象的平移规律，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 二．填空题（共6小题）
4．（2015•海淀区二模）已知()cos f x x lnx =，0101()()0()f x f x x x ==≠，则01||x x -的最小值是 12
π
- ．
【分析】根据0101()()0()f x f x x x ==≠，令()0f x =，求出x 的值，即得01||x x -的最小值． 【解答】解：
()cos f x x lnx =，0101()()0()f x f x x x ==≠，
∴令()0f x =，得cos 0x =或0lnx =；
解得2
x k π
π=
+，k Z ∈或1x =；
01||x x ∴-的最小值是
12
π
-．
故答案为：
12
π
-．
【点评】本题考查了求函数零点的应用问题，是基础题目．
5．（2015秋•海淀区校级期中）函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是 ④ （填写下列正确函数的序号）．
①43
()x f x x
-=
②2()(1)f x x =-③()1x f x e =-④()41f x x =-． 【分析】先判断()g x 的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25．
【解答】解：
()422x g x x =+-在R 上连续递增，且13()042g =<，1
()212102
g =+-=>．
设()422x g x x =+-的零点为0x ，则011
42
x <<， 011044x <-
<，011
||44
x ∴-<． 又43
()x f x x
-=
零点为34x =；2()(1)f x x =-零点为1x =；
()1x f x e =-零点为0x =；()41f x x =-零点为1
4
x =， 故答案为④．
【点评】本题考查判断函数零点所在的区间以及求函数零点的方法，属于基础题． 6．（2015•北京）设函数2,
1
()4()(2),
1
x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨
--⎩， ①若1a =，则()f x 的最小值为 1- ；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．
【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设()2x h x a =-，()4()(2)g x x a x a =--，分两种情况讨论，即可求出a 的范围． 【解答】解：①当1a =时，21,1
()4(1)(2),1x x f x x x x ⎧-<=⎨--⎩
，
当1x <时，()21x f x =-为增函数，()1f x >-，
当1x >时，223
()4(1)(2)4(32)4()12
f x x x x x x =--=-+=--，
当3
12
x <<时，函数单调递减，当32x >时，函数单调递增，
故当32x =
时，3
()()12
min f x f ==-， ②设()2x h x a =-，()4()(2)g x x a x a =-- 若在1x <时，()h x =与x 轴有一个交点，
所以0a >，并且当1x =时，h （1）20a =->，所以02a <<， 而函数()4()(2)g x x a x a =--有一个交点，所以21a ，且1a <， 所以
1
12
a <，
若函数()2x h x a =-在1x <时，与x 轴没有交点， 则函数()4()(2)g x x a x a =--有两个交点，
当0a 时，()h x 与x 轴无交点，()g x 无交点，所以不满足题意（舍去），
当h （1）20a =-时，即2a 时，()g x 的两个交点满足1x a =，22x a =，都是满足题意的， 综上所述a 的取值范围是
1
12
a <，或2a ． 【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．
7．（2015•东城区二模）已知函数()cos ((0f x x x =∈，2))π有两个不同的零点1x ，2x ，且方程()f x m =有两个不同
的实根3x ，4x ，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ． 【分析】函数()cos ((0f x x x =∈，2))π有两个不同的零点1x ，2x ，可知12x π=，23
2x π=，因为方程()f x m =有两
个不同的实根3x ，4x ，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：0m >和0m <，再利用等差数列的性质进行求解；
【解答】解：函数()cos ((0f x x x =∈，2))π有两个不同的零点1x ，2x ， 12x π
∴=
，23
2
x π=，方程()f x m =有两个不同的实根3x ，4x ，若把这个数按从小到大排列构成等差数列， 若0m >则，3x ，2π，32π，4x ，构成等差数列，可得公差322d πππ=-=，则1022x ππ
π=-=-<，显然不可能； 若0m <则，2π，3x ，4x ，32π，构成等差数列，可得公差3322d ππ=-，解得3d π=，323
x ππ
∴=+，
35cos 6m x π==
=，
故答案为：； 【点评】此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题，涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；
8．（2012秋•西城区期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0xf x >的x 的取值范围是 (2-，0)(0⋃，2) ．
【分析】利用已知函数当0x >时的单调性和奇函数的对称性画出图象即可解出．
【解答】解：由()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，可以画出图象， 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，因此其图象关于原点对称，且(0)0f =，据此画出图象． ①当0x >时，()0xf x >，()0f x ∴>，因此02x <<； ②当0x <时，
()0xf x >，()0f x ∴<，因此20x -<<．
综上可知：满足()0xf x >的x 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)． 故答案为(2-，0)(0⋃，2)．
【点评】熟练掌握奇函数的对称性和分类讨论的思想方法是解题的关键．
9．（2013春•海淀区校级期中）已知关于x 的方程2)4
x k π
+=在[0，]π上有两解，则实数k 的取值范围是
12k < ．
【分析】利用三角函数的图象与性质即可求出． 【解答】解：0x π，∴54
44
x π
π
π
+
，∴2sin()14
x π
+，1
2sin()
24
x π
-+．
又
()2)4
f x x k π
=+=在[0，]π上有两解，∴12k <．
∴实数k 的取值范围是12k <．
故答案为12k <．
【点评】熟练掌握三角函数的图象与性质是解题的关键． 三．解答题（共2小题）
10．（2019秋•房山区期末）已知函数()log (3)a f x x =-，其中0a >且1a ≠． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的零点；
（Ⅲ）比较(1)f -与f （1）的大小．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得30x ->，解可得函数的定义域，即可得答案； （Ⅱ）根据题意，()log (3)0a f x x =-=，解可得x 的值，即可得答案； （Ⅲ）根据题意，对a 分情况讨论，结合对数函数的性质分析可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，()log (3)a f x x =-，则有30x ->，解可得3x <， 即函数的定义域为(,3)-∞；
（Ⅱ）根据题意，()log (3)0a f x x =-=，则有31x -=，解可得2x =， 即函数()log (3)a f x x =-的零点为2；
（Ⅲ）(1)log (31)log 4a a f -=+=，f （1）log (31)(1)log 2a a f =-=-=， 当1a >时，(1)f f ->（1）， 当01a <<时，f （1）(1)f >-；
【点评】本题对数函数的性质，涉及函数的零点计算，属于基础题．
11．（2011秋•东城区校级期中）若2()f x ax bx c =++为一元二次函数，且f （1）2
a =-，2a c
b >>；
)（1）试判别a ，b 的符号；
)（2）求函数()y f x =图象被x 轴所截得弦长的范围； )（3）求证：()f x 在(0,2)在至少存在一个零点．
【分析】（1）利用2()f x ax bx c =++为一元二次函数，且f （1）2a =-，可得2
a
a b c ++=-，结合2a c b >>，即可
判别a ，b 的符号；
（2）12||x x -21b
a
-<<-，即可求函数()y f x =图象被x 轴所截得弦长的范围；
（3）(0)ff c =，f （2）42a b c a c =++=-，分类讨论，结合f （1），即可证明()f x 在(0,2)在至少存在一个零点． 【解答】（1）解：2()f x ax bx c =++为一元二次函数，且f （1）2
a =-，
2a a b c ∴++=-
，3
2
c b a ∴=--， 2a c b >>， 23a b a b ∴>-->， 0a b ∴+>，a b >， 0a ∴>，0b <；
（2）解：由（1）得232c a b =--①；21b
a
-<<-．② 设方程()0f x =的两根为1x 、2x ， 则12b x x a +=-，③1232c b
x x a a ==--，④
由③④得12||x x -=
由②12||x x <-<
即函数()y f x =的图象被x 轴截得的弦长的取值范围是．
（3）证明：由（1）得3
2
b a
c =--，
(0)f c ∴=，f （2）42a b c a c =++=-．
1︒当0c 时，0a >，f ∴（1）02
a
=-<且f （2）0a c =->．
()0f x ∴=在区间(1,2)内至少有一个实数根．
2︒当0c >时，0a >，(0)0f c ∴=>且f （1）02
a
=-<．
()0f x ∴=在区间(0,1)内至少有一个实数根．
综合1︒和2︒，得()0f x =在(0,2)内至少有一个实数根．
【点评】本题考查二次函数，考查函数()y f x =的图象被x 轴截得的弦长的取值范围，考查方程的根，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。