浮点数计算方法
浮点数计算方式
浮点数计算方式浮点数是计算机中用来表示实数的一种数据类型。
它由一个小数部分和一个指数部分组成，可以表示非常大或非常小的数值范围。
浮点数的计算方式是基于浮点数的表示规范和运算规则进行的。
本文将介绍浮点数的计算方式，并探讨其中的一些注意事项。
一、浮点数的表示方式在计算机中，浮点数通常采用IEEE 754标准进行表示。
根据该标准，浮点数由三部分组成：符号位、指数位和尾数位。
其中，符号位用于表示浮点数的正负性，指数位用于表示浮点数的指数部分，尾数位用于表示浮点数的小数部分。
通过这种方式，计算机可以表示非常大或非常小的实数。
二、浮点数的四则运算浮点数的四则运算（加法、减法、乘法和除法）是基于IEEE 754标准进行的。
在进行浮点数的四则运算时，需要注意以下几点：1. 精度丢失：由于浮点数的表示方式是有限的，所以在进行浮点数的运算时，可能会出现精度丢失的情况。
这是因为某些实数无法准确表示为有限位数的浮点数。
因此，在进行浮点数计算时，应注意精度丢失可能会产生的误差。
2. 舍入误差：由于浮点数的表示方式是基于二进制的，而实数是十进制的，所以在进行浮点数计算时，可能会出现舍入误差。
这是因为某些十进制数无法准确表示为二进制数。
因此，在进行浮点数计算时，应注意舍入误差可能会对计算结果产生影响。
3. 无穷大和NaN：浮点数的运算结果可能会出现无穷大（Infinity）或不确定值（NaN）。
无穷大表示计算结果超出了浮点数的表示范围，而NaN表示计算结果无法确定。
在进行浮点数计算时，应注意处理这些特殊情况，以避免出现错误结果。
三、浮点数计算中的问题和解决方法在进行浮点数计算时，可能会遇到一些问题，如计算结果不准确、计算速度较慢等。
为了解决这些问题，可以采取以下方法：1. 增加计算精度：可以增加浮点数的位数，从而提高计算精度。
例如，可以使用双精度浮点数（64位）替代单精度浮点数（32位），以提高计算精度。
2. 使用精确计算：可以使用精确计算方法，如使用有理数进行计算，从而避免浮点数计算中的精度丢失和舍入误差。
c++ 浮点指数快速算法
c++ 浮点指数快速算法
C++中的浮点指数快速算法通常是指一种用于快速计算浮点数的
指数函数的方法。
这种方法通常利用位操作和数值近似来实现。
下
面我将从几个角度来介绍C++中浮点指数快速算法的常见实现方式。
首先，我们可以使用C++标准库中的`std::exp`函数来计算浮
点数的指数。
这个函数可以接受一个浮点数作为参数，并返回e的
该浮点数次幂。
这是最直接和标准的方法，但在某些情况下可能不
够高效。
其次，我们可以使用近似算法来实现快速的浮点指数计算。
其
中一个著名的算法是指数函数的泰勒级数展开，通过截断级数来近
似计算。
另外，还有一些基于分段多项式或其他数值逼近方法的算法，这些方法可以在一定精度下快速地计算浮点数的指数。
另外，还有一种更高效的方法是利用浮点数的位操作来实现指
数函数的计算。
这种方法通常涉及到对浮点数的位表示进行操作，
通过改变指数部分来实现指数函数的计算。
这种方法通常需要对浮
点数的内部表示有一定的了解，但可以实现非常高效的指数函数计算。
总的来说，C++中的浮点指数快速算法有多种实现方式，包括使用标准库函数、数值逼近算法和位操作等。
选择合适的方法取决于具体的应用场景和对计算精度和性能的要求。
希望这些信息能够帮助你更好地理解C++中浮点指数快速算法的实现方式。
浮点数计算方法
4. 移码表示法
移码通常用于表示浮点数的阶码。由于
阶码是个n位的整数，假定定点整数移码形式
为 ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn时，对定点整数移码的传
统定义是：
[ｘ]移＝2n＋ｘ
2n＞ｘ≥－2n
若阶码数值部分为5位，以ｘ表示真值，
则： [ｘ]移＝25＋ｘ
25＞ｘ≥－ 25
小结：上面的数据四种机器表示法中，移码 表示法主要用于表示浮点数的阶码。由于补 码表示对加减法运算十分方便，因此目前机 器中广泛采用补码表示法。在这类机器中， 数用补码表示，补码存储，补码运算。也有 些机器，数用原码进行存储和传送，运算时 改用补码。还有些机器在做加减法时用补码 运算，在做乘除法时用原码运算。
7–3=4
7+9=4
以12取模数(mod12)
-3 = +9
（mod12）
采用补码表示法进行减法运算就比原码方
便得多了。因为不论数是正还是负，机器总是
做加法，减法运算可变为加法运算。关键是我
们需要换算出两个操作数的补码表示。
若定点小数补码形式为ｘ0 .ｘ1ｘ2…ｘn ，则 补码表示的定义是：
[ｘ] ＝
3. 反码表示法
所谓反码，就是二进制的各位数码0变为1， 1变为0。也就是说，若Xi=1，则反码为xi=0； 若xi=0，则反码xi=1。数值上面的一横表示反 码的意思。在计算机中用触发器寄存数码，若 触发器Q端输出表示原码，则其Q端输出就是 反码。由此可知，反码是容易得到的。
若定点小数反码形式为ｘ0 .ｘ1ｘ2…ｘn ，则 反码表示的定义是：
20.59375＝10100.10011
然后移动小数点，使其在第1，2位之间
10100.10011＝1.010010011×24
浮点数的运算方法
阶码位 尾数数码位 总位数
1 1 1
8 11 15
23 52 64
32 64 80
浮点数的阶码的位数决定数的表示范围， 浮点数的阶码的位数决定数的表示范围， 阶码的位数决定数的表示范围 尾数的位数决定数的有效精度 的位数决定数的有效精度。 尾数的位数决定数的有效精度。
浮点数在计算机内的格式
X = MX * 2
负数 正数
[X]补 = X 2n+1 + X 0 ≤ X < 2n -2n ≤ X ≤ 0 0
机器数
浮点数格式：关于移码的知识 浮点数格式：关于移码的知识 移码
8 位的阶码能表示 位的阶码能表示-128~+127，当阶码为 ，当阶码为-128时，其补码表 时 示为 00000000，该浮点数的绝对值 -128,人们规定此浮点数的 ，该浮点数的绝对值<2 人们规定此浮点数的 值为零， 机器零。 值为零，若尾数不为 0 就清其为 0，并特称此值为机器零。 ，并特称此值为机器零 位数值位组成的移码, 其定义为； 一位符号位和 n 位数值位组成的移码 其定义为； [E]移 = 2n + E -2n<=E<2n 负数 正数 +127 0 -128 机器数 表示范围： 00000000 ~ 11111111 表示范围： 8 位移码表示的机器数为数的真值 向右平移了 在数轴上向右平移 在数轴上向右平移了 128 个位置
（2）尾数相除：MX/MY = 0.1011/(-0.1101) ）尾数相除： = -0.1101 (3) (4) (5) 已是规格化数 不必舍入 也不溢出 已是规格化数, 不必舍入, 最众的商 [MX]移 = 1 0110 1101， ， 即 2-2 *（-0.1101） （ ）
单片机浮点数计算
在单片机应用系统的数据处理过程中，经常会遇到小数的运算问题，如求解BCD的增量算式、线性化处理等。
因此，需要用二进制数来表示小数。
表示小数的方法一般有两种，定点数和浮点数。
定点数结构简单，与整数的运算过程相同，运算速度快。
但随着所表示数的范围的扩大，其位数成倍增加，给运算和存储带来不便，而且也不能保证相对精度不变。
浮点数的结构相对复杂，但它能够以固定的字节长度保持相对精度不变，用较少的字节表示很大的数的范围，便于存储和运算，在处理的数据范围较大和要求精度较高时，采用浮点数。
浮点数的概念常用的科学计数法来表示一个十进制数如l234.75＝1.23475E3＝1.23475×103在数据很大或很小时，采用科学计数避免了在有效数字前加0来确定小数点的位置，突出了数据的有效数字的位数，简化了数据的表示。
可以认为，科学计数法就是十进制数的浮点数表示方法。
在二进制效中，也可以用类似的方法来表示一个数，如1234.75＝10011010010.11（二进制）＝0.1001101001011×211一般表达式为N=S×2p在这种表示方法中，数值由四个部分组成，即尾数S及符号，阶码P及符号。
在二进制中，通过定义相应字节或位来表示这四部分，就形成了二进制浮点数。
二进制浮点数可以有多种不同的表示方法，下面是一种常见的三字节浮点数的格式：其中尾数占16位，阶码占6位，阶符占1位，数符占1位。
阶码通常用补码来表示。
在这种表示方法中，小数点的实际位置要由阶码来确定，而阶码又是可变的，因此称为浮点数。
1234.75用这种格式的浮点数表示就是：0000 1011 1001 1010 0101 1000用十六进制表示为1234.75＝0B9A58H-1234.75＝4B9A58H0.171875＝043B00H-0.171875＝443B00H三字节浮点数所能表示的最大值为1×263＝9.22×1018能表示的最小数的绝对值为0.5×2-63＝5.42×10－20其所表示的数的绝对值范围＝(5.42×10-20～9．22×1018)，由此可以看到，比三字节定点数表示的数的范围大得多。
浮点数的运算方法
浮点数的运算方法浮点数是计算机中用于表示实数的一种数据类型，由于实数是无限的，而计算机只能存储有限的信息，所以必然存在精度误差。
浮点数的运算涉及到加法、减法、乘法和除法等基本运算，以及开方、幂函数等高级运算。
1.加法运算：浮点数相加时，先将较小的浮点数调整为与较大的浮点数相同的指数，然后进行尾数的相加，最后对结果进行规格化处理，即进行舍入操作，得到最终的结果。
2.减法运算：浮点数相减的原理与加法相同，只是在相减之前，需要将两个浮点数的指数调整为相等，然后进行尾数的相减操作，最后同样需要对结果进行规格化处理。
3.乘法运算：浮点数相乘时，将两个浮点数的指数相加，然后将尾数相乘得到结果的尾数部分，最后对结果进行规格化处理。
4.除法运算：浮点数除法的原理与乘法类似，先将两个浮点数的指数相减，然后将尾数相除得到结果的尾数部分，最后同样需要进行规格化处理。
5.开方运算：浮点数的开方运算是通过求解多项式的根来实现的，常用的方法有牛顿法、二分法和二次近似法等。
这些方法都是通过迭代的方式，逐步逼近平方根的值，直到达到所需的精度。
6.幂函数运算：浮点数的幂函数运算可以通过连乘或连乘的方式实现。
幂函数运算的精度取决于底数和指数的精度以及所需的结果精度。
在浮点数的运算过程中，需要注意以下几个常见问题：1.精度丢失：浮点数的表示是有限的，不可避免地存在精度误差，特别是在进行连续的浮点数运算时，会导致误差累积，可能导致结果的不准确。
2.舍入误差：浮点数的结果需要进行舍入操作以保持一定的精度。
舍入规则有多种，如四舍五入、向上取整、向下取整等，选择合适的舍入规则可以减小误差。
3.溢出和下溢：浮点数的范围是有限的，当计算结果超出范围时，会发生溢出；当结果接近零但无法表示时，会发生下溢。
这两种情况都需要进行特殊处理。
4. 特殊数值：浮点数中有几个特殊的数值，如无穷大（Infinity）、非数值（NaN）和零（0）。
这些特殊值的运算需要按照特定的规则进行处理，以免引起错误。
浮点数的算法
4)使用浮点数格式举例按IEEE标准，常用的浮点数的格式为：数符阶码尾数总位数短实数 1 8 23 32长实数 1 11 52 64临时实数 1 15 64 80下面以32位浮点数(短实数)为例，讨论浮点代码与其真值之间的关系，其浮点格式如下31 30 23 22 0| s | | | | | | |数符|…… 阶码…………||………… 阶码…………|最高位是数符s，其后8位阶码，以2为底，阶码偏置位127。
其余23位是尾数，为了尾数部分能表示更多一位的有效值，IEEE754采用隐含尾数最搞数位1(即这一位1不表示出来)的方法，因此尾数实际上是24位。
应注意隐含的1是一位整数(即位权位2^0)，在浮点格式中表示出来的23位尾数是纯小数并用原码表示，尾数的真值为：1+尾数。
这样，上述格式的非0浮点数真值为(-1)x2^(阶码-127)x(1+尾数)根据上式，可得出上述格式的浮点数表示范围位-2^128x(2-2^(-23))~2^128x(2-2^(-23)),所能表示的最小绝对值位2^(-127).例：若采用IEEE短实数格式，试求出32位浮点数代码(CC968000)16的真值。
解：以上代码转换位2进制如下：1，10011001，00101101000000000000000阶码尾数由于数符是1，所以该数是负数。
阶码真值=10011001-(127)10=(153)10-(127)10=(26)10尾数真值=1+0.00101101=1+(0.00101101)2=1+(0.17578125)10=(1.17578125)10故该浮点数的真值=-2x1.17578125 。
例：试将-(0.11)2用IEEE短实数浮点数格式表示出来。
解：(-0.11)2=-0.11x2^0=-1.1x2^(-1)=-(1+0.1)x2^(-1)该数为负数，所以数符为1.阶码=阶码真值+127=-1+127=126=(01111110)2尾数=0.1000 0所以浮点数代码为1，01111110，10000000000000000000000注意：IEEE标准尾数采用的是原码现在来看一个10进制转换为16进制以IEEE为标准：float共计32位，折合4字节由最高到最低位分别是第31、30、29、 031位是符号位，1表示该数为负，0反之。
浮点数计算
2.浮点数加减运算举例 有两浮点数为 A=0.101110×2-01 × B=-(0.101011)×2-10 × 假设这两数的格式：阶码4位 假设这两数的格式：阶码 位，用移 偏置值为2 表示；尾数8位 码（偏置值为 3） 表示；尾数 位，用补 码表示，包含一位符号位， 码表示，包含一位符号位，即 阶码 尾数 [A]浮=0111；0.1011100 ； [B]浮=0110；1.0101010 ；
2.除法步骤 两浮点数相除， 两浮点数相除 ， 其商的阶码应为相 除两数的阶码之差， 除两数的阶码之差 ， 其商的尾数应为相 除两数的尾数之商。 除两数的尾数之商。即： A÷B=(MA÷MB)× ( E A −E B ) ÷ × 2 ⑴尾数调整 为了保证商的尾数是一个定点小数， 为了保证商的尾数是一个定点小数 ， 首先需要检测|MA|＜|MB|。如果不小于， 首先需要检测 ＜ 。如果不小于， 右移一位， 则MA右移一位，EA+1→EA，称为尾数调 因为A、 都是规格化数 都是规格化数， 整 。 因为 、 B都是规格化数， 所以最多 调整一次。 调整一次。
1.乘法步骤 两浮点数相乘， 两浮点数相乘 ， 其乘积的阶码应为 相乘两数的阶码之和， 相乘两数的阶码之和 ， 其乘积的尾数应 为相乘两数的尾数之积。 为相乘两数的尾数之积。即： A×B=(MA×MB)× A + E B ) × × 2 (E ⑴阶码相加 两个浮点数的阶码相加， 两个浮点数的阶码相加 ， 如果阶码 用补码表示， 无须校正； 用补码表示 ， 无须校正 ； 当阶码用偏置 值为2 的移码表示时， 值为 n 的移码表示时 ， 阶码相加后要减 去一个偏移量2 去一个偏移量 n。
1.浮点数加减运算步骤（续） 第 ⑤ 和 ⑥ 种情况在在定点加减运算 中称为溢出； 但浮点加减运算中， 中称为溢出 ； 但浮点加减运算中 ， 只表 明此时尾数的绝对值大于1， 明此时尾数的绝对值大于 ，而并非真正 的溢出。 的溢出 。 这种情况应将尾数右移以实现 规格化。 这个过程称为右规。 规格化 。 这个过程称为右规 。 尾数每右 移一位，阶码相应加1（ 移一位，阶码相应加 （EC+1→EC）。 右规=C 右规 s1⊕Cs2 右规最多只有一次。 右规最多只有一次。
浮点运算
2.5浮点运算与浮点运算器2.5.1浮点数的运算规则浮点数的形式X=Mx * 2E x▲ 尾数的右移： 若尾数是原码表示，每右移一位，符号位不参加移位，尾数高位补0；若尾数是补码表示，每右移一位，符号位参加右移，并保持补码的符号不变。
一、浮点加法和减法设有两个浮点数：X=Mx * 2E x Y=My * 2E y它们的加减步骤是：1、对阶——使两个数的阶码相等，才能进行尾数的加减。
对阶原则——小阶向大阶看齐，即小阶的尾数向右移位（相当于小数点左移），每右移一位，其阶码加1，直到两数的阶码相等为止，右移的位数等于阶差△E 。
例1：两浮点数X=201*0.1101, Y=211*(-0.1010),将两个数对阶。
解：假设两数在计算机中以补码表示。
[△E]补=[Ex]补 – [Ey]补=[Ex]补 + [–Ey]补=00 01 + 11 01=11 10即△E=-2，表示Ex 比Ey 小2，因此将X 的尾数右移2位：右移一位，得[X]浮=00 10,00.0110再右移一位，得[X]浮=00 11,00.0011对阶完毕。
2、尾数求和+ 尾数和为：3、规格化（1）对于补码来说 规格化（2）规格化的方法浮点数的尾数相加后得到补码的形式M ，对比符号位和小数点后的第一位，如果它们不等，即为00. 1…和11. 0…的形式，就是规格化的数；如果它们相等，即00. 0…或11. 1…，就不是规格化的数，此时要进行左规格化，或左规。
向左规格化——尾数左移1位，阶码减1。
当结果出现01.…或10. …的形式时，要进行右规格化，或右规。
00 001111 011011 1001 正数：00. 1… 负数：11. 0…向右规格化——尾数右移1位，阶码加1。
4、舍入在对阶或向右规格化时，尾数要向右移位，这样，被右移的尾数的低位部分会被丢掉，从而造成一定的误差，因此要进行舍入处理。
舍入的方法——“0舍1入”：如果右移时，被丢掉数位的最高位是0则舍去，反之则将尾数的末位加“1”。
浮点数计算方法
1. 定点数的表示方法
定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置 是固定不变的。由于约定在固定的位置，小数 点就不再使用记号“.”来表示。通常将数据表 示成纯小数或纯整数。 定点数ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn 在定点机中表 示如下(ｘ0:符号位，0代表正号，1代表负号):
纯小数的表示范围为(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn 各位均 为0时最小；各位均为1时最大) 0≤|ｘ|≤1－2－n (2.1) 纯整数的表示范围为 0≤|ｘ|≤2n－1 (2.2) 目前计算机中多采用定点纯整数表示， 因此将定点数表示的运算简称为整数运算。
[例2] 将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点 数的二进制存储格式。
[解:] 首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：
20.59375＝10100.10011 然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.10011＝1.010010011×24 于是得到： S＝0， E＝4＋127＝131， M＝010010011
4. 自定义数据表示 在传统的计算机体系结构中，用指令本身 来说明操作数据的类型。如定点加法表示操作 数是纯小数或纯整数；浮点加法表示操作数是 浮点数；十进制加法表示操作数是BCD数。由 于操作数据类型不同，要设三种不同的指令 (操作码)来加以区分。 自定义数据表示则用数据本身来说明数据 类型。表示形式有两种，即标志符数据表示和 描述符数据表示。
2. 补码表示法
我们先以钟表对时为例说明补码的概念。 假设现在的标准时间为4点正； 而有一只表已 经7点了，为了校准时间，可以采用两种方法： 一是将时针退 7-4=3 格；一是将时针向前拨123=9格。这两种方法都能对准到4点，由此可以 看出，减3和加9是等价的，就是说9是(-3)对12 的补码，可以用数学公式表示: -3＝+9 （mod12） mod12的意思就是12模数，这个“模”表 示被丢掉的数值。上式在数学上称为同余式。
c语言中浮点数的有效位
c语言中浮点数的有效位一、浮点数的概念浮点数是一种用于表示实数的数据类型，它可以表示小数点前后任意位数的数字。
在C语言中，浮点数类型有两种：float和double。
其中，float类型占用4个字节（32位），double类型占用8个字节（64位）。
二、浮点数的存储方式浮点数在计算机内部是以二进制形式存储的。
在IEEE 754标准中，规定了单精度浮点数（float）和双精度浮点数（double）的存储方式。
单精度浮点数采用32位二进制表示，其中1位为符号位，8位为指数位，23位为尾数位。
双精度浮点数采用64位二进制表示，其中1位为符号位，11位为指数位，52位为尾数位。
三、浮点数有效数字的计算方法由于计算机内部采用二进制存储方式，在转换成十进制时会存在精度误差。
因此，在C语言中，对于浮点型数据进行比较时应该使用相对误差来判断是否相等。
相对误差 = |(实际值 - 理论值) / 理论值| * 100%在实际开发中，我们需要知道一个浮点型变量能够表达的最大有效位数，以便在使用时避免出现精度误差。
单精度浮点数的有效位数为7位，双精度浮点数的有效位数为15-16位。
这里所说的有效位数指的是从左往右第一个非零数字到最后一位数字之间的数字个数。
四、浮点数计算中的误差由于计算机内部采用二进制存储方式，在进行浮点数计算时会存在精度误差。
这种误差主要来自于两个方面：舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机内部存储空间有限，无法存储无限小数而产生的误差。
当一个小数无法被准确表示时，计算机会将其舍入到最接近的可表示值。
例如，当我们将0.1转换成二进制时，得到的结果是0.000110011001100110011001100110011001100110011001100 11010(无限循环)，但是由于计算机只能存储一定长度的二进制数据，因此会将其舍入成0.00011001100110011001100。
截断误差是由于计算过程中对数据进行了截断或者省略而产生的误差。
浮点数计算公式
浮点数计算公式浮点数的相关计算公式1. 浮点数的基本运算加法运算浮点数的加法运算可以使用以下公式表示：x + y = (x1 + y1) * 2^e其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e是两个浮点数的指数之差的最大值。
例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其加法运算结果为：+ = ( + ) * 2^(-2) = * 2^(-2) = * =减法运算浮点数的减法运算可以使用以下公式表示：x - y = (x1 - y1) * 2^e其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e是两个浮点数的指数之差的最大值。
例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其减法运算结果为：- = ( - ) * 2^(-2) = * 2^(-2) = * =乘法运算浮点数的乘法运算可以使用以下公式表示：x * y = (x1 * y1) * 2^(e1 + e2)其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e1和e2分别是两个浮点数的指数。
例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其乘法运算结果为：* = ( * ) * 2^(3 + 3) = * 2^6 = * 64 =除法运算浮点数的除法运算可以使用以下公式表示：x / y = (x1 / y1) * 2^(e1 - e2)其中，x和y分别是两个浮点数，x1和y1分别是其对应的尾数，e1和e2分别是两个浮点数的指数。
例如，当x =，对应的尾数为，`y = `，对应的尾数为，则其除法运算结果为：/ = ( / ) * 2^(3 - 3) = 10 * 2^0 = 10 * 1 = 102. 特殊情况处理零值处理在浮点数的计算中，存在零值的处理，在零值与其他浮点数进行运算时，会有一些特殊的规则。
•当零值与非零值相加时，结果为非零值。
•当零值与非零值相减时，结果为非零值。
浮点数计算方法ppt
为提高数据的表示精度，当尾数的值不为
0 时，尾数域的最高有效位应为1,否则以修改
阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一
表示形式，这称为浮点数的规格化表示。
当浮点数的尾数为 0，不论其阶码为何值
，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还
小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点
数看成零值，称为机器零。
当阶码E 为全0且尾数M 也为全0时，表示 的真值x 为零，结合符号位S 为0或1，有正零 和负零之分。当阶码E 为全1且尾数M 为全0时， 表示的真值x 为无穷大，结合符号位S 为0或1， 也有+∞和-∞之分。这样在32位浮点数表示中， 要除去E 用全0和全1(255)10表示零和无穷大的 特殊情况，指数的偏移值不选128(10000000)， 而选127(01111111)。对于规格化浮点数，E 的 范围变为1到254，真正的指数值e 则为-126到 +127。因此32位浮点数表示的绝对值的范围是 10-38~1038（以10的幂表示）。
3. 十进制数串的表示方法
浮点数所表示的范围远比定点数大。一台 计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示,要根 据计算机的使用条件来确定。一般在高档微机 以上的计算机中同时采用定点、浮点表示,由使 用者进行选择,而单片机中多采用定点表示。
[例1] 若浮点数ｘ的754标准存储格式为
(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。
有限，但要求的处理硬件比较简单。而浮点 格式容许的数值范围很大，但要求的处理硬 件比较复杂。
1. 定点数的表示方法
定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置 是固定不变的。由于约定在固定的位置，小数 点就不再使用记号“.”来表示。通常将数据表 示成纯小数或纯整数。
ieee754计算方法
ieee754计算方法
IEEE 754是一种二进制浮点数算术标准。
它定义了浮点数的表示方法，以及浮点数之间的算术和舍入规则。
IEEE 754规定了两种浮点数格式：单精度和双精度。
其中单精度浮点数占用4个字节(32位)，双精度浮点数占用8个字节(64位)。
浮点数在IEEE 754中的表示方法是采用科学计数法，并用二进
制表示。
因此，每个浮点数可以分解为三部分：符号位、指数和尾数。
具体来说，单精度浮点数的符号位占1位，指数占8位，尾数占23位。
双精度浮点数的符号位占1位，指数占11位，尾数占52位。
IEEE 754中还规定了一些特殊的数值，例如正无穷、负无穷和NaN(不是一个数字)。
这些特殊的数值在计算中有着特殊的作用和处理
方法。
在进行浮点数的算术运算时，根据IEEE 754中的规定，需要进
行舍入。
舍入是一种将浮点数近似为最接近的可表示值的操作。
IEEE 754中规定了四种舍入方式：向上舍入、向下舍入、向零舍入和最近舍入。
最后，需要注意的是，在使用浮点数进行计算时，存在着一些舍
入误差和精度问题。
因此，在需要高精度计算时，建议使用符号计算
或者其他的高精度数值计算方法。
规格化浮点运算
规格化浮点运算
规格化浮点运算是指将浮点数表示为规格化形式的过程。
在计算机中，浮点数由尾数、指数和符号位组成，规格化就是将尾数调整为满足特定规则的形式，以便更好地进行运算。
具体而言，对于二进制浮点数，规格化要求尾数的最高位必须为1，而指数的范围要求是一个固定的区间。
如果浮点数不满足规格化要求，则需要进行调整。
规格化浮点运算的步骤如下：
1. 如果浮点数为零，则尾数和指数都置为零。
2. 如果浮点数不是零，则将其转换为二进制表示。
3. 将尾数的整数部分移到尾数的最高位，使其成为规格化形式。
4. 调整指数的值，使其在规定的范围内。
如果指数超过了规定的范围，则需要进行溢出的处理。
5. 将符号位设为正确的值。
通过规格化浮点运算，可以使浮点数在计算中更加准确和可靠，提高了浮点运算的精度和有效性。
二进制浮点计算
二进制浮点计算
在计算机科学中，二进制浮点计算是一种非常重要的数值计算方法。
它是使用二进制表示浮点数，并使用二进制浮点运算规则进行计算的一种方法。
在计算机中，所有的数值都是以二进制形式进行表示和计算的，包括整数和浮点数。
二进制浮点数由两部分组成：指数和尾数。
指数部分表示浮点数的阶码，尾数部分表示浮点数的小数部分。
在计算机中，浮点数采用IEEE754标准进行表示，该标准定义了单精度和双精度浮点数的表示方法和运算规则。
二进制浮点计算在计算机科学中广泛应用于科学计算、工程计算、金融计算等领域。
它具有高精度和高效率的特点，能够有效地进行大规模数值计算和数据处理。
然而，二进制浮点计算也存在一些问题和局限性。
由于计算机内存和处理器的限制，浮点数的表示精度是有限的，因此在进行浮点计算时可能会出现舍入误差和精度损失的问题。
此外，由于浮点数的
表示方式是二进制的，因此在进行浮点计算时可能会出现舍入误差和精度损失的问题。
为了解决这些问题，计算机科学家和工程师们提出了许多优化和改进的方法，如浮点数舍入规则、浮点数格式转换、浮点数运算优化等。
通过这些方法，可以有效地提高二进制浮点计算的精度和性能，从而更好地满足各种数值计算需求。
总的来说，二进制浮点计算是计算机科学中一种非常重要的数值计算方法，它在科学计算、工程计算和金融计算等领域发挥着重要作用。
虽然它存在一些问题和局限性，但通过优化和改进可以有效地提高其精度和性能，从而更好地满足我们的计算需求。
浮点型运算
浮点型运算
1.浮点型的概念和特点
在计算机中，浮点型是一种表示实数的数据类型，通常用于计算和表示可能具有小数部分的数字。
浮点数的特点是具有可变的精度，即可以表示非常小或非常大的数值。
这种特性使得浮点数在科学计算和数学建模等领域中得到广泛应用。
2.浮点型的实现方式
计算机中实现浮点数通常采用IEEE-754标准，它规定了浮点数的表达方式、运算规则和舍入方式。
浮点运算的基本单位是浮点数，它通常由一个符号位、若干个有效数字位和指数位组成。
符号位用来表示正负号，有效数字位用来表示数值的大小，指数位用来表示数值与基数之间的关系。
3.浮点型的精度和舍入误差
浮点数的精度决定了它所能表示的有效数字的位数。
在计算中，如果涉及到浮点数的运算，可能会出现舍入误差。
这是因为计算机无法精确表示所有的浮点数，而只能选择最接近的浮点数进行计算。
这种舍入误差可能会在复杂的计算中逐渐累积，导致最终结果的误差较大。
4.浮点型运算的特点和应用
浮点数的运算采用特殊的运算规则，包括加减乘除和取模等基本运算，同时也包括特殊的函数运算，如指数运算、对数运算、三角函数等。
浮点数在物理学、化学、金融、统计学和工程学等许多领域都有广泛应用，如数值模拟、仿真、数据处理、信号处理等。
5.浮点数的性能优化和注意事项
在实际编程中，为了提高浮点数的计算性能和减少误差，需要采取一些优化措施。
例如，可以采用高精度计算或者减少不必要的浮点数运算。
此外，由于浮点数运算的舍入误差可能会影响计算结果的精度，因此在计算中需要考虑到误差的影响，采用合适的算法和数据结构来确保计算结果的正确性。
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2.1 数据与文字的表示方法 2.2 定点加法、减法运算 2.3 定点乘法运算 2.4 定点除法运算 2.5 定点运算器的组成 2.6 浮点运算方法和浮点运算器
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2.1 数据与文字的表示方法
2.1.1 数据格式
计算机中常用的数据表示格式有两种: 1 定点格式 2 浮点格式 一般来说，定点格式容许的数值范围
为提高数据的表示精度，当尾数的值不为
0 时，尾数域的最高有效位应为1,否则以修改
阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一
表示形式，这称为浮点数的规格化表示。
当浮点数的尾数为 0，不论其阶码为何值
，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还
小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点
数看成零值，称为机器零-- 。
阶码Ｅ 时，应将指数 e 加上一个固定的偏移 值127(01111111)，即 Ｅ＝e＋127.
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IEEE754 标准中，一个规格化的32位浮点
数ｘ的真值可表示为
ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－127
e＝Ｅ－127
一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为
ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023 e＝Ｅ－1023
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在IEEE754标准格式表示的32位浮点数中， Ｓ：浮点数的符号位，1 位， 0表示正数，1表示负数。 Ｍ：尾数，23位，用小数表示， 小数点放在尾数域的最前面。 Ｅ：阶码，8 位阶符采用隐含方式， 即采用移码方式来表示正负指数。
移码方法对两个指数大小的比较和对阶操作 都比较方便，因为阶码域值大者其指数值也大。 采用这种方式时，将浮点数的指数真值e 变成
[例2] 将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点 数的二进制存储格式。
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[例1] 若浮点数ｘ的754标准存储格式为
(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。
[解:] 将十六进制数展开后，可得二进制数格式为
指数e＝阶码－127＝10000010－01111111＝00000011=(3)10 包括隐藏位1的尾数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在计算机的一个存储单元中分别予以表示，这种
把数的范围和精度分别表示的方法，相当于数的
小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自
由浮动，称为浮点表示法。
任意一个十进制数Ｎ 可以写成
Ｎ＝10E.Ｍ
(2.3)
同样在计算机中一个任意进制数Ｎ 可以写成
Ｎ＝Ｒe.Ｍ
(2.4)
Ｍ ：尾数，是一个纯小数。
e ：比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个
有限，但要求的处理硬件比较简单。而浮点 格式容许的数值范围很大，但要求的处理硬 件比较复杂。
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1. 定点数的表示方法 定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置 是固定不变的。由于约定在固定的位置，小数 点就不再使用记号“.”来表示。通常将数据表 示成纯小数或纯整数。
定点数ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn 在定点机中表 示如下(ｘ0:符号位，0代表正号，1代表负号):
--
纯小数的表示范围为(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn 各位均
为0时最小；各位均为1时最大)
0≤|ｘ|≤1－2－n
(2.1)
纯整数的表示范围为
0≤|ｘ|≤2n－1
(2.2)
目前计算机中多采用定点纯整数表示，因
此将定点数表示的运算简称为整数运算。
--
2. 浮点数的表示方法
电子的质量(9×10－28克)和太阳的质量 (2×1033克)相差甚远，在定点计算机中无法直 接来表示这个数值范围.要使它们送入定点计 算机进行某种运算，必须对它们分别取不同的 比例因子，使其数值部分绝对值小于1，即：
20.59375＝10100.10011
然后移动小数点，使其在第1，2位之间
10100.10011＝1.010010011×24
e＝4
于是得到：
S＝0，
E＝4＋127＝131，
M＝010010011
最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000＝(41A4C000)16
9 × 10－28＝0.9 × 10－27 2 × 1033＝0.2 × 1034
这里的比例因子10－27 和 1034要分别存放 在机器的某个存储单元中，以便以后对计算结 果按这个比例增大。显然这要占用一定的存储 空间和运算时间。因此得到浮点表示法如下：
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浮点表示法：把一个数的有效数字和数的范围
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浮点数所表示的范围远比定点数大。一台 计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示,要根 据计算机的使用条件来确定。一般在高档微机 以上的计算机中同时采用定点、浮点表示,由使 用者进行选择,而单片机中多采用定点表示。
[例1] 若浮点数ｘ的754标准存储格式为
(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。
整数。
R ：比例因子的基数，对于二进计数值的机器是
一个常数，一般规定Ｒ 为-- 2，8或16。
一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位 组成（尾数：用定点小数表示，给出有效数字 的位数决定了浮点数的表示精度；阶码：用整 数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决 定了浮点数的表示范围。）：
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32位浮点数的IEEE754标准格式为： 64位浮点数的IEEE754标准格式为：
当阶码E 为全0且尾数M 也为全0时，表示 的真值x 为零，结合符号位S 为0或1，有正零 和负零之分。当阶码E 为全1且尾数M 为全0时， 表示的真值x 为无穷大，结合符号位S 为0或1， 也有+∞和-∞之分。这样在32位浮点数表示中， 要除去E 用全0和全1(255)10表示零和无穷大的 特殊情况，指数的偏移值不选128(10000000)， 而选127(01111111)。对于规格化浮点数，E 的 范围变为1到254，真正的指数值e 则为-126到 +127。因此32位浮点数表示的绝对值的范围是 10-38~1038（以10的幂表示）。
1.M＝1.011 0110 0000 0000 0000 0000＝1.011011 于是有
ｘ＝(－1)s×1.M×2e
＝＋(1.011011)×23＝＋1011.011＝(11.375)10
--
[例2] 将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点 数的二进制存储格式。
[解:] 首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：