42.取大函数取小函数与取整函数(高斯函数)(最新,最全,最准确)

取大函数、取小函数与取整函数
一、取大函数
)}(),(max{)(x g x f x M =，对任意的一个自变量x ，按照对应关系M ，函数值取)(),(x g x f 中较大的
那一个．
⎧≥,
,b a a x x -
}2b +，
1),,+∞
21x ．分析：根据函数的定义作出函数的图象，然后分别求出21,x x 的值． 解：在同一坐标系中，分别作出函数2,2x y y x ==的图象，如图．观察图象，可知)4()(1211>=x x x f ，所以71=x ；
因为112-<--x ，所以8
1
2
)1(2
12==----x x f ，所以312-=--x ，所以42=x ，所以=+21x x 11． 评注：准确作出)(x f 图象的关键，是明确2,2x y y x ==大小的变化，其实二者有三个交点，一个在y 轴左侧，交点横坐标在区间)0,1(-内，另两个交点的横坐标是2和4．
巩固2 （浙江省金兰教育合作组织2019-2020学年高一期中）已知函数22)2(2)(a x a x x f ++-=
8)2(2)(,22+--+-=a x a x x g ．设H 1(x )＝max{f (x ),g (x )}，H 2(x )＝min{f (x ),g (x )}（max{p ,q }表示p ，q 中
的较大值，min{p ,q }表示p ，q 中的较小值）．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则=-B A （ ）
A ．16
B ．16-
C ．1622--a a
D ．1622-+a a 解：令h （x ）
=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2（a+2）x+a 2﹣[﹣x 2+2
（a ﹣2）
x ﹣a 2+8]=2x 2﹣4ax+2a 2﹣8=2（x ﹣a ）2﹣8．所以 （1）当x <a ﹣2时，则H 1（x ）= f （x ），H 2（x ）= g （x ）； （2）当a ﹣2≤x≤a+2时，H 1（x ）= g （x ），H 2（x ）= f （x ）； （3）当x >≥a+2时，则H 1（x ）= f （x ），H 2（x ）=g （x ）． 所以A=g （a+2）=﹣[（a+2）﹣（a ﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a ﹣4，B=g （a ﹣2）=﹣4a+12，所以A ﹣B=﹣4a ﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．选B ．
三、取整函数
函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数．
对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分．与它相伴随的是小数部分函数
].[}{},{x x x x y -==由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：
（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且． （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][．
（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图象如图1；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图2．
图1
图2
① 函数)(x f 的最大值为1；②函数)(x f 的最小值为0；③函数2
1
)()(-=x f x G 有无数个零点；④函 数)(x f 是增函数．
巩固6 （2013湖北高考）设][x 表示不大于x 的最大整数，则函数][)(x x x f -=在R 上为（ ）D
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ．周期函数
例6 已知函数⎩
⎨⎧<+≥-=.0),1(,
0],[)(x x f x x x x f 其中][x 表示不超过x 的最大整数．则函数)(x f y =与函数
||log 3x y =的图象交点个数是
．4。