上海同济大学实验学校高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．已知离心率为22
3
的椭圆()2211x y m m +=>的左､右顶点分别为A ，B ，点P 为该椭
圆上一点，且P 在第一象限，直线AP 与直线4x =交于点C ，直线BP 与直线4x =交于
点D ，若8
3
CD =，则直线AP 的斜率为（ ） A ．
16或
1
20 B ．
121
C ．
16或
1
21
D ．
13或120
2．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ）
A ．29y x =
B ．26y x =
C ．23y x =
D ．23y x =
3．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，
若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y
x C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
4．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ．
23
B ．2
C ．
34
D ．3
5．圆2
2
: ()4M x m y -+=与双曲线22
22:1(0,0 ) y x C a b a b
-=>>的两条渐近线相切
于A
B 、两点，若||1AB =，则
C 的离心率为（ ） A ．
15
4
B 415
C ．
14
D ．4
6．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C
的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ） A ．22B ．2
C 3
D 2
7．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则
12F F =（ ）
A ．8
B ．4
C ．
D ．8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ）
A ．9
B ．9
C ．
71
12
+D ．
83
12
9．已知1F 、2F 是双曲线C ：2
2
14
y x -
=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ．1
3
B ．
12
C ．2
D ．3
10．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22
182
x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．7
y x =±
B ．y =
C ．5
y x =±
D ．y =
11．12,F F 为双曲线2214
x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒
∠=，则
12F PF △的面积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
12．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x
M 在C 上，且12MF MF ⊥，M C 的方程为（ ）
A ．22148x y -=
B ．22
148
y x -=
C ．2
212
y x -=
D ．2
2
12
x y -=
二、填空题
13．12F F 、分别为椭圆2
214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且
1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________
14．过椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两
点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.
15．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23
π的等腰三角形，则M 的离心率是______；
16．已知椭圆()22
2:1024x y C b b
+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一
点，1
3PF =，123
F PF π
∠=，则b =______． 17．已知直线1y x =-+与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中
点M 在直线20x y -=上，则椭圆的离心率为_______.
18．设1F 、2F 是椭圆22
14x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足12
2F PF π∠=，则12F PF △的面积等于________．
19．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于
C ，有下列四个结论：
①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；
③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内； 其中，所有正确结论的序号是__________．
20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，
()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若
2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.
三、解答题
21．过抛物线()2
20y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 两点的
纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；
（2〉求OM ON ⋅的值（其中О为坐标原点）； （3）求OMN
S
的最小值.
22．点M 是椭圆22
3:11616
x y C +=上一点，点A 是椭圆C 的左顶点，MO 的延长线交椭圆C
于点B ，AMB 是以M 为直角顶点的三角形.若存在不同于点A ，B 的点C ，D ，使得0MC MD OA MC MD ⎛⎫
⎪⋅+
= ⎪⎝
⎭
，试探究直线AB 与CD 的位置关系，并说明理由
. 23．在平面直角坐标系中，(10,C ，圆(2
22:12C x y +=，动圆P 过1C 且与
圆2C 相切.
（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；
（2）若直线l 过点()0,1，且与曲线C 交于A 、B ，已知AB 的中点在直线1
4x =-上，求
直线l 的方程.
24．已知椭圆C ：22
221b
x y a +=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上的任意一
点，已知1
2
PF PF →
→
⋅的最大值为3，最小值为2.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点(M 、N 不是左、右顶点)，点D (-6，4)关于直线6
y x =+的对称点为A ，且以MN 为直径的圆过点A ，问直线是否过定点，如果过定点，求出该定点坐标；如果不过定点，请说明理由.
25．已知离心率e =C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.
（1）求椭圆C
的方程；
（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且3
AB =
，求直线l 的方程. 26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,
A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数； （2）若||AB =AFB △的周长.
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一、选择题 1．B
解析：B 【分析】
由离心率求出9m =，设()00,p x y ，则
20202200119999
PA PB
x y k k x x -⋅===---，设PA k k =(1
03k <<
)，则19PB k k
=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k ，直线BP 的方程为()1
39y x k -=
-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，从而可表示出CD ，
然后列方程可求出k 的值 【详解】
由3
e ==
，得9m =. 设()00,p x y ，则
2
0202200119999
PA PB
x y k k x x -⋅===---. 设PA k k =(1
03k <<
)，则19PB k k
=-，直线AP 的方程为()3y k x =+，则C 的坐标()4,7k .
直线BP 的方程为()1
39y x k -=-，则D 坐标14,9k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
所以18793
CD k k =+=，解得13k =(舍去)或1
21.
故选：B. 【点睛】
此题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查计算能力，属于中档题
2．B
解析：B 【分析】
分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程． 【详解】
如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =， 则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.
在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =， 所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以1
32
p FG FC ===， 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．
3．A
解析：A 【分析】
结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】
设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥， 取线段2PF 的中点N ，连接1NF ， 由于1122PF F F c ==， 则122,NF PF NP NF ⊥=，
由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==， 则22442NP c a b =
-=，
即有24PF b =，
由双曲线的定义可得212PF PF a -=， 即422b c a -=， 即2,2b c a c b a =+=-，
所以()2
22
2b a a b -=+，
化简得2
434,34,
3
b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43
y x =±. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】
联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值． 【详解】
设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组
2
14x ty y x
=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12
022y y y t +==，2021x t =+，即()2
21,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2
||21FG t =+.又
12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1
||||2
FG AB =
，从而2m =. 故选：B 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．
5．B
解析：B 【分析】
由曲线的对称性，以及数形结合分析得
15
b a =.
【详解】
如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以
1
12sin 24
AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1
cos 4
AOM ∠=，
渐近线OA 的斜率tan 15a
k AOM b =∠==，所以115b a =，
所以22
4
11515
c b e a a ==+=， 故选：B ．
【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.
2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.
3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.
6．B
解析：B 【分析】
首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】
由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是b
y x a
=
，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=
，与渐近线方程b
y x a =联立方程，解得()2b a c y a
-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()
()22
b a
c a a a c b c -=----，
化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式
c e a =求解；2.
公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.
7．A
解析：A 【分析】
设122F F c =，求出1AF
，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .
【详解】
设122F F c =，由于双曲线的离心率为2c
e a
=
=，2c a ∴=
，则b =， 所以，双曲线C 的方程为22
2213x y a a
-=，即22233x y a -=，
将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，
由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，
四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.
故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.
8．B
解析：B 【分析】
根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】
如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M
y y ==，所以2
1
44A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 又因为()1,0F ，所以
()10
:01114
AB l y x --=
--，即()4:13AB l y x =--， 又()2413
4y x y x
⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以
244
B
B y x ==，所以()4,4B -，
又因为1254244
A B AB AF BF x x p =+=++=
++=，111
344
M A AM x x =-=-
=，()()
22
434126BM =-+--=，
所以ABM 的周长为：2511
2692644
AB AM BM ++=++=+， 故选：B.
【点睛】
结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）
（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+
； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+
； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p PF y =-+
. 9．C
解析：C 【分析】
设点2
(1)4
m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出45m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案； 【详解】
1a =，2b
=，∴5c =
1(5F -，，2(5F ，，
设点2
(1)4
m P m +，，
∴
2
2 22
()(1))150
4
m OP OF
F P m m m
+⋅=⋅=
+-+=
，
∴216
5
m=，m=，
则
(
55
P±，
1
4
PF===，
∴
21
22
PF PF a
=-=，∴1
2
4
2
2
PF
PF
λ===，
故选：
C.
【点睛】
利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键. 10．C
解析：C
【分析】
求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．
【详解】
由题意已知椭圆的焦点坐标为(
，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c=
渐近线方程为
b
y x
a
=±，其中一条为0
bx ay
-=，
1
==，1
b=，∴a=
∴渐近线方程为y x
=．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b．解题时要注意椭圆中222
a b c
=+，双曲线中222
+=
a b c．两者不能混淆．11．B
解析：B
【分析】
先求出双曲线的a,b,c，再利用
12
Rt PF F中三边关系求出
12
8
PF PF=，再由直角三角形面积公式即得结果.
【详解】
由
2
21
4
x
y
-=-得标准方程为
2
21
4
x
y-=得22
1,4
a b
==，2145
c
∴=+=c
∴=
故12
Rt PF F 中，(
)
2
222121212
12
121222=2F F PF PF PF PF
PF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩
128PF PF ∴=
所以1211
8422
S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.
12．C
解析：C 【解析】
12,MF MF ⊥∴
由直角三角形的性质可得1
MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212
y x -=，故选C. 二、填空题
13．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简
1 【分析】
由题意知12124,
F P PF F F +==124
3
F P
PF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.
【详解】
因为12F F 、分别为椭圆2
214
x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，
所以12124,F P PF F F +==
则由余弦定理得，2
22
12
12122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，
()
2
121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，
即1212163F P
PF =-‖， 所以1243
F P
PF =‖， 故12PF F ∆的面积
121sin 602
S F P PF ︒=
⋅‖=
设12F PF ∆的内切圆半径为r ，
则12121|)(4122(F P PF F F r r S +⋅=+⋅=
=
+|，
解得1r =
-
1 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.
14．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：
解析：
3
【分析】
作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2
AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】
如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为
OA OF
=，所以OM AF ⊥，所以2AF
AF ⊥，
又因为12AF k =
，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33
a a
AF AF ==，
又因为2
2
22
2
AF AF FF +=，所以222
164499
a a c +=，所以2259c a =，所以3e =
.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.
15．【分析】根据双曲线的对称性可知等腰三角形的腰应该为与或与不妨设等腰三角形的腰为与故可得到的值再根据等腰三角形的内角为求出的值利用双曲线的定义可得双曲线的离心率【详解】解：根据双曲线的对称性可知等腰三 31
+ 【分析】
根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，故可得到2PF 的值，再根据等腰三角形的内角为
23
π
，求出1PF 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.
【详解】
解：根据双曲线的对称性可知，
等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ， 不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限， 故22PF c =， 等腰12PF F ∆有一内角为23
π， 即2123
PF F π∠=
， 由余弦定理可得，()()cos
2212PF 2c 2c 22c 2c 23c 3
π
=+-•••=， 由双曲线的定义可得，
||12PF PF 23c 2c 2a -=-=，
即(31)c a =， 解得：31
e += 【点睛】
本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.
16．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查
解析：3
2
【分析】
作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】
根据椭圆的定义：2231PF a =-=，
在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：
222
212121242cos 73
c F F PF PF PF PF π
==+-⋅=，
274c ∴=
，则222
79444b a c =-=-=，所以，32
b =. 故答案为：3
2
.
【点睛】
本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.
17．【分析】设联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求得线段的中点M 的坐标根据点M 在直线上求解【详解】设由得由韦达定理得所以线段的中点M 又M 在直线上所以即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置 2【分析】
设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得线段AB 的中点M 的坐标，根据点M 在直线20x y -=上求解. 【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，
由222211
y x x y a
b =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222222220a b x a x a a b +-+-=， 由韦达定理得2
2
221
2
2
1
2222
22,,10a b x x y y a b a b
a b
∆，
所以线段AB 的中点M
222
2
2
2
,a b a b
a b ，
又M 在直线20x y -=上， 所以
22
2
222
20a b a b a b ，
即2222222a
b a
c ==-， 所以222
a c =， 解得e =
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，离心率的求法以及弦中点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．1【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得再由三角形面积公式可得结果【详解】因为是椭圆的两个焦点点在椭圆上且满足所以所以则的面积等于故答案为：1【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质意在考查学生灵活应
解析：1 【分析】
利用椭圆的定义与勾股定理可得122PF PF ⋅=，再由三角形面积公式可得结果. 【详解】
因为1F 、2F 是椭圆22
14x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足12
2F PF π∠=， 所以12222
1
224
412PF PF a PF PF c +==⎧⎨+==⎩ ()()2
22121212216124PF PF PF PF PF PF ⇒⋅=+-+=-=，
所以122PF PF ⋅=，
则12F PF △的面积等于121
12
PF PF ⋅=， 故答案为：1. 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
19．①②【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数设动点坐标为得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】由题意设动点坐标为利用题意及两点间的距离公式的得：对于①分别将方程中的被﹣
解析：①② 【分析】
由题意曲线C 是平面内与两个定点1,0A 和()1,0B -标为(),x y ，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断． 【详解】
由题意，设动点坐标为(),x y ，利用题意及两点间的距离公式的得：
=
对于①，分别将方程中的x 被﹣x 代换y 不变，y 被﹣ y 代换x 不变，方程都不变，故关于y 轴对称和x 轴对称，故曲线C 是轴对称图形，故①正确
对于②，把方程中的x 被﹣x 代换且y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C 是中心对称图形，故②正确；
对于③，令y ＝0=x 21>，此时对应的点不
在单位圆x 2+y 2=1内，故③错误． 故答案为：①② 【点睛】
本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
20．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计
【分析】
由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13
||||22
CF AB p =
=，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用
1
3
ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.
【详解】
解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，3
||2CF p =，||||AB AF =.
AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，
13||||22CF AB p ∴=
=，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得5
2
A x p =，代入可取
5A y p =，
111
3535332
ACE ABC S S p p ∆∆∴===，解得6p =．
故答案为:6．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.
三、解答题
21．（1）24y x =；（2）3-；（3）2. 【分析】
（1）设()()1122,,,M x y N x y ，抛物线()2
20y px p =>的焦点F ,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设直线MN 的方程为2
p
x my =+
,然后与抛物线方程联立，由韦达定理可得答案. (2)由1212OM ON x x y y ⋅=+可得答案. (3)由2112111
222
OMN
OFN
OFM
S
S
S
OF y OF y y y =+=
⨯+⨯=-可得答案. 【详解】
（1）设()()1122,,,M x y N x y ，抛物线()2
20y px p =>的焦点F ,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
设直线MN 的方程为2
p
x my =+
由222p x my y px
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩ ，得2220y mpy p --=
所以122y y mp +=，2
124y y p =-=-，所以2p =
所以抛物线的方程为：24y x =
(2) 由（1）124y y =-，22
1212144
y y x x =⨯=
1212143OM ON x x y y ⋅=+=-=-
（3）由（1）有124y y m +=，124y y =- 因为2112111
222
OMN
OFN
OFM
S
S
S
OF y OF y y y =+=
⨯+⨯=- ()
2
212121
1
4161622
2
y y y y m =
+-=
+≥ （当0m =时取得等号）
【点睛】
关键点睛：本题考查抛物线过焦点的弦的性质，考查与抛物线有关的三角形面积的最值问题，解答本题的关键是由
2112111
222
OMN
OFN
OFM
S
S
S
OF y OF y y y =+=
⨯+⨯=-，再转化为韦达定理124y y m +=，124y y =-的关系，从而求出最值，属于中档题.
22．//AB CD ，理由见解析. 【分析】
利用AM MO ⊥得M 是以OA 为直径的圆与椭圆的交点，解方程组求得M 点坐标．可求得AB k ，由数量积为0得CMD ∠的角平分线垂直于OA ，从而0MC MD k k +=，设直线
:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入0MC MD k k +=可求得参数关系以1
3
k =-或22m k =+(过点M ，舍)，
由此可得两直线的位置关系． 【详解】
解：由题意(4,0)A -，因为AMB 是以M 为直角顶点的三角形，
所以以AO 为直径的圆()2
2
24x y ++=与椭圆22
3:11616
x y C +=交于点M ，
联立2222(2)4
311616
x y x y ⎧++=⎪
⎨+
=⎪⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩或40x y =-⎧⎨=⎩（舍），
不妨设()2,2M -，则(2,2)B -，201
2(4)3
AB k --=
=---．
由0MC MD OA MC MD ⎛⎫
⎪⋅+= ⎪⎝⎭
可得：CMD ∠的角平分线垂直于OA ， 所以0MC MD k k +=，易知直线CD 斜率存在， 设直线:CD y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ，
联立22311616y kx m x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得：()222
1363160k x kmx m +++-=，
即122613km x x k -+=+，2122
316
13m x x k
-=+， 所以121222
022
MC MD y y k k x x --+=
+=++， 即()12122(22)480kx x k m x x m ++-++-=， 代入韦达定理可得：()()()4318311k m k k +=++， 所以13
k =-或22m k =+(过点M ，舍) 因为1
3
AB k =-，所以//AB CD . 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +（需要根据方便性，可能得1212,y y y y +），由题意中条件得出0MC MD k k +=，代入
1212,x x x x +后可求得参数关系或参数值．从而判断出结论． 23．（1）2
213
y x +=；（2）1y x =+或31y
x .
【分析】
（1）由题意可知，圆P 内切于圆2C ，根据椭圆的定义可知，P 点的轨迹是以1C 、2C 为焦点的椭圆，计算出a 、b 的值，结合焦点的位置可求得轨迹C 的标准方程； （2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、
()22,B x y ，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，列出韦达定理，根据
121
24
x x +=-可得
出关于k 的方程，求出k 的值，即可求得直线l 的方程. 【详解】
（1）设动圆P 的半径为r ，由于1C 在圆2C 内，所以，圆P 内切于圆2C ， 由题意知：1PC r =，223PC r =-
所以121232PC PC C C +=>=， 所以P 点的轨迹是以1C 、2C 为焦点的椭圆.
其长轴长223a =222c =221b a c =-=，
所以曲线C 的标准方程为：2
213
y x +=；
（2）若直线l 的斜率不存在，则A 、B 关于x 轴对称，不合题意；
若直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，
将1y kx =+代入2213
y x +=得：()22
3220k x kx ++-=，
()()2224831220k k k ∆=++=+>，
所以122
23k
x x k +=-
+，所以1221=234x x k k +=--+ 所以2430k k -+=，解得1k =或3k =， 所以，直线l 的方程为：1y x =+或31y x .
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.
24．（1）22
143
x y +=；（2）2(7-，0).
【分析】
（1）由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，则1||PF 的范围[a c -，]a c +，由数量积及1||PF 的范围可得数量积的最值，由题意可得a ，c 的值，由a ，b ，c 之间的关系求出b
的值，进而求出椭圆的方程；
（2）设M ，N 的坐标，直线MN 的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，由题意求出A 的坐标，由以MN 为直径的圆过点A ，可得·0AM AN =，着力可得m ，k 的关系，进而可得直线恒过定点． 【详解】
（1）因为P 是椭圆任意一点，所以12||||2PF PF a +=， 且1a c
PF a c -+，
所以222121212121
·
cos (||4)2
y PF PF PF PF F PF PF PF c ==∠=+- 2222221111
[||(2)4]()22
PF a PF c PF a a c =+--=-+-， 当1PF a =时，y 有最小值222a c -， 当1PF a c =-或a c +时，y 有最大值22a c -，
由题意可得2222
3
22a c a c ⎧-=⎨-=⎩，解得21c =，24a =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆的方程为：22
143
x y +=；
（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，
将直线y kx m =+与椭圆联立2214
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，整理可得
222(34)84120k x kmx m +++-=，
∆2222644(34)(412)0k m k m =-+->，可得2234m k <+，
122834km x x k -+=+，2122
412
34m x x k
-=+，2222222222
2
2
1212122222
412834312()34343434k m k k m m m k m k y y k x x km x x m k k k k -+-=+++=-+=
++++，
因为点(6,4)D -关于直线6y x =+的对称点为A ，设(,)A x y ，
则46
622
416
y x y x +-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：2x =-，0y =，
所以(2,0)A -，即椭圆的左顶点，
因为以MN 为直径的圆过点A ，所以·0AN AM =，
所以1(2x +，12)?(2y x +，2)0y =，整理可得：1212122()40x x x x y y ++++=，
所以222222
4121631240343434m km m k k k k
---++=+++， 整理可得：2271640m km k -+=，可得2
7
m k =或2m k =都满足判别式大于0， 若27
m k =
时，直线l 的方程为：2
()7y k x =+，则直线恒过定点2(7-，0)；
若2m k =时，直线l 的方程为：(2)y k x =+，则直线恒过定点(2,0)-．为左顶点（舍去）. 【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定点定值问题，解决本题的关键点是将以MN 为直径的圆过点A ，转化为向量·0AN AM =，再利用坐标代入计算，考查了学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
25．（1）2
212
x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.
【分析】
（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；
（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +
，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数
m 值得直线方程．
【详解】
（1）由题意知，1c =
，2
c e a =
=
，
∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组
2
21
2
x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
， 化简，得2234220x mx m ++-=.
由已知得，()
222
1612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，
∴m <<1243m x x +=-，21222
3
m x x -=
.
∴
21AB x =-== 解得1m =±，符合题意，
∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，设出直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得
1212,x x x x +
，代入弦长公式12AB x =-求解．
26．（
1）||AB =1
2
t ；（
2）7+ 【分析】
（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；
（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到
AFB △的周长．
【详解】
（1）224y x t y x =+⎧⎨=⎩
，
整理得()2
2
4410x t x t +-+=，
则2212212163216161632044144
t t t t t x x t t x x ⎧
⎪∆=-+-=->⎪
-⎪
+==-⎨⎪
⎪=⎪⎩，
AB =
==，其中1
2
t
；
（2）由||AB =
4t =-， 经检验，此时16320t ∆=->， 所以1215x x t +=-=， 由抛物线的定义，
有1212||||()()52722p p
AF BF x x x x p +=+++=++=+=，
又||AB =
所以AFB △的周长为7+ 【点睛】
求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用
12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。