高中数学初高中衔接读本专题5.2三角形的重心垂心外心和内心高效演练学案

第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心
三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。

三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。

初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。

如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。

在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。

【知识梳理】
三角形的四心
(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心． (3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等． 【高效演练】
1．如图所示，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC ＋∠PCA ＋∠PAB ＝ 度．
2．设M 为ABC △的重心，且3AM =，4BM =，5CM =，则ABC △的面积为 ．
【解析】由3AM =，4BM =，5CM =，有222AM BM CM +=， 知两中线AD ，BE 垂直． 于是3
182
ABC S AM BM =⋅⋅=△． 【答案】18
3．已知H 、O 分别为锐角ABC △的垂心和外心，OD BC ⊥，垂足为D ，则AH OD =∶________． 【解析】可延长BO 交ABC △的外接圆于E ，证明四边形AHCE 为平行四边形即可． 【答案】2∶1
4. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，在OB 上任取一点P ，连结AP ，过D 作AP 垂线 交OA 于Q 点． 求证：OP ＝OQ ．
【解析】 在△APD 中，由AO⊥PD，DQ⊥AP 可知，点Q 是△APD 的垂心，连结PQ ，必有PQ⊥AD． ∵AB⊥AD，∴PQ∥BA， ∴
OP OQ
OB OA
=
又∵OA＝OB ，∴OP＝OQ ．
5. 如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，过BC 的中点D 作DE⊥AC 于点E ，G 是DE 的中点， 求证：AG⊥BE．
6.求证：三角形的三条高交于一点.
已知 ABC V 中，,AD BC D BE AC E ^^于于，AD 与BE 交于H 点. 求证 CH AB ^. 证明
以CH 为直径作圆，
,,90,o AD BC BE AC HDC HEC
^^\??Q
D E \、在以CH 为直径的圆上， FCB
DEH \??.
同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BED BAD ??.
BCH BAD \??，
又ABD V 与CBF V 有公共角B Ð，90o CFB
ADB
\??，即CH AB ^.
7.（1）设G 是△ABC 的重心，证明：△GBC，△GAC，△GAB 的面积相等．
（2）利用（1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．
【分析】（1）设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，由同底等高得到S△GBC=2S△GCD，S△GAC=2S△GCD，由此能证明△GBC，△GAC，△GAB的面积相等．
（2）设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，由S△GBC=S△GAC，S△G BC=2S△GCD，得到S△GAC=2S△GCD，由此能证明三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．
（2）证明：设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，
∵△GBC，△GAC，△GAB的面积相等，
∴S△GBC=S△GAC，
∵BD=CD，∴S△GBC=2S△GCD，
∴S△GAC=2S△GCD，
∵△AGC和△DGC在分别以AG和DG为底时，高都是点C到边AD的距离，
∴AG=2GD，同理可证CG=2GF，BG=2GE，
∴三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．
【点评】本题考查三角形面积相等的证明，考查三角形重心定理的证明，解题时要注意三角形面积公式的合理运用
8.已知三角形的三边a ，b ，c ，三角形的重心到外接圆的距离为d ，外接圆半径为R ，求证：a 2
+b 2
+c 2
+9d 2
=9R 2
． 【分析】以△ABC 的外心为原点建立坐标系，可令A 、B 、C 的坐标依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．令AB 中点为D 、△ABC 的重心为G （m ，n ），求出m ，n ，进而可证明a 2
+b 2
+c 2
+9d 2
=9R 2
．
于是：
a 2
=（Rcosβ﹣Rcosγ）2
+（Rsinβ﹣Rsinγ）2
=R 2
（2﹣2cosβcosγ﹣2sinβsinγ） b 2
=（Rcosα﹣Rcosγ）2
+（Rsinα﹣Rsinγ）2
=R 2
（2﹣2cosαcosγ﹣2sinαsinγ）， c 2
=（Rcosα﹣Rcosβ）2
+（Rsinα﹣Rsinβ）2
=R 2
（2﹣2cosαcosβ﹣2sinαsinβ）．
9d 2
=9[（m ﹣0）2
+（n ﹣0）2
]=9{[R （cosα+cosβ+cosγ）﹣0]2
+[R （sinα+sinβ+sinγ）﹣0]2
} =R 2
[（co sα+cosβ+cosγ）2
+（sinα+sinβ+sinγ）2
]
=R 2（3+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ+2sinαsinγ）． ∴a 2
+b 2
+c 2
+9d 2
=9R 2
．
9.一条直线截三角形，把周长l 与面积S 分为对应的两部分：1l 与2l ，1S 与2S ． 求证：直线过三角形内心的充要条件是
11
22
l S l S
． 图 12-3
A B
C
P
Q n
I
m
【解析】证明： 必要性：如图1，设I 是ABC △的内心，过I 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ．
记BC a =，CA b =， AB c =，AP m =，AQ n =，
内切圆半径为r ，则1
()2ABC S a b c r s =++⋅=△，
1
()2APQ API AQI S S S m n r =+=+⋅△△△．
由111
()21()2
a b c r
S a b c l
S m n l m n r ++⋅++===++⋅，有1122l S l S =．
充分性：设直线PQ 把ABC △的周长l 与面积S 分为对应的两部分成等比11
22
l S l S =
， 且与AB 交于P ，与AC 交Q ，与A ∠的平分线交于I ． 记BC a =，CA b =，AB c =，AP m =，AQ n =，
I 到AB ，AC 的距离为r ，I 到BC 的距离为d ．
由1211()21()2a b c r l l a b c l m n m n r ++⋅+++==++⋅得1211112221122
b r
c r a d
S S S m r n r ⋅+⋅+⋅+=
⋅+⋅ 注意到
1212
11
l l S S l S ++=
，从而有ad ar =，即d r =， 故I 为ABC △的内心，即直线PQ 过内心．。