2014年内蒙古包头市中考数学试卷
2014年呼和浩特市中考数学试卷及答案1往年数学知识点
2014年 呼 和 浩 特 市 中 考 试 卷数学参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．D 3．A 4．B 5．B6．C 7．D 8．C 9．B 10．C二、填空题11．160° 12．1.6 13．63°或27°14．–y(3x –y)2 15．8 16．①三、计算题17．（1）解：原式=2 × 32 ＋ 13–2＋ 12 ··············································· 3分 = 3–(3＋2) ＋ 12····················································· 4分 = –32········································································· 5分 （2）解：去分母得3x 2–6x –x 2–2x = 0 ······································································· 1分 2x 2 –8x = 0 ·················································································· 2分 ∴ x = 0或x = 4 ············································································ 3分 经检验：x = 0是增根∴ x = 4是原方程的解 ···································································· 5分18．解：过点P 作PD ⊥AB 于D ································································ 1分 由题意知∠DPB = 45°在Rt ΔPBD 中，sin 45° = PD PB ∴ PB =2PD ··················································································· 2分 ∵ 点A 在P 的北偏东65°方向上∴ ∠APD = 25°在Rt ΔPAD 中cos 25° = PD PA∴ PD = PA cos 25° = 80 cos 25° ··························································· 5分∴ PB = 80 2 cos 25° ······································································ 6分19．解：⎩⎪⎨⎪⎧–2x ＋3≥–3…………………①12(x –2a)＋12 x < 0……………② 解①得：x ≤3··················································································· 1分 解②得：x < a ·················································································· 2分 ∵ a 是不等于3的常数∴ 当a > 3时，不等式组的解集为x ≤3 ················································· 4分 当a < 3时，不等式组的解集为x < a················································· 5分20．解：（1）中位数落在第四组 ······························································· 1分由此可以估计初三学生60秒跳绳在120个以上的人数达到一半以上 ············ 3分（2）x = 2×70＋10×90＋12×110＋13×130＋10×150＋3×17050≈121 ··· 6分 （3）记第一组的两名学生为A 、B ，第六组的三名学生为1、2、3 ············· 7分 则从这5名学生中抽取两名学生有以下10种情况：AB ，A1，A2，A3，B1，B2，B3，12，13，23∴ P = 410 = 25················································································ 9分 21．证明：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形∴ AD=BC AB=CD又∵ AC 是折痕∴ BC = CE = AD ············································································ 1分 AB = AE = CD ············································································ 2分 又DE = ED∴ ΔADE ≌ΔCED ········································································· 3分（2）∵ ΔADE ≌ΔCED∴ ∠EDC =∠DEA又ΔACE 与ΔACB 关于AC 所在直线对称∴ ∠OAC =∠CAB而∠OCA =∠CAB∴ ∠OAC =∠OCA ··········································································· 5分 ∴ 2∠OAC = 2∠DEA ······································································· 6分∴ ∠OAC =∠DEA∴ DE ∥AC ····················································································· 7分22．解：设基本电价为x 元/千瓦时，提高电价为y 元/千瓦时··························· 1分由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧180x ＋150y=213180x ＋60y =150 ·········································································· 3分 解之得：⎩⎨⎧x=0.6y=0.7·············································································· 4分 ∴ 4月份的电费为：160×0.6=96元5月份的电费为：180×0.6＋230×0.7 = 108＋161 = 269元答：这位居民4、5月份的电费分别为96元和269元． ···························· 7分23．解：（1）∵ y = k x过（1，4）点 ∴ k = 4，反比例函数解析式为y = 4x·················································· 1分 （2）∵ B （m ，n ） A （1，4）∴ AC = 4–n ，BC = m –1，ON = n ，OM = 1 ········································· 2分∴ AC ON = 4–n n = 4n–1 而B （m ，n ）在y = 4x上 ∴ 4n= m ∴ AC ON= m –1 而 BC OM = m –11∴ AC ON = BC OM················································································· 4分 又∵ ∠ACB =∠NOM = 90°∴ ΔACB ∽ΔNOM ·········································································· 5分（3）∵ ΔACB 与ΔNOM 的相似比为2∴ m –1 = 2∴ m = 3∴ B 点坐标为（3，43） ····································································· 6分 设AB 所在直线的解析式为y = kx ＋b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧43 = 3k ＋b 4 = k ＋b∴ k = –43 b = 163∴ 解析式为y = –43 x ＋163······························································· 8分 24．证明：（1）连接OC ········································································· 1分∵ AB 为⊙O 的直径∴ ∠ACB = 90°∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90°又∵ CM 是⊙O 的切线∴ OC ⊥CM∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90° ······························································ 2分 ∵ CO = AO∴ ∠BAC =∠ACO∴ ∠ACM =∠ABC ··········································································· 3分（2）∵ BC = CD∴ OC ∥AD又∵ OC ⊥CE∴ AD ⊥CE∴ ΔAEC 是直角三角形∴ ΔAEC 的外接圆的直径为AC ························································· 4分 又∵ ∠ABC ＋∠BAC = 90°∠ACM ＋∠ECD = 90°而∠ABC =∠ACM∴ ∠BAC =∠ECD又∠CED =∠ACB = 90°∴ ΔABC ∽ΔCDE∴ AB CD = BC ED而⊙O 的半径为3∴ AB = 6∴ 6CD = BC 2∴ BC 2 = 12∴ BC = 2 3 ·················································································· 6分 在Rt ΔABC 中∴ AC = 36–12 = 2 6 ·································································· 7分 ∴ ΔAEC 的外接圆的半径为 6 ························································· 8分25．解：（1）∵ y = ax 2＋bx ＋2经过点B 、D∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋2 = 0a ＋b ＋2 = 54 解之得：a =–14，b =–12∴ y =–14 x 2 –12x ＋2 ······································································· 2分 ∵ A （m ，0）在抛物线上∴ 0 =–14 m 2 –12m ＋2 解得：m =–4∴ A （–4，0） ··············································································· 3分 图像（略）······················································································ 4分（2）由题设知直线l 的解析式为y = 12x –1 ∴ S = 12AB ·PF = 12×6·PF = 3（–14 x 2 –12 x ＋2＋1–12x ） ·················································· 5分 = –34x 2 –3x ＋9 = –34（x ＋2）2 ＋12 ·································································· 6分 其中–4 < x < 0 ················································································ 7分 ∴ S 最大= 12，此时点P 的坐标为（–2，2） ·········································· 9分（3）∵ 直线PB 过点P （–2，2）和点B （2，0）∴ PB 所在直线的解析式为y =–12x ＋1 ············································· 10分 设Q （a ，12 a –1）是y = 12x –1上的任一点则Q 点关于x 轴的对称点为（a ，1–12a ） 将（a ，1–12 a ）代入y =–12x ＋1显然成立 ·········································· 11分 ∴ 直线l 上任意一点关于x 轴的对称点一定在PB 所在的直线上 ··············· 12分 注：本卷中各题如有不同解法，可依据情况酌情给分。
2014年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前内蒙古呼和浩特市2014年中考试卷数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列实数是无理数的是( )A .1-B .0C .πD .132.以下问题,不适合用全面调查的是( )A .旅客上飞机前的安检B .学校招聘教师,对应聘人员的面试C .了解全校学生的课外读书时间D .了解一批灯泡的使用寿命3.已知线段CD 是由线段AB 平移得到的,点(1,4)A -的对应点为(4,7)C ,则点(4,1)B --的对应点D 的坐标为( )A .(1,2)B .(2,9)C .(5,3)D .(9,4)--4.如图是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的体积为( )A .60πB .70πC .90πD .160π5.某商品先按批发价a 元提高10%零售,后又按零售价降低10%出售,则最后的单价是( )A .a 元B .0.99a 元C .1.21a 元D .0.81a 元6.已知O 的面积为2π,则其内接正三角形的面积为( )A. B. CD7.实数a ,b ,c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )A .ac bc ＞B .||a b a b -=-C .a b c -＜-＜D .a c b c ---＞- 8.下列运算正确的是( )A1322=B 3aC .2221111()()b a a b a b b a++÷-=-D .936()()a a a -÷=-9.已知矩形ABCD 的周长为20cm ,两条对角线AC ,BD 相交于点O ,过点O 作AC 的垂线EF ,分别交两边AD ,BC 于E ,F (不与顶点重合),则以下关于CDE △与ABF △判断完全正确的一项为 ( )A .CDE △与ABF △的周长都等于10cm ,但面积不一定相等B .CDE △与ABF △全等,且周长都为10cmC .CDE △与ABF △全等,且周长都为5cmD .CDE △与ABF △全等,但它们的周长和面积都不能确定10.已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点(,)A a c ,点(,1)B b c +在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x ,2x 判断正确的是( )A .121x x +＞,120x x ＞B .120x x +＜,120x x ＞C .1201x x +＜＜,120x x ＞D .12x x +与12x x 的符号都不确定第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填在题中的横线上) 11.一个底面直径是80cm ,母线长为90cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 .12.某校五个绿化小组一天的植树棵数如下：10,10,12,x ,8.已知这组数据的平均数是10,那么这组数据的方差是 .13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36︒,则该等腰三角形的底角的度数为 .14.把多项式22369xy x y y --因式分解,最后结果为.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）15.已知m ,n 是方程2250x x +-=的两个实数根,则23m mn m n -++= . 16.以下四个命题：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形； ②当0m ＞时,1y mx =-+与my x=两个函数都是y 随着x 的增大而减小； ③已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A ,B ,C ,D 按逆时针依次排列,若A 点坐标为,则D点坐标为(1,；④在一个不透明的袋子中装有标号为1,2,3,4的四个完全相同的小球,从袋中随机摸取一个然后放回,再从袋中随机地摸取一个,则两次取到的小球标号的和等于4的概率为18.其中正确的命题有 (只需填正确命题的序号).三、解答题(本大题共9小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分,每题5分)(1)计算：112cos30(32)||2-++-；(2)解方程：2231022x x x x-=+-.18.(本小题满分6分)如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65方向,距离灯塔80海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东45方向上的B 处,这时,海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？(结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可)19.(本小题满分5分)已知实数a 是不等于3的常数,解不等式组233,11(2)0,22x x a x -+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥＜并依据a 的取值情况写出其解集.20.(本小题满分9分)学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况,从初三年级各班随机抽取了50名学生进行了60秒跳绳的测试,并将这50名学生的测试成绩(即60秒跳绳的个数)从低到高分成六段记为第一到六组,最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题.(1)跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳绳成绩的一个什么结论？(2)若用各组数据的组中值(各小组的两个端点的数的平均数)代表各组的实际数据,求这50名学生的60秒跳绳的平均成绩(结果保留整数)；(3)若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生,用列举法求抽取的2名学生恰好在同一组的概率.数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）21.(本小题满分7分)如图,四边形ABCD 是矩形,把矩形沿AC 折叠,点B 落在点E 处,AE 与DC 的交点为O ,连接DE .(1)求证：ADE CED △≌△； (2)求证：DE AC ∥.22.(本小题满分7分)为鼓励居民节约用电,我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分,执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分,实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价格.我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元.已知我市的一位居民今年4,5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时,请你依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4,5月份的电费分别为多少元？23.(本小题满分8分)如图,已知反比例函数ky x=(0x ＞,k 是常数)的图象经过点(1),4A ,点,()B m n ,其中1m ＞,AM x ⊥轴,垂足为M ,BN y ⊥轴,垂足为N ,AM 与BN 的交点为C .(1)写出反比例函数解析式； (2)求证：ACB NOM △∽△；(3)若ACB △与NOM △的相似比为2,求出B 点的坐标及AB 所在直线的解析式.24.(本小题满分8分)如图,AB 是O 的直径,点C 在O 上,过点C 作O 的切线CM . (1)求证：ACM ABC ∠=∠；(2)延长BC 到D ,使BC CD =,连接AD 与CM 交于点E ,若O 的半径为3,2ED =,求ACE △的外接圆的半径.25.(本小题满分12分)如图,已知直线l 的解析式为112y x =-,抛物线22y ax bx =++经过点(,0)A m ,(2,0)B ,5(1,)4D 三点.(1)求抛物线的解析式及A 点的坐标,并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象； (2)已知点(,)P x y 为抛物线在第二象限部分上的一个动点,过点P 作PE 垂直x 轴于点E ,延长PE 与直线l 交于点F ,请你将四边形PAFB 的面积S 表示为点P 的横坐标x 的函数,并求出S 的最大值及S 最大时点P 的坐标；(3)将(2)中S 最大时的点P 与点B 相连,求证：直线l 上的任意一点关于x 轴的对称点一定在PB 所在直线上.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________。
2013-2018年内蒙古包头市中考数学试题汇编(含参考答案与解析)
【中考数学试题汇编】2013—2018年内蒙古包头市中考数学试题汇编（含参考答案与解析）1、2013年内蒙古包头市中考数学试题及参考答案与解析 (2)2、2014年内蒙古包头市中考数学试题及参考答案与解析 (24)3、2015年内蒙古包头市中考数学试题及参考答案与解析 (48)4、2016年内蒙古包头市中考数学试题及参考答案与解析 (75)5、2017年内蒙古包头市中考数学试题及参考答案与解析 (102)6、2018年内蒙古包头市中考数学试题及参考答案与解析 (126)2013年内蒙古包头市中考数学试题及参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1．计算（+2）+（﹣3）所得的结果是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．5 D ．﹣5 2．3tan30°的值等于（ ）A B ． C ．3 D ．323．函数11y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣1 B ．x ＜﹣1 C ．x≠﹣1 D ．x≠0 4．若|a|=﹣a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧 5．已知方程x 2﹣2x ﹣1=0，则此方程（ ）A ．无实数根B ．两根之和为﹣2C ．两根之积为﹣1D ．有一根为1-6．一组数据按从大到小排列为2，4，8，x ，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10 7．下列事件中是必然事件的是（ ）A ．在一个等式两边同时除以同一个数，结果仍为等式B ．两个相似图形一定是位似图形C ．平移后的图形与原来图形对应线段相等D ．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面一定朝上8．用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）A ．43 B ．34 C ．32 D ．239．化简2164244244a a a a a a -+÷++++，其结果是（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．()222a -+ D ．()222a +10．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若矩形ABCD 和矩形AEFC 的面积分别是S 1、S 2的大小关系是（ ）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S211．已知下列命题：①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；②若a＞0；③对角线互相平行且相等的四边形是菱形；④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）13=．14．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为8环，那么成绩为9环的人数是．环数7 8 9人数 3 415．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．16．不等式13（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为．17．设有反比例函数2kyx-=，（x1，y1），（x2，y2）为其图象上两点，若x1＜0＜x2，y1＞y2，则k的取值范围．18．如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为．19．如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为．20．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（8分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．22．（8分）如图，一根长AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．23．（10分）某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．（1）请写出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若要使此车间每天获取利润为14400元，要派多少名工人去生产甲种产品？（3）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适？24．（10分）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．25．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当13CEEB时，求CEFCDFSS的值；（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：OA；（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12 BG．26．（12分）已知抛物线y=x2﹣3x﹣74的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点E（32-，0）和点F（0，34-），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．①点G是否在直线l上，请说明理由；②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．计算（+2）+（﹣3）所得的结果是（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【知识考点】有理数的加法．【思路分析】运用有理数的加法法则直接计算．【解答过程】解：原式=﹣（3﹣2）=﹣1．故选B．【总结归纳】解此题关键是记住加法法则进行计算．2．3tan30°的值等于（）A B．C D．3 2【知识考点】特殊角的三角函数值．【思路分析】直接把tan30°代入进行计算即可．【解答过程】解：原式3=故选A．【总结归纳】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．3．函数11yx=+中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≠﹣1 D．x≠0【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答过程】解：根据题意得，x+1≠0，解得x≠﹣1．故选C．【总结归纳】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．若|a|=﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A．原点左侧B．原点或原点左侧C．原点右侧D．原点或原点右侧【知识考点】实数与数轴；绝对值【思路分析】根据|a|=﹣a，求出a的取值范围，再根据数轴的特点进行解答即可求出答案．【解答过程】解：∵|a|=﹣a，∴a一定是非正数，∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧；故选B．【总结归纳】此题考查了绝对值与数轴，根据|a|≥0，然后利用熟知数轴的知识即可解答，是一道基础题．5．已知方程x2﹣2x﹣1=0，则此方程（）A．无实数根B．两根之和为﹣2 C．两根之积为﹣1 D．有一根为1-【知识考点】根与系数的关系；根的判别式．【思路分析】根据已知方程的根的判别式符号确定该方程的根的情况．由根与系数的关系确定两根之积、两根之和的值；通过求根公式即可求得方程的根．【解答过程】解：A、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项错误；B、设该方程的两根分别是α、β，则α+β=2．即两根之和为2，故本选项错误；C、设该方程的两根分别是α、β，则αβ=﹣1．即两根之积为﹣1，故本选项正确；D、根据求根公式x==1±知，原方程的两根是（1+）和（1﹣）．故本选项错误；故选C．【总结归纳】本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式以及求根公式的应用．利用根与系数的关系、求根公式解题时，务必清楚公式中的字母所表示的含义．6．一组数据按从大到小排列为2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数为（）A．6 B．8 C．9 D．10【知识考点】众数；中位数．【思路分析】根据中位数为9，可求出x的值，继而可判断出众数．【解答过程】解：由题意得，（8+x）÷2=9，解得：x=10，则这组数据中出现次数最多的是10，故众数为10．故选D．【总结归纳】本题考查了中位数及众数的知识，属于基础题，掌握中位数及众数的定义是关键．7．下列事件中是必然事件的是（）A．在一个等式两边同时除以同一个数，结果仍为等式B．两个相似图形一定是位似图形C．平移后的图形与原来图形对应线段相等D．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面一定朝上【知识考点】随机事件．【思路分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答过程】解：A、当除数为0时，结论不成立，是随机事件；B、两个相似图形不一定是位似图形，是随机事件；C、平移后的图形与原来图形对应线段相等，是必然事件；D、随机抛出一枚质地均匀的硬币，落地后正面可能朝上，是随机事件．故选C．【总结归纳】本题考查了必然事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．。
2014年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷-答案
内蒙古呼和浩特市2014年中考试卷数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】无理数就是无限不循环小数，由此可判断π是无理数，故选C. 【考点】无理数的定义 2.【答案】D【解析】选择普查还是抽样调查要根据所要调查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查了解一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，工作量大，不适合全面调查，故选D. 【考点】抽样调查和全面调查的区别 3.【答案】A【解析】平移中点的变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.因为点(1,4)A -的对应点 为()4,7C ，所以平移规律为向右平移5个单位，向上平移3个单位，又因为点()4,1B --，所以点D 的坐 标为(1,2)，故选A.【考点】坐标与图形变化平移 4.【答案】B【解析】由三视图可以判断此几何体为空心圆柱，其内径为6，外径为8，高为10，圆柱的体积=⨯底面高积，所以此空心圆柱的体积为2210(4π3π70)π⨯-=，故选B.【考点】三视图计算几何体的体积 5.【答案】B【解析】原价提高10%后商品新单价为%(1)10a +元,再按新价降低10%后单价为()(110%10%)1a +-元，由题意得110%1 10% ()()0.99a a +-=g （元），故选B. 【提示】找到相应关系是解答此题的关键. 【考点】列代数式解应用题 6.【答案】C【提示】根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键. 【考点】垂径定理，等边三角形的性质 7.【答案】D【解析】∵由图可知，0a b c <<<，∴ac bc <，故A 错误；∵a b <，∴0a b -<，∴||a b b a -=-，B 错误；∵0a b <<，∴a b ->-，C 错误；∵a b ->-，0c >，∴a c b c -->--，故选D. 【考点】实数，数轴，绝对值，实数大小的比较 8.【答案】C==A 3||a =，B 错误； 22222222222221111()()()()()()()()a b b a b a a b a b a ba b a b a b a b a b b a b a b a++-+++÷-=÷==+--g ，C 正确；93936()a a a a a -÷=-÷=-，D 错误，故选C.【考点】分式的混合运算，同底数幂的除法，二次根式的混合运算∵CD AB =，90CDE ABF ∠=∠=︒，BF DE =，∴CDE ABF △≌△，故选B. 【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质 10.【答案】C【解析】∵点,()A a c 在第一象限的一支曲线上，∴0a >，0c >，1ac =，∴点1(),B b c +在该函数图像的另外一支上，∴0b <，1()1b c -+=，∴12011x x bc b <+=-=+<，120cx x a=>，故选C. 【提示】熟练掌握根与系数的关系和反比例函数图象在各个象限点的特征的解答本题的关键. 【考点】根与系数的关系，反比例函数图像上点的坐标特征第Ⅱ卷二、填空题【考点】圆锥的计算 12.【答案】1.6【解析】根据题意有1010128510x ++++÷=（），10x =， ∴这组数据的方差是22223(1010)(1210)([]810)165s ⨯-+-+-==．.【考点】方差 13.【答案】63︒或27︒【解析】解：在三角形ABC 中，如图所示，AB AC =，BD AC ⊥于D .①若ABC △是锐角三角形，903654A ∠=︒-︒=︒，底角(18054)263ABC C ∠=∠=︒-︒÷=︒；若ABC △是钝角三角形，3690126BAC ∠=︒+︒=︒，(180126)227ABC C ∠=∠=︒-︒÷=︒.所以此等腰三角形底角的度数是63︒或27︒.【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理 14.【答案】2(3)y x y --【解析】因式分解的一般步骤：（1）提取公因式；（2）运用公式进一步分解，所以22322269(69)(3)xy x y y y y xy x y x y --=-+=---.【考点】提取公因式法，公式法分解因式 15.【答案】8【解析】由m 、n 是方程2250x x +-=的两个实数根，得2m n +=-，5mn =-，且2250m m +-=，而223(25)502558m mn m n m m m n -++=+-+++=-++=.【考点】根与系数的关系，一元二次方程的解 16.【答案】①【解析】当0m >时，函数my x=的图像在第一象限、第三象限，y 随着x 的增大而减小，故○2错误；正方形的对称中心在坐标原点，顶点A ，B ，C ，D 按逆时针依次排列，若A 点坐标为，则D 点坐标为) 1-，故○3错误；在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为316，故○4错误. 【考点】命题与定理，菱形的性质，一次函数及反比例函数的性质，图形与坐标及概率 三、解答题 17.【答案】（1）32- （2）4x =【解析】解：（1）原式122=+12)2=+3=2-（2）去分母得223620x x x x ---=，2280x x -=∴0x =或4x =经检验，0x =是增根，∴4x =是原方程的解.【提示】对于第（2）题，分式方程要检验，这点要切记.【考点】二次根式的混合运算，负指数幂运算，解分式方程，特殊角的三角函数值 18.【答案】︒【考点】直角三角形的应用，方向角问题19.【答案】当3a >时，不等式组的解集为3x ≤；当3a <时，不等式组的解集为x a <.【解析】解：23311(2)022x x a x -+≥-⎧⎪⎨-+<⎪⎩①② 解①得3x ≤， 解②得x a <.∵a 是不等于3的常数，∴当3a >时，不等式组的解集为3x ≤； 当3a <时，不等式组的解集为x a <.【考点】一元一次不等式组20.【答案】（1）解：（1）中位数落在第四组，可以估计初三学生60秒跳绳再120个以上的人数达到一半以上. （2）121 （3）2【考点】频数（率）分布直方图21.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，AD BC =，AB CD =，又∵AC 是折痕，BC CE AD ==，AB AE CD ==.又DE ED =，∴ADE CED △≌△.【解析】证明：（2）∵ADE CED △≌△，∴EDC DEA ∠=∠，ACE △与ACB △关于AC 所在直线对称， ∴OAC CAB ∠=∠，而OCA CAB ∠=∠，∴OAC OCA ∠=∠. ∴22OAC DEA ∠=∠，∴OAC DEA ∠=∠，∴DE AC ∥.【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质 22.【答案】96元、296元【解析】解：设基本电价为x 元/千瓦时，提高电价为y 元/千瓦时， 由题意得18015021318060180x y x y +=⎧⎨+=⎩解得0.60.7x y =⎧⎨=⎩∴4月份的电费为1600.696⨯=（元），5月份的电费为1800.62300.7108161269⨯+⨯=+=（元）.【提示】解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解. 【考点】二元一次方程组的应用 23.【答案】（1）4y=（3）416y x =-+【考点】反比例函数的综合应用 24.【答案】（1）证明：连接OC .∵AB 为O e 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ABC BAC ∠+∠=︒，又∵CM 是O e 的切线，∴OC CM ⊥， ∴90ACM ACO ∠+∠=︒.∴CO AO =，∴BAC ACO ∠=∠，∴ACM ABC ∠=∠（2【解析】【考点】切线的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形 25.【答案】（1）(4,0)- （2）(2,2)P -【考点】待定系数法求抛物线的解析式；待定系数法求直线的解析式，函数的最值问题，四边形的面积求法，x轴的对称点的坐标特征。
2014年内蒙古包头市中考数学试卷与答案[Word解析版]
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2014年市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2014•）下列实数是无理数的是（）A．﹣2 B．C．D．分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案．解答：解；A、B、C、都是有理数，D、是无理数，故选：D．点评：本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．2．（3分）（2014•）下列计算正确的是（）A．（﹣1）﹣1=1 B．（﹣1）0=0C．|﹣1|=﹣1 D．﹣（﹣1）2=﹣1考点：负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；零指数幂．分析：根据负整指数幂，可判断A，根据非0的0次幂，可判断B，根据负数的绝对值是正数，可判断C，根据相反数，可判断D．解答：解：A、（﹣1）﹣1=﹣1，故A错误；B、（﹣1）0=1，故B错误；C、|﹣1|=1，故C错误；D、﹣（﹣1）2=﹣1，故D正确；故选：D．点评：本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．3．（3分）（2014•）2013年我国GDP总值为56.9万亿元，增速达7.7%，将56.9万亿元用科学记数法表示为（）A．56.9×1012元B．5.69×1013元C．5.69×1012元D．0.569×1013元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：56.9万亿元=5.69×1013，故选：B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2014•）在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：8，8，10，8，7，9，则这6名学生成绩的中位数是（）A．7B．8C．9D．10考点：中位数．分析：根据中位数的定义，把把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可．解答：解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，10，最中间两个数的平均数是（8+8）÷2=8，则中位数是8．故选；B．点评：本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．5．（3分）（2014•）计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2B．1C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．6．（3分）（2014•）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种考点：三角形三边关系．分析：要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．解答：解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选C．点评：本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．7．（3分）（2014•）下列说确的是（）A．必然事件发生的概率为0B．一组数据1，6，3，9，8的极差为7C．“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件D．“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件考点：随机事件；方差；概率的意义．分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，可得答案．解答：解：A、必然事件发生的概率为1，故A错误；B、一组数据1，6，3，9，8的级差为8，故B错误；C、面积相等两个三角形全等，是随机事件，故C错误；D、”任意一个三角形的外角和等于180°”是不可能事件，故D正确；故选：D．点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事．8．（3分）（2014•）在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x﹣1）2+2D．y=3（x﹣1）2﹣2考点：二次函数图象与几何变换．分析：先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．解答：解：∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y=3（x﹣1）2+2．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a（x﹣k）2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．9．（3分）（2014•）如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为．若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．π﹣2考点：扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质．分析：首先根据正方形的性质可得∠DBD′=45°，BC=CD，然后根据勾股定理可得BC、CD长，再计算出扇形BDD′和△BCD的面积可得阴影部分面积．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBD′=45°，BC=CD，∵BD的长为，∴BC=CD=1，∴S扇形BDD′==，S△CBD=1×1=，∴阴影部分的面积：﹣，故选：C．点评：此题主要考查了正方形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．10．（3分）（2014•）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．解答：解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，∴==2，==2，∴=，故选A．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．11．（3分）（2014•）已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1，则=a；③错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题与定理．分析：先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．解答：解；①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1，则=a是真命题，逆命题是假命题；③错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选：A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．（3分）（2014•）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值围是（）A．m≤B．m≤且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2（m﹣1），x1x2=m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．解答：解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，∴m≤，∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0∴m＜1，m≠0∴m≤且m≠0．故选：B．点评：此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2=﹣，x1x2=．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2014•）计算：﹣= ．考点：二次根式的加减法．分析：首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案．解答：解：﹣=×2﹣×=﹣=．故答案为：．点评：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．14．（3分）（2014•）如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为107 度．考点：平行线的判定与性质．专题：计算题．分析：根据已知一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，利用两直线平行同旁角互补得到一对角互补，再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数．解答：解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠5+∠3=180°，∵∠4=∠5，∠3=73°，∴∠4+∠3=180°，则∠4=107°．故答案为：107点评：此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．15．（3分）（2014•）某学校举行演讲比赛，5位评委对某选手的打分如下（单位：分）9.5，9.4，9.4，9.5，9.2，则这5个分数的平均分为9.4 分．考点：加权平均数．分析：根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．解答：解：这5个分数的平均分为（9.5×2+9.4×2+9.2）÷5=9.4；故答案为：9.4．点评：此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据公式列出算式．16．（3分）（2014•）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）= 2x+5 ．考点：完全平方公式；平方差公式．专题：计算题．分析：原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．解答：解：原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．故答案为：2x+5．点评：此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（3分）（2014•）方程﹣=0的解为x= 2 ．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣3﹣x﹣1=0，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：2点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．（3分）（2014•）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为8 ．考点：垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．解答：解：连接OC，如图所示．∵点E是的中点，∴∠BOE=∠COE．∵OB=OC，∴OD⊥BC，BD=DC．∵BC=6，∴BD=3．设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．∵DE=1，∴OD=r﹣1．∵OD⊥BC即∠BDO=90°，∴OB2=BD2+OD2．∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，∴r2=32+（r﹣1）2．解得：r=5．∴OD=4．∵AO=BO，BD=CD，∴OD=AC．∴AC=8．点评：本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性．19．（3分）（2014•）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D 作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为﹣16 ．考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义．分析：证△DCO∽△ABO，推出===，求出=（）2=，求出S△ODC=8，根据三角形面积公式得出OC×CD=8，求出OC×CD=16即可．解答：解：∵OD=2AD，∴=，∵∠ABO=90°，DC⊥OB，∴AB∥DC，∴△DCO∽△ABO，∴===，∴=（）2=，∵S四边形ABCD=10，∴S△ODC=8，∴OC×CD=8，OC×CD=16，∴k=﹣16，故答案为：﹣16．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ODC的面积．20．（3分）（2014•）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S△CEF=S△EAF+S△CBE；④若=，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是①③④．（填写所有正确结论的序号）考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE，判断出①正确，然后求出△AEF和△BCE 相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后根据两组边对边对应成比例，两三角形相似求出△AEF和△ECF，再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=DH，利用“HL”证明△AEF和△HEF，根据全等三角形对应边相等可得AF=FH，同理可得BC=CH，然后求出AF+BC=CF，判断出②错误；根据全等三角形的面积相等可得S△CEF=S△EAF+S△CBE，判断出③正确；根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°，然后求出∠DCF=∠ECF=30°，再利用“角角边”证明即可．解答：解：∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AEF=∠BCE，故①正确；又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BCE，∴=，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴=，又∵∠A=∠CEF=90°，∴△AEF∽△ECF，∴∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，则AE=DH，在△AEF和△HEF中，，∴△AEF≌△HEF（HL），∴AF=FH，同理可得△BCE≌△HCE，∴BC=CH，∴AF+BC=CF，故②错误；∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；若=，则cot∠BCE=====2×=，∴∠BCE=30°，∴∠DCF=∠ECF=30°，在△CEF和△CDF中，，∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（8分）（2014•）有四正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四卡片中随机地摸取一不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．考点：列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）画树状图得：则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3），∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为：=．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（8分）（2014•）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，点E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）考点：梯形；勾股定理．分析：过点D作DF⊥BC，根据∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的长，因为AD=1，所以BC=2+1，根据∠AEB=60°，可得BE，进而得出CE的长．解答：解：过点D作DF⊥BC，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴四边形ABFD为矩形，∵∠BCD=45°，∴DF=CF，∵AB=2，∴DF=CF=2，∴由勾股定理得CD=2；∵AD=1，∴BF=1，∴BC=2+1，∵∠AEB=60°，∴tan60°=，∴=，∴BE=2，∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．点评：本题考查了梯形的计算以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．23．（10分）（2014•）甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；（2）根据收费相同，列出方程求解即可；（3）根据函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解．解答：解：（1）当x=1时，y1=3000；当x＞1时，y1=3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）=2100x+900．∴y1=；y2=3000x（1﹣25%）=2250x，∴y2=2250x；（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+900=2250x，解得x=6，答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；（3）x=5时，y1=2100x+900=2100×5+900=11400，y2=2250x=2250×5=11250，∵11400＞11250，∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．点评：本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键．24．（10分）（2014•）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．考点：切线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连结OC，根据切线的性质得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB 得∠GEA=90°，则∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；（2）连结OD，BG，在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2，由于∠FOC=90°﹣∠F=60°，根据三角形外角性质可计算出∠1=∠2=30°，则∠PCD=90°﹣∠1=60°，可判断△PCD为等边三角形；再由D为AC的中点，根据垂径定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可计算出OD=OC=1，CD=OD=，所以△PCD的周长为3；然后在Rt△ADE中，计算出DE=AD=，AE=DE=，根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°，再证明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可计算出AG．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，∵GE⊥AB，∴∠GEA=90°，∴∠2+∠ADE=90°，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠PCD=∠ADE，而∠ADE=∠PDC，∴∠PCD=∠PDC，∴△PCD是等腰三角形；（2）解：连结OD，BG，如图，在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，∴OF=2OC，即OB+2=2OC，而OB=OC，∴OC=2，∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，∴∠1=∠2=30°，∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，∴△PCD为等边三角形，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△OCD中，OD=OC=1，CD=OD=，∴△PCD的周长为3；在Rt△ADE中，AD=CD=，∴DE=AD=，AE=DE=，∵AB为直径，∴∠AGB=90°，而∠GAE=∠BAG，∴Rt△AGE∽Rt△ABG，∴AG：AB=AE：AG，∴AG2=AE•AB=×4=6，∴AG=6．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质．25．（12分）（2014•）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）运用=和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．（3）由已知S△AEF=S四边形ABOF．得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，求出t的值．解答：解：（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴==，==∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO．∴∠AOB=∠EOF．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EOF+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．（3）如图，连接AF，∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6∵S△AEF=S四边形ABOF∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，解得t=或t=．∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．点评：本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF求t的值．26．（12分）（2014•）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E 的坐标；（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC 对称吗？请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法即可求得解析式，把解析式转化成顶点式即可求得顶点坐标．（2）根据有两组对应边对应成比例且夹角相等即可求得△ABC∽△NBO，由三角形相似的性质即可求得．（3）作EF⊥BC于F，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标，根据勾股定理即可求得．（4）延长EF交y轴于Q，根据勾股定理求得FQ的长，再与EF比较即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴，解得．∴抛物线为y=﹣x2+x+2；∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴顶点M（，）．（2）如图1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），∴直线BC为：y=﹣x+2，当x=时，y=，∴N（，），∴AB=3，BC=2，OB=2，BN==，∴==，==，∵∠ABC=∠NBO，∴△ABC∽△NBO，∴∠NOB=∠ACB；（3）如图2，作EF⊥BC于F，∵直线BC为y=﹣x+2，∴设E（m，﹣m2+m+2），直线EF的解析式为y=x+b，则直线EF为y=x+（﹣m2+2），解得，∴F（m2，﹣m2+2），∵EF=，∴（m﹣m2）2+（﹣m2+2+m2﹣m﹣2）2=（）2，解得m=1，∴﹣m2+m+2=2，∴E（1，2），（4）如图2，延长EF交y轴于Q，∵m=1，∴直线EF为y=x+1，∴Q（0，1），∵F（，），∴FQ==，∵EF=，EF⊥BC，∴E、F两点关于直线BC对称．点评：本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点的求法，直线的交点问题，勾股定理的应用等．。
内蒙古呼和浩特2014年中考数学试卷 有答案
2014年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）3．（3分）（2014•呼和浩特）已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C4．（3分）（2014•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）5．（3分）（2014•呼和浩特）某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，．的半径为=120BOD=∠，BOD=BC=2BD=，BOD=••OD=××=×=7．（3分）（2014•呼和浩特）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）•=B=a3+）（）=3=3÷9．（3分）（2014•呼和浩特）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF矩形10．（3分）（2014•呼和浩特）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2判断正，，即可得出答案．＞．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）11．（3分）（2014•呼和浩特）一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为160°．圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×∴12．（3分）（2014•呼和浩特）某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是 1.6．[））这组数据的方差是的平均数为=﹣））13．（3分）（2014•呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为63°或27°．14．（3分）（2014•呼和浩特）把多项式6xy2﹣9x2y﹣y3因式分解，最后结果为﹣y（3x﹣y）2．15．（3分）（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=8．﹣且一元二次方程的求根公式是﹣或者﹣n=﹣、﹣16．（3分）（2014•呼和浩特）以下四个命题：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．②当m＞0时，y=﹣mx+1与y=两个函数都是y随着x的增大而减小．③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，，则D点坐标为（1，．④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为．其中正确的命题有①（只需填正确命题的序号）y=，错三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2014•呼和浩特）计算（1）计算：2cos30°+（﹣2）﹣1+|﹣|（2）解方程：﹣=0．×+﹣（；18．（6分）（2014•呼和浩特）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）=，PD=cos25PB=8019．（5分）（2014•呼和浩特）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组，并依据a的取值情况写出其解集．，20．（9分）（2014•呼和浩特）学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随机抽取了50名学生进行了60秒跳绳的测试，并将这50名学生的测试成绩（即60秒跳绳的个数）从低到高分成六段记为第一到六组，最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题．（1）跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳绳成绩的一个什么结论？（2）若用各组数据的组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，求这50名学生的60秒跳绳的平均成绩（结果保留整数）；（3）若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生，用列举法求抽取的2名学生恰好在同一组的概率．=；21．（7分）（2014•呼和浩特）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：DE∥AC．22．（7分）（2014•呼和浩特）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元？由题意得，，23．（8分）（2014•呼和浩特）如图，已知反比例函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）写出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM；（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．y=，则==m=m而=可得=y=（；∴=﹣上，∴∴，而=∴，，∴x+．24．（8分）（2014•呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．∴，∴，BC=2AC==2的外接圆的半径为．25．（12分）（2014•呼和浩特）如图，已知直线l的解析式为y=x﹣1，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（m，0），B（2，0），D（1，）三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．mS=﹣x+1，y=﹣x+1）∴，﹣x x+2my=xS=ABx x+2+1xx（x+1a y=﹣﹣﹣。
2014年内蒙古呼市数学中考试卷+答案
2014年呼和浩特市中考试卷数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列实数是无理数的是( )A.-1B.0C.πD.132.以下问题,不适合用全面调查的是( )A.旅客上飞机前的安检B.学校招聘教师,对应聘人员的面试C.了解全校学生的课外读书时间D.了解一批灯泡的使用寿命3.已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐标为( )A.(1,2)B.(2,9)C.(5,3)D.(-9,-4)4.下图是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的体积为( )A.60πB.70πC.90πD.160π5.某商品先按批发价a元提高10%零售,后又按零售价降低10%出售,则最后的单价是( )A.a元B.0.99a元C.1.21a元D.0.81a元6.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为( )A.3√3B.3√6C.32√3 D.32√67.实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<cD.-a-c>-b-c8.下列运算正确的是( )A.√54·√12=32√6 B.√(a3)2=a3C.(1a +1a)2÷(1a2-1a2)=a+aa-aD.(-a)9÷a3=(-a)69.已知矩形ABCD的周长为20 cm,两条对角线AC,BD相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为( )A.△CDE与△ABF的周长都等于10 cm,但面积不一定相等B.△CDE与△ABF全等,且周长都为10 cmC.△CDE与△ABF全等,且周长都为5 cmD.△CDE与△ABF全等,但它们的周长和面积都不能确定10.已知函数y=1|a|的图象在第一象限的一支曲线上有一点A(a,c),点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2,判断正确的是( )A.x1+x2>1,x1·x2>0B.x1+x2<0,x1·x2>0C.0<x1+x2<1,x1·x2>0D.x1+x2与x1·x2的符号都不确定第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.一个底面直径是80 cm,母线长为90 cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为.12.某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下:10,10,12,x,8.已知这组数据的平均数是10,那么这组数据的方差是.13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为.14.把多项式6xy2-9x2y-y3因式分解,最后结果为.15.已知m,n是方程x2+2x-5=0的两个实数根,则m2-mn+3m+n= .16.以下四个命题:①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形.②当m>0时,y=-mx+1与y=aa两个函数都是y随着x的增大而减小.③已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A,B,C,D按逆时针依次排列,若A点坐标为(1,√3),则D点坐标为(1,-√3).④在一个不透明的袋子中装有标号为1,2,3,4的四个完全相同的小球,从袋中随机摸取一个然后放回,再从袋中随机地摸取一个,则两次取到的小球标号的和等于4的概率为18.其中正确的命题有.(只需填正确命题的序号)三、解答题(本大题共9小题,满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算(1)(5分)计算:2cos 30°+(√3-2)-1+|-12|;(2)(5分)解方程:3a2+2x -1a2-2x=0.18.(6分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可)19.(5分)已知实数a是不等于3的常数,解不等式组{-2a+3≥-3,12(x-2a)+12x<0,并依据a的取值情况写出其解集.20.(9分)学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况,从初三年级各班随机抽取了50名学生进行了60秒跳绳的测试,并将这50名学生的测试成绩(即60秒跳绳的个数)从低到高分成六段记为第一到六组,最后整理成下面的频数分布直方图:请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题.(1)跳绳次数的中位数落在哪一组?由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳绳成绩的一个什么结论?(2)若用各组数据的组中值(各小组的两个端点的数的平均数)代表各组的实际数据,求这50名学生的60秒跳绳的平均成绩(结果保留整数);(3)若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生,用列举法求抽取的2名学生恰好在同一组的概率.21.(7分)如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连结DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:DE∥AC.22.(7分)为鼓励居民节约用电,我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分,执行基本价格;第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分,实行提高电价;第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价格.我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元.已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时,请你依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元.23.(8分)如图,已知反比例函数y=a(x>0,k是常数)的图象经过点A(1,4),点B(m,n),其中am>1,AM⊥x轴,垂足为M,BN⊥y轴,垂足为N,AM与BN的交点为C.(1)写出反比例函数解析式;(2)求证:△ACB∽△NOM;(3)若△ACB与△NOM的相似比为2,求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.24.(8分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C作☉O的切线CM.(1)求证:∠ACM=∠ABC;(2)延长BC到D,使BC=CD,连结AD,与CM交于点E,若☉O的半径为3,ED=2,求△ACE的外接圆的半径.x-1,抛物线y=ax2+bx+2经过点25.(12分)如图,已知直线l的解析式为y=12)三点.A(m,0),B(2,0),D(1,54(1)求抛物线的解析式及A点的坐标,并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象;(2)已知点P(x,y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点,过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与直线l交于点F,请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数,并求出S的最大值及S最大时点P的坐标;(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连,求证:直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上.答案全解全析：一、选择题1.C A选项是整数,是有理数,错误;B选项是整数,是有理数,错误;C选项正确;D选项是分数,是有理数,错误,故选C.评析本题考查有理数、无理数的定义,属容易题.2.D 旅客上飞机前的安检意义重大,必须用全面调查,故A选项不符合题意;学校招聘教师,对应聘人员的面试宜用全面调查,故B选项不符合题意;了解全校学生的课外读书时间,数量不大,宜用全面调查,故C选项不符合题意;了解一批灯泡的使用寿命,具有破坏性,不适合用全面调查.故选D.评析本题考查抽样调查和全面调查的区别,一般来说,对于具有破坏性、精确度要求不高的调查,应选择抽样调查;对于精确度要求高、事关重大的调查往往选用全面调查,属容易题.3.A ∵点A(-1,4)的对应点为C(4,7),∴平移规律为向右平移5个单位,向上平移3个单位,∴按此规律,点B(-4,-1)的对应点D的坐标为(1,2).故选A.4.B 观察三视图发现该几何体为空心圆柱,其内径为6,外径为8,高为10,所以其体积为10×(π×42-π×32)=70π,故选B.评析本题考查由三视图判断几何体的形状,解决本题的关键是得到此几何体的形状,属容易题.5.B 由题意得a(1+10%)(1-10%)=0.99a(元).故选B.评析本题主要考查列代数式,属容易题.6.C 如图所示,连结OB、OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O的面积为2π,∴☉O 的半径为√2. ∵△ABC 为正三角形, ∴∠BOC=2×60°=120°, ∴∠BOD=12∠BOC=60°.∵OB=√2, ∴BD=OB·sin∠BOD=√2·sin 60°=√62, ∴BC=2BD=√6,∴OD=OB·cos∠BOD=√2·cos 60°=√22, ∴△BOC 的面积=12·BC·OD=12×√6×√22=√32,∴△ABC 的面积=3S △BOC =3×√32=3√32.故选C.评析 本题考查三角形的外接圆与外心,属容易题.7.D 由题图可知,a<b<0<c,∴ac<bc,故A 选项错误;∵a<b,∴a -b<0,∴|a -b|=b-a,故B 选项错误;∵a<b<0,∴-a>-b,故C 选项错误;∵-a>-b,c>0,∴-a-c>-b-c,故D 选项正确.故选D.评析 本题考查不等式的基本性质和绝对值的意义,属容易题.8.C A 项,原式=3√6×√22=3√3,故A 选项错误;B 项,原式=|a|3,故B 选项错误;C 项,原式=(a +a )2a 2a2÷(a +a )(a -a )a 2a2=(a +a )2a 2a2·a 2a 2(a +a )(a -a )=a +a a -a,故C 选项正确;D 项,原式=-a 9÷a 3=-a 6,故D 选项错误.故选C.评析 本题考查分式的混合运算,整式的运算以及二次根式的化简,熟练掌握基本运算法则是解答此题的关键,属容易题.9.B ∵AO=CO,EF⊥AC,即EF 垂直平分AC,∴EA=EC,∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=CD+AD=10 cm,同理可求出△ABF 的周长为10 cm. 在△AOE 和△COF 中, ∵{∠aaa =∠aaa ,aa =aa ,∠aaa =∠aaa , ∴△AOE≌△COF,∴AE=CF. ∵AD=BC, ∴DE=BF,∴在△CDE 和△ABF 中,{aa =aa ,∠aaa =∠aaa ,aa =aa ,∴△CDE≌△ABF,故选B.评析 本题考查了线段的垂直平分线的性质,全等三角形的判定,属容易题. 10.C ∵点A(a,c)在第一象限的一支曲线上, ∴a>0,c>0.∵点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上, ∴b<0,c+1>0,即c>-1, ∴c>0,∴x 1·x 2=aa >0.∵点A 、B 都在y=1|a |的图象上,∴{a =1a ,a +1=-1a ,∴{a =1a ,a =-1a +1,∴x 1+x 2=-aa =a a +1.∵c>0,∴0<a a +1<1,即0<x 1+x 2<1,故选C.评析 本题考查一元二次方程根与系数的关系,属难题. 二、填空题 11.答案 160°解析 ∵圆锥的底面直径是80 cm.∴圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为80π cm, 设圆心角为n°,则由题意得 80π=a π·90180,解得n=160.12.答案 1.6解析 ∵这组数据的平均数是10, ∴(10+10+12+x+8)÷5=10,解得x=10,∴这组数据的方差是15[3×(10-10)2+(12-10)2+(8-10)2]=1.6. 评析 本题考查了方差的计算方法,属容易题. 13.答案 63°或27°解析 在三角形ABC 中,设AB=AC,BD⊥AC 于D. ①若三角形是锐角三角形,则∠A=90°-36°=54°, 此时,底角=(180°-54°)÷2=63°;②若三角形是钝角三角形,则∠BAC=36°+90°=126°, 此时,底角=(180°-126°)÷2=27°.综上,该等腰三角形底角的度数是63°或27°.评析 本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理,属容易题.14.答案 -y(3x-y)2解析 6xy 2-9x 2y-y 3=-y(y 2-6xy+9x 2)=-y(3x-y)2.评析 本题考查用提取公因式法和公式法分解因式,属容易题. 15.答案 8解析 由于m,n 是方程x 2+2x-5=0的两个实数根,故m 2+2m=5,m+n=-2,mn=-5,所以m 2-mn+3m+n=m 2+2m+m+n-mn=5-2+5=8. 16.答案 ①解析 每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形,①正确.当m>0时,-m<0,函数y=-mx+1中,y 随着x 的增大而减小,函数y=aa 的图象在第一、三象限内,且在每一象限内y 随着x 的增大而减小,②错误. 由图可得,△AOF≌△DOG,∴OG=OF=1,DG=AF=√3,∴D 点坐标为(√3,-1),③错误. 由④的题意,画树状图如下:∴两次取到的小球标号的和等于4的概率为316,④错误.三、解答题17.解析 (1)原式=2×√32+√3-2+12(3分)=√3-(√3+2)+12(4分) =-32.(5分)(2)去分母得3x 2-6x-x 2-2x=0,(1分) 2x 2-8x=0,(2分) ∴x=0或x=4.(3分) 经检验:x=0是增根,∴x=4是原方程的解.(5分)评析 本题考查二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、负指数幂运算、解分式方程,属容易题.18.解析 过点P 作PD⊥AB 于D,(1分) 由题意知∠DPB=∠PBD=45°, 在Rt△PBD 中,sin B=sin 45°=aaaa , ∴PB=√2PD.(2分)∵点A 在P 的北偏东65°方向上, ∴∠APD=25°. 在Rt△PAD 中,cos∠APD=cos 25°=aaaa ,∴PD=PAcos 25°=80cos 25°,(5分) ∴PB=80√2cos 25°(海里).(6分)评析 本题考查方位角的含义,作垂线构造直角三角形是解决本题的关键,属容易题.19.解析 {-2a +3≥-3,12(x -2a)+12x <0,①② 解①得x≤3,(1分)解②得x<a.(2分)∵a 是不等于3的常数,∴当a>3时,不等式组的解集为x≤3,(4分) 当a<3时,不等式组的解集为x<a.(5分)评析 本题考查一元一次不等式组的解法及分类讨论思想,很新颖,属容易题. 20.解析 (1)中位数落在第四组.(1分)由此可以估计初三学生60秒跳绳在120个以上的人数达到一半以上.(3分) (2)a =2×70+10×90+12×110+13×130+10×150+3×17050≈121.(6分)(3)记第一组的两名学生为A 、B,第六组的三名学生为1、2、3,(7分) 则从这5名学生中抽取两名学生有以下10种情况: AB,A1,A2,A3,B1,B2,B3,12,13,23, 在同一组的是AB,12,13,23, ∴P=410=25.(9分)评析 本题考查频数分布直方图以及对数据的分析,属容易题. 21.证明 (1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD=BC,AB=CD. 又∵AC 是折痕, ∴BC=CE=AD,(1分) AB=AE=CD,(2分) 又DE=ED,∴△ADE≌△CED.(3分) (2)∵△ADE≌△CED, ∴∠EDC=∠DEA,又△ACE 与△ACB 关于AC 所在直线对称, ∴∠OAC=∠CAB, 而∠OCA=∠CAB,∴∠OAC=∠OCA,(5分) ∴2∠OAC=2∠DEA,(6分) ∴∠OAC=∠DEA, ∴DE∥AC.(7分)评析 本题考查轴对称变换(折叠问题),矩形的性质以及全等三角形的判定与性质,属容易题.22.解析 设基本电价为x 元/千瓦时,提高电价为y 元/千瓦时,(1分)由题意得{180a +150a =213,180a +60a =150,(3分)解之得{a =0.6,a =0.7,(4分)∴4月份的电费为160×0.6=96元,5月份的电费为180×0.6+230×0.7=108+161=269元.答:这位居民4、5月份的电费分别为96元和269元.(7分)评析 本题考查二元一次方程组的应用,读懂题意,找出合适的等量关系是解题关键,属容易题.23.解析 (1)∵y=a a过(1,4)点, ∴k=4,反比例函数解析式为y=4a .(1分) (2)证明:∵B(m,n),A(1,4),∴AC=4-n,BC=m-1,ON=n,OM=1,(2分) ∴aa aa =4-a a =4a -1,而B(m,n)在y=4a 上,∴4a =m,∴aa aa =m-1,而aa aa =a -11,∴aa aa =aa aa ,(4分)又∵∠ACB=∠NOM=90°,∴△ACB∽△NOM.(5分)(3)∵△ACB 与△NOM 的相似比为2,∴m -1=2,∴m=3,∴B 点坐标为(3,43).(6分)设AB 所在直线的解析式为y=kx+b,∴{43=3k +b,4=a +a ,∴k=-43,b=163,∴AB 所在直线的解析式为y=-43x+163.(8分)评析 本题主要考查反比例函数的性质,属中等难度题.24.解析 (1)证明:连结OC,(1分)∵AB 为☉O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC+∠BAC=90°,又∵CM 是☉O 的切线,∴OC⊥CM,∴∠ACM+∠ACO=90°.(2分)∵CO=AO,∴∠BAC=∠ACO,∴∠ACM=∠ABC.(3分)(2)∵BC=CD,∴OC∥AD,又∵OC⊥CE,∴AD⊥CE,∴△AEC 是直角三角形,∴△AEC 的外接圆的直径为AC,(4分)又∵∠ABC+∠BAC=90°,∠ACM+∠ECD=90°,而∠ABC=∠ACM,∴∠BAC=∠ECD,又∠CED=∠ACB=90°,∴△ABC∽△CDE,∴aa aa =aa aa ,而☉O 的半径为3,∴AB=6,∴6aa =aa 2,∴BC 2=12,∴BC=2√3,(6分)在Rt△ABC 中,∴AC=√36-12=2√6,(7分)∴△ACE 的外接圆的半径为√6.(8分)评析 本题考查圆的切线性质、勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质,属中等难度题.25.解析 (1)∵y=ax 2+bx+2经过点B 、D,∴{4a +2a +2=0,a +a +2=54,解之得a=-14,b=-12,∴y=-14x 2-12x+2.(2分)∵A(m,0)在抛物线上,∴0=-14m 2-12m+2,解得m=-4,∴A(-4,0),(3分)图象(略).(4分)(2)已知直线l 的解析式为y=12x-1,∴S=12AB·PF=12×6·PF=3(-14a 2-12x +2+1-12x )(5分)=-34x 2-3x+9=-34(x+2)2+12,(6分)其中-4<x<0,(7分)∴S 最大=12,此时点P 的坐标为(-2,2).(9分)(3)证明:∵直线PB 过点P(-2,2)和点B(2,0),∴PB 所在直线的解析式为y=-12x+1,(10分)设Q (a ,12a -1)是y=12x-1上的任一点,则Q 点关于x 轴的对称点为(a ,1-12a ),将(a ,1-12a )代入y=-12x+1显然成立,(11分)∴直线l 上的任意一点关于x 轴的对称点一定在PB 所在直线上.(12分)注:本卷中各题如有不同解法,可依据情况酌情给分.。
2014年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷-答案
内蒙古呼和浩特市2014 年中考试卷数学答案分析第Ⅰ 卷一、选择题1.【答案】 C【分析】无理数就是无穷不循环小数，由此可判断π是无理数，应选 C.【考点】无理数的定义2.【答案】 D【分析】选择普查仍是抽样检查要依据所要检查的对象的特点灵巧采用，一般来说，对于拥有损坏性的调查、没法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样检查，对于精准度要求高的检查，事关重要的检查常常采用普查认识一批灯泡的使用寿命，拥有损坏性，工作量大，不适合全面检查，应选 D.【考点】抽样检查和全面检查的差别3.【答案】 A【分析】平移中点的变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.由于点A( 1,4)的对应点为 C(4,7) ，因此平移规律为向右平移5 个单位，向上平移 3 个单位，又由于点B( 4, 1) ，因此点D的坐标为 (1,2) ，应选 A.【考点】坐标与图形变化平移4.【答案】 B【分析】由三视图能够判断此几何体为空心圆柱，其内径为6，外径为 8，高为 10，圆柱的体积底面积高，因此此空心圆柱的体积为 10 (42π 32π) 70π，应选 B.【考点】三视图计算几何体的体积5.【答案】 B【分析】原价提升 10% 后商品新单价为a(1 10%) 元,再按新价降低 10% 后单价为 a(1 10%)(1 10%) 元，由（元），应选B.题意得a(1 10%) g(1 10% ) 0.99a【提示】找到相应关系是解答本题的重点.【考点】列代数式解应用题6.【答案】 C【分析】如下图，连结 OB ，OC ，过 O 作 ODBC 于 D ，∵ e O 的面积为 2π，∴ e O 的半径为 2，∵ △ ABC 为正三角形，∴BOC 120 ，BOD1 60 ，OB2，BOC2∴6 ， BC 2BD6，∴2 ，BD OB gsin BOD 2 sin60ODOB gcos BOD2 cos6022∴11 2 3 ，3 33 ，应选 C.S △ BOCg BC gOD622 S △ ABC 3S △ BOC322 22【提示】依据题意画出图形，利用数形联合求解是解答本题的重点.【考点】垂径定理，等边三角形的性质7.【答案】 D【分析】∵由图可知，a b 0 c ，∴ ac bc ，故 A 错误；∵ a b ，∴ a b 0 ，∴ | a b | b a ， B错误；∵ a b 0 ，∴ ab ， C 错误；∵ a - b ，c 0 ，∴ a c b c ，应选 D.【考点】实数，数轴，绝对值，实数大小的比较8.【答案】 C【分析】1 2 ，A 错误；(a 3 )2 | a |3 ， B 错误；54 g23 6 g3 32(11 )2 ( 11 ) (a b) 2(b a)(b a)( a b) 2 g a 2b 2 a b ， C 正确；aba 2b 2 a 2b 2a 2b 2a 2b 2 (b a)(b a) b a( a) 9 a 3 a 9 a 3 a 6 ， D 错误，应选 C.【考点】分式的混淆运算，同底数幂的除法，二次根式的混淆运算 9.【答案】 B【分析】解：∵ AO CO ，EF AC ，∴ EF 是 AC 的垂直均分线，∴ EA EC ，∴ △ CDE 的周长CD DECE CD AD1矩形 ABCD 的周长 10 cm ，同理得 △ABF 的周长为 102cm ，∵ CDAB ， CDE ABF 90 ， BF DE ，∴ △ CDE ≌△ ABF ，应选 B.【考点】矩形的性质，全等三角形的判断与性质，线段垂直均分线的性质 10.【答案】 C【分析】∵点 A( a, c) 在第一象限的一支曲线上，∴a 0 ， c 0 ， ac 1 ，∴点 B(b,c 1) 在该函数图像的此外一支上，∴ b 0 ， b(c 1) 1，∴ 0 x 1x 2 bc 1 b 1 c0 ，应选 C. ， x 1 x 2a【提示】娴熟掌握根与系数的关系和反比率函数图象在各个象限点的特点的解答本题的重点 .【考点】根与系数的关系，反比率函数图像上点的坐标特点第 Ⅱ 卷二、填空题11.【答案】 160【分析】 ∵圆锥的底面直径是 80 cm ，∴圆锥的侧面睁开扇形的弧长为： l πd 80π，∵母线长 r 90 cm ，∴圆锥的侧面睁开扇形的面积为：1lr 180π 903600π， n π 9023600π，解得 n 160 .22360 【考点】圆锥的计算 12.【答案】【分析】依据题意有 （10 10 12 x 8） 5 10 ， x 10 ，∴这组数据的方差是 s 2[3 (10 10)2(12 10) 2(8 10)2 ] 16．.5【考点】方差13.【答案】 63 或 27【分析】解：在三角形ABC 中，如下图， AB AC ，BD AC 于 D.①若 △ ABC 是锐角三角形，A 90 36 54 ， 底 角 ABC C (180 54 ) 2 63 ；若△ABC 是钝角三 角 形 ，BAC 3690 126 ， ABCC (180126 ) 227 .因此此等腰三角形底角的度数是63 或27 .【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理 14.【答案】y(3x y) 2【分析】因式分解的一般步骤： （ 1）提取公因式； （2）运用公式进一步分解，因此 2232226xy 9x y y - y( y 6xy 9 x ) - y(3x y) .【考点】提取公因式法，公式法分解因式 15.【答案】 8【分析】由 m、 n 是方程x2 2x 5 0 的两个实数根，得 m n 2 ， mn 5 ，且 m2 2m 5 0 ，而 m2 mn 3m n ( m2 2m 5) m n 5 0 2 5 5 8 .【考点】根与系数的关系，一元二次方程的解16.【答案】①【分析】当 m 0 时，函数y my 跟着 x 的增大而减小，故○2 错误；正方的图像在第一象限、第三象限，x形的对称中心在座标原点，极点 A，B，C，D 按逆时针挨次摆列，若 A 点坐标为(1, 3) ，则 D 点坐标为( 3, 1)，故○ 错误；在一个不透明的袋子中装有标号为1， 2， 3，4 的四个完整同样的小球，从袋中随机摸取一个然3后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于 4 的概率为3 416 ，故○ 错误 .【考点】命题与定理，菱形的性质，一次函数及反比率函数的性质，图形与坐标及概率三、解答题317.【答案】（1）2（ 2）x 4【分析】解：（ 1）原式3 1 123 2 223 ( 3 2)12 3=2（2）去分母得3x26x x2 2 x 0，2x28x 0∴ x 0 或 x 4经查验， x 0 是增根，∴x 4 是原方程的解.【提示】对于第（2）题，分式方程要查验，这点要牢记.【考点】二次根式的混淆运算，负指数幂运算，解分式方程，特别角的三角函数值18.【答案】80 2 cos25【分析】解：如图，过点P作PD AB 于点D.由题意知， DPB DBP 45 ， Rt△ PBD 中， sin 45 PD，∴ PB2PD . PB∵点 A 在点 P 的北偏东65 方向上，∴ APD 25 ， Rt△ PAD 中， cos25 PD ，PA PD PAcos25 80cos25∴PB 802 cos2 5.【考点】直角三角形的应用，方向角问题19.【答案】当 a 3时，不等式组的解集为 x 3 ；当 a 3 时，不等式组的解集为 x a .2x 3 3 ①【分析】解：1( x 2a) 1 x 0 ②2 2解①得 x 3 ， 解②得 x a .∵ a 是不等于 3 的常数，∴当 a 3 时，不等式组的解集为 x 3 ；当 a 3 时，不等式组的解集为x a .【考点】一元一次不等式组20.【答案】（1）解：（ 1）中位数落在第四组，能够预计初三学生60 秒跳绳再 120 个以上的人数达到一半以上.（ 2） 121 （3）25【分析】（ 2） x1(2 70 10 9012 110 13 13010 150 3 170) 121 （个） .50（ 3）记第一组的两名学生为 A 、 B ，第六组的三名学生为1， 2，3，则从这 5 名学生中抽取两名学生有以下4 210 种状况： AB, A1, A2, A3,B1, B2,B3,1213，，23， P.10 5【考点】频数（率）散布直方图21.【答案】证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， AD BC ， AB CD ，又∵ AC 是折痕， BC CE AD ，AB AE CD .又 DEED ，∴ △ADE ≌△ CED .【分析】证明：2EDCDEA ， △ACE 与 △ ACB 对于AC所在直线对称，（ ）∵ △ADE ≌△ CED ，∴ ∴ OAC CAB ，而 OCACAB ，∴ OACOCA .∴ 2 OAC 2 DEA ，∴OAC DEA ，∴ DE ∥ AC .【考点】翻折变换（折叠问题） ，全等三角形的判断与性质，矩形的性质【分析】解：设基本电价为x 元 /千瓦时，提升电价为 y 元 /千瓦时，180x 150y 213由题意得180x 60 y 180x解得y∴ 4 月份的电费为 160 0.6 96 （元），5 月份的电费为 180 0.6 230 0.7 108 161 269 （元） .【提示】解答本题的重点是读懂题意，设出未知数，找出适合的等量关系，列方程组求解 .【考点】二元一次方程组的应用 23.【答案】（1） y4x（ 2）证明：∵点 A (1,4) ，点 B (m, n) ，∴ AC 4 n ， BC m 1， ON n ， OM 1， ∴ AC4 n 4 1 ，而 B (m,n) 在 y 4 上，∴ 4 m ，ACm 1，而BCm 1 ，ONn n xn ONOM1∴AC BC .ON OM又∵ ACBNOM 90 ，∴ △ ACB ∽△ NOM ；4 16（ 3） yx33【分析】（ 1）∵ yk过 (1,4) 点，∴ k4 ，反比率函数分析式为 y 4 ；xx 4（ 3）∵ △ ACB 与 △ NOM 的相像比为 2，∴ m 1 2 ，∴ m3 ，B 点坐标为 (3, ) .343k b 4， b 16 ，设 AB 所在直线分析式为y kx b ，∴ 3，∴ k4 kb3 34 16∴分析式为 yx.3 3【考点】反比率函数的综合应用24.【答案】（1）证明：连结 OC.∵ AB 为 e O 的直径，∴ ACB 90 ，∴ ABCBAC 90 ，又∵ CM 是 e O 的切线，∴ OCCM ，∴ ACMACO 90 .∴ CO AO ，∴ BAC ACO ，∴ ACMABC（ 2）62BC CD ，∴ OC ∥ AD ，又∵ OC CE ，∴ ADCE ，∴ △AEC 是直角三角形，（ ）解：∵ ∴ △ AEC 的外接圆的直径是 AC ，又∵ABC BAC 90 ， ACM ECD 90 ，而 ABC ACM ，∴ BAC ECD ， 又 ECDACM90 ，∴ △ ABC ∽△ CDE ，∴AB BC，而e O 的半径为 3， AB6 ，CD ED∴6 BC， BC 212 ，∴ BC 2 3 .CD2在 Rt △ABC 中，∴ AC 36 12 2 6 ，∴ △ AEC 的外接圆的半径为6 .【考点】切线的性质，勾股定理，圆周角定理，相像三角形25.【答案】（1） ( 4,0)（ 2） P( 2,2)（ 3）证明∵直线 PB 经过点 P (- 2,2) ， B(2,0) ， PB 所在直线的分析式为 y1x 1 ，2设是 y1 x 1 上的任一点，则 Q 点对于 x 轴的对称点为 ( a,1 1a) ，Q(a, 1 a 1)222将 (a,11a) 代入 y1 x 1明显建立，22∴直线 l 上的随意一点对于 x 轴的对称点必定在 PB 所在直线上 .4a 2b 2 0【分析】（ 1）∵抛物线 y ax2bx2 经过点 B(2,0) ，D (1,5) ，∴b 25 ，解得 a 1 ，b1 ，4 a 442∴ y1 x2 1x 242∵ A(m,0) 在抛物线上，∴0 1 m 2 1 m 2 ，解得 m4 ，∴ A 点的坐标为 (- 4,0) .4 2图像（略）（ 2）由题设知直线 l 的分析式为 y1 x 1 ， 1112112AB gPF3(1S6 gPFxx 2x)2 24223 x 2 3x 9=3(x 2) 21244此中 4 x 0 .∴ S 的最大值是 12，此时点的坐标为 (- 2,2) .【考点】待定系数法求抛物线的分析式；待定系数法求直线的分析式，函数的最值问题，四边形的面积求法， x 轴的对称点的坐标特点。
内蒙古包头市2014年中考数学试卷及答案(解析版)
内蒙古包头市2014年中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2014•包头）下列实数是无理数的是（）A．﹣2 B．C．D．分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案．解答：解；A、B、C、都是有理数，D、是无理数，故选：D．点评：本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．2．（3分）（2014•包头）下列计算正确的是（）A．（﹣1）﹣1=1 B．（﹣1）0=0 C．|﹣1|=﹣1 D．﹣（﹣1）2=﹣1考点：负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；零指数幂．分析：根据负整指数幂，可判断A，根据非0的0次幂，可判断B，根据负数的绝对值是正数，可判断C，根据相反数，可判断D．解答：解：A、（﹣1）﹣1=﹣1，故A错误；B、（﹣1）0=1，故B错误；C、|﹣1|=1，故C错误；D、﹣（﹣1）2=﹣1，故D正确；故选：D．点评：本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．3．（3分）（2014•包头）2013年我国GDP总值为56.9万亿元，增速达7.7%，将56.9万亿元用科学记数法表示为（）A．56.9×1012元B．5.69×1013元C．5.69×1012元D．0.569×1013元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：56.9万亿元=5.69×1013，故选：B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2014•包头）在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：8，8，10，8，7，9，则这6名学生成绩的中位数是（）A．7B．8C．9D．10考点：中位数．分析：根据中位数的定义，把把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可．解答：解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，10，最中间两个数的平均数是（8+8）÷2=8，则中位数是8．故选；B．点评：本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．5．（3分）（2014•包头）计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2B．1C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．6．（3分）（2014•包头）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种考点：三角形三边关系．分析：要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．解答：解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选C．点评：本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．7．（3分）（2014•包头）下列说法正确的是（）A．必然事件发生的概率为0B．一组数据1，6，3，9，8的极差为7C．“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件D．“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件考点：随机事件；方差；概率的意义．分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，可得答案．解答：解：A、必然事件发生的概率为1，故A错误；B、一组数据1，6，3，9，8的级差为8，故B错误；C、面积相等两个三角形全等，是随机事件，故C错误；D、”任意一个三角形的外角和等于180°”是不可能事件，故D正确；故选：D．点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事．8．（3分）（2014•包头）在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2考点：二次函数图象与几何变换．分析：先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．解答：解：∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y=3（x﹣1）2+2．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a（x﹣k）2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．9．（3分）（2014•包头）如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为．若将BD绕点B 旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．π﹣2考点：扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质．分析：首先根据正方形的性质可得∠DBD′=45°，BC=CD，然后根据勾股定理可得BC、CD 长，再计算出扇形BDD′和△BCD的面积可得阴影部分面积．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBD′=45°，BC=CD，∵BD的长为，∴BC=CD=1，∴S扇形BDD′==，S△CBD=1×1=，∴阴影部分的面积：﹣，故选：C．点评：此题主要考查了正方形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．10．（3分）（2014•包头）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．解答：解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，∴==2，==2，∴=，故选A．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．11．（3分）（2014•包头）已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1，则=a；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题与定理．分析：先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．解答：解；①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1，则=a是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选：A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．（3分）（2014•包头）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A．m≤B．m≤且m≠0C．m＜1 D．m＜1且m≠0考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2（m﹣1），x1x2=m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．解答：解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，∴m≤，∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0∴m＜1，m≠0∴m≤且m≠0．故选：B．点评：此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2=﹣，x1x2=．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2014•包头）计算：﹣=．考点：二次根式的加减法．分析：首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案．解答：解：﹣=×2﹣×=﹣=．故答案为：．点评：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．14．（3分）（2014•包头）如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为107度．考点：平行线的判定与性质．专题：计算题．分析：根据已知一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数．解答：解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠5+∠3=180°，∵∠4=∠5，∠3=73°，∴∠4+∠3=180°，则∠4=107°．故答案为：107点评：此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．15．（3分）（2014•包头）某学校举行演讲比赛，5位评委对某选手的打分如下（单位：分）9.5，9.4，9.4，9.5，9.2，则这5个分数的平均分为9.4分．考点：加权平均数．分析：根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．解答：解：这5个分数的平均分为（9.5×2+9.4×2+9.2）÷5=9.4；故答案为：9.4．点评：此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据公式列出算式．16．（3分）（2014•包头）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）=2x+5．考点：完全平方公式；平方差公式．专题：计算题．分析：原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．解答：解：原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．故答案为：2x+5．点评：此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（3分）（2014•包头）方程﹣=0的解为x=2．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣3﹣x﹣1=0，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：2点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．（3分）（2014•包头）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC 于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为8．考点：垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．解答：解：连接OC，如图所示．∵点E是的中点，∴∠BOE=∠COE．∵OB=OC，∴OD⊥BC，BD=DC．∵BC=6，∴BD=3．设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．∵DE=1，∴OD=r﹣1．∵OD⊥BC即∠BDO=90°，∴OB2=BD2+OD2．∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，∴r2=32+（r﹣1）2．解得：r=5．∴OD=4．∵AO=BO，BD=CD，∴OD=AC．∴AC=8．点评：本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性．19．（3分）（2014•包头）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D 作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为﹣16．考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义．分析：证△DCO∽△ABO，推出===，求出=（）2=，求出S△ODC=8，根据三角形面积公式得出OC×CD=8，求出OC×CD=16即可．解答：解：∵OD=2AD，∴=，∵∠ABO=90°，DC⊥OB，∴AB∥DC，∴△DCO∽△ABO，∴===，∴=（）2=，∵S四边形ABCD=10，∴S△ODC=8，∴OC×CD=8，OC×CD=16，∴k=﹣16，故答案为：﹣16．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ODC的面积．20．（3分）（2014•包头）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S△CEF=S△EAF+S△CBE；④若=，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是①③④．（填写所有正确结论的序号）考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE，判断出①正确，然后求出△AEF和△BCE 相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后根据两组边对边对应成比例，两三角形相似求出△AEF和△ECF，再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=DH，利用“HL”证明△AEF和△HEF，根据全等三角形对应边相等可得AF=FH，同理可得BC=CH，然后求出AF+BC=CF，判断出②错误；根据全等三角形的面积相等可得S△CEF=S△EAF+S△CBE，判断出③正确；根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°，然后求出∠DCF=∠ECF=30°，再利用“角角边”证明即可．解答：解：∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AEF=∠BCE，故①正确；又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BCE，∴=，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴=，又∵∠A=∠CEF=90°，∴△AEF∽△ECF，∴∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，则AE=DH，在△AEF和△HEF中，，∴△AEF≌△HEF（HL），∴AF=FH，同理可得△BCE≌△HCE，∴BC=CH，∴AF+BC=CF，故②错误；∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；若=，则cot∠BCE=====2×=，∴∠BCE=30°，∴∠DCF=∠ECF=30°，在△CEF和△CDF中，，∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（8分）（2014•包头）有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．考点：列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）画树状图得：则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3），∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为：=．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（8分）（2014•包头）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，点E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）考点：梯形；勾股定理．分析：过点D作DF⊥BC，根据∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的长，因为AD=1，所以BC=2+1，根据∠AEB=60°，可得BE，进而得出CE的长．解答：解：过点D作DF⊥BC，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴四边形ABFD为矩形，∵∠BCD=45°，∴DF=CF，∵AB=2，∴DF=CF=2，∴由勾股定理得CD=2；∵AD=1，∴BF=1，∴BC=2+1，∵∠AEB=60°，∴tan60°=，∴=，∴BE=2，∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．点评：本题考查了梯形的计算以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．23．（10分）（2014•包头）甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；（2）根据收费相同，列出方程求解即可；（3）根据函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解．解答：解：（1）当x=1时，y1=3000；当x＞1时，y1=3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）=2100x+900．∴y1=；y2=3000x（1﹣25%）=2250x，∴y2=2250x；（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+900=2250x，解得x=6，答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；（3）x=5时，y1=2100x+900=2100×5+900=11400，y2=2250x=2250×5=11250，∵11400＞11250，∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．点评：本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键．24．（10分）（2014•包头）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．考点：切线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连结OC，根据切线的性质得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，则∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；（2）连结OD，BG，在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2，由于∠FOC=90°﹣∠F=60°，根据三角形外角性质可计算出∠1=∠2=30°，则∠PCD=90°﹣∠1=60°，可判断△PCD为等边三角形；再由D为AC的中点，根据垂径定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可计算出OD=OC=1，CD=OD=，所以△PCD的周长为3；然后在Rt△ADE中，计算出DE=AD=，AE=DE=，根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°，再证明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可计算出AG．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，∵GE⊥AB，∴∠GEA=90°，∴∠2+∠ADE=90°，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠PCD=∠ADE，而∠ADE=∠PDC，∴∠PCD=∠PDC，∴△PCD是等腰三角形；（2）解：连结OD，BG，如图，在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，∴OF=2OC，即OB+2=2OC，而OB=OC，∴OC=2，∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，∴∠1=∠2=30°，∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，∴△PCD为等边三角形，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△OCD中，OD=OC=1，CD=OD=，∴△PCD的周长为3；在Rt△ADE中，AD=CD=，∴DE=AD=，AE=DE=，∵AB为直径，∴∠AGB=90°，而∠GAE=∠BAG，∴Rt△AGE∽Rt△ABG，∴AG：AB=AE：AG，∴AG2=AE•AB=×4=6，∴AG=6．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质．25．（12分）（2014•包头）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）运用=和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．（3）由已知S△AEF=S四边形ABOF．得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，求出t的值．解答：解：（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴==，==∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO．∴∠AOB=∠EOF．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EOF+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．（3）如图，连接AF，∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6∵S△AEF=S四边形ABOF∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，解得t=或t=．∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．点评：本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF求t的值．26．（12分）（2014•包头）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC 对称吗？请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法即可求得解析式，把解析式转化成顶点式即可求得顶点坐标．（2）根据有两组对应边对应成比例且夹角相等即可求得△ABC∽△NBO，由三角形相似的性质即可求得．（3）作EF⊥BC于F，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标，根据勾股定理即可求得．（4）延长EF交y轴于Q，根据勾股定理求得FQ的长，再与EF比较即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴，解得．∴抛物线为y=﹣x2+x+2；∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴顶点M（，）．（2）如图1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），∴直线BC为：y=﹣x+2，当x=时，y=，∴N（，），∴AB=3，BC=2，OB=2，BN==，∴==，==，∵∠ABC=∠NBO，∴△ABC∽△NBO，∴∠NOB=∠ACB；（3）如图2，作EF⊥BC于F，∵直线BC为y=﹣x+2，∴设E（m，﹣m2+m+2），直线EF的解析式为y=x+b，则直线EF为y=x+（﹣m2+2），解得，∴F（m2，﹣m2+2），∵EF=，∴（m﹣m2）2+（﹣m2+2+m2﹣m﹣2）2=（）2，解得m=1，∴﹣m2+m+2=2，∴E（1，2），（4）如图2，延长EF交y轴于Q，∵m=1，∴直线EF为y=x+1，∴Q（0，1），∵F（，），∴FQ==，∵EF=，EF⊥BC，∴E、F两点关于直线BC对称．点评：本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点的求法，直线的交点问题，勾股定理的应用等．。
2014包头中考数学试题及答案
2014年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列实数是无理数的是（ ） A.－2 B.31C.4D.5 2．下列计算正确的是（ ）A.(－1)－1=1 B.(－1)0=0 C.1-=1- D.－(－1)2=－13．2013年我国GDP 总值为56.9万亿元，增速达7.7%，将56.9万亿元用科学记数法表示为（ ） A.56.9×1012元 B.5.69×1013元 C.5.69×1012元 D.0.569×1012元4．在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：8，8，10，8，7，9，则这6名学生成绩的中 位数是（ ）A.7B.8C.9D.10 5．计算sin 245°+cos30°•tan60°，其结果是（ ） A.2 B.1 C.25 D.45 6．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）A.1种B.2种C.3种D.4种 7．下列说法正确的是（ ）A.必然事件发生的概率为0B.一组数据1，6，3，9，8的极差为7C.“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件D.“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件 8．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x 2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A.y=3（x+1）2+2 B.y=3（x+1）2﹣2 C.y=3（x ﹣1）2+2 D.y=3（x ﹣1）2﹣29．如图，在正方形ABCD 中，对角线BD 的长为．若将BD 绕点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D ′处， 点D 经过的路径为DD'⌒，则图中阴影部分的面积是（ ） A.2π－1 B.2π－21 C.4π－21D.2-π10．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ．若AD=2BD ，则的值为（ ） A.21 B.31 C.41 D.3211．已知下列命题：①若a ＞b ，则ac ＞bc ； ②若a=1，则=a ； ③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个12．关于x 的一元二次方程x 2+2（m ﹣1）x+m 2=0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1+x 2＞0，x 1x 2＞0，则m 的取 值范围是（ ）A.21≤m B.21≤m 且m ≠0 C.m ＜1 D.m ＜1且m ≠0 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 13．计算：﹣=.14．如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为 度．15．某学校举行演讲比赛，5位评委对某选手的打分如下（单位：分）9.5，9.4，9.4，9.5，9.2，则这5个分数的平 均分为 分．16．计算：（x+1）2﹣（x+2）（x ﹣2）= ． 17．方程﹣=0的解为x= ．18．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，点E 是的中点，OE 交BC 于点D ．连接AC ，若BC=6，DE=1，则AC的长为 ．19．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C ．若S 四边形ABCD =10，则k 的值 为 ．20．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论： ①∠AEF=∠BCE ； ②AF+BC ＞CF ；③S △CEF =S △EAF +S △CBE ； ④若=，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）21．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，点E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）23．甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．24．如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．25．如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM 方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．26．已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D D B B A C D C C A A B二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分．13．14．10715．9.4 16．2x+5 17．218．8 19．﹣16 20．①③④三、解答题：共6小题，共60分．21．（8分）解答：解：（1）画树状图得：则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3），∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为：=．22．（8分）解答：解：过点D作DF⊥BC，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴四边形ABFD为矩形，∵∠BCD=45°，∴DF=CF，∵AB=2，∴DF=CF=2，∴由勾股定理得CD=2；∵AD=1，∴BF=1，∴BC=2+1，∵∠AEB=60°，∴tan60°=，∴=，∴BE=2，∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．23．（10分）解答：解：（1）当x=1时，y1=3000；当x＞1时，y1=3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）=2100x+900．∴y1=；y2=3000x（1﹣25%）=2250x，∴y2=2250x；（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+900=2250x，解得x=6，答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；（3）x=5时，y1=2100x+900=2100×5+900=11400，y2=2250x=2250×5=11250，∵11400＞11250，∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．24．（10分）解答：（1）证明：连结OC，如图，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，∵GE⊥AB，∴∠GEA=90°，∴∠2+∠ADE=90°，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠PCD=∠ADE，而∠ADE=∠PDC，∴∠PCD=∠PDC，∴△PCD是等腰三角形；（2）解：连结OD，BG，如图，在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，∴OF=2OC，即OB+2=2OC，而OB=OC，∴OC=2，∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，∴∠1=∠2=30°，∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，∴△PCD为等边三角形，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△OCD中，OD=OC=1，CD=OD=，∴△PCD的周长为3；在Rt△ADE中，AD=CD=，∴DE=AD=，AE=DE=，∵AB为直径，∴∠AGB=90°，而∠GAE=∠BAG，∴Rt△AGE∽Rt△ABG，∴AG：AB=AE：AG，∴AG2=AE•AB=×4=6，∴AG=6．25．（12分）解答：解：（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴==，==∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO．∴∠AOB=∠EOF．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EOF+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．（3）如图，连接AF，∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6∵S△AEF=S四边形ABOF∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，解得t=或t=．∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．26．（12分）解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴，解得．∴抛物线为y=﹣x2+x+2；∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴顶点M（，）．（2）如图1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），∴直线BC为：y=﹣x+2，当x=时，y=，∴N（，），∴AB=3，BC=2，OB=2，BN==，∴==，==，∵∠ABC=∠NBO，∴△ABC∽△NBO，∴∠NOB=∠ACB；（3）如图2，作EG⊥BC于G，∵直线BC为y=﹣x+2，∴设E（m，﹣m2+m+2），直线EG的解析式为y=x+b，则直线EG为y=x+（﹣m2+2），解得，∴G （m 2，﹣m 2+2）， ∵EG=，∴（m ﹣m 2）2+（﹣m 2+2+m 2﹣m ﹣2）2=（）2，解得m=1，∴﹣m 2+m+2=2， ∴E （1，2），（4）如图2，延长EN 交y 轴于F ， ∵m=1， 由（3）得G(，)∴N 点与G 点重合 ∴EN ⊥BC∴直线EF 为y=x+1， ∴F （0，1）， ∵N(21，23) ∴FN==，∵EN=，且EF ⊥BC ，∴E 、F 两点关于直线BC 对称．。
U盘--2014包头中考二次函数.
（2011包头）如图，已知抛物线 （ ）经过点A(2，3)、B(6，1)、C(0，－2)．
(1)求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式．
(2)点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标．
(3)设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E(t，n)是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的E只有 一个？当S取何值时，满足条件的E有两个？
（2012包头）已知直线y = 2x + 4与x轴、y轴分别交于A , D两点，抛物线y＝- x2＋bx＋c经过点A , D，
点B是抛物线与x轴的另一个交点。
（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设点M是直线AD上一点，且 ，求点M的坐标；
（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
2014中考二次函数.
（2008包头）如图，△ 是一块锐角三角形材料，边BC=6cm，高AD=4cm，
要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在
AB、AC上，要使矩形 的面积最大，EG的长应为_________cm.
（2009包头）已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的
（2013包头）已知抛物线 的顶点为点D，并与 轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），
与 轴相交于点C.
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在 轴的正半轴上是否存在点P，使以P、O、A为顶点的三角形与⊿AOC相似？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（ ，0）和点F（0， ），直线L经过E、F两点，点G是线段BD的中点.
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1 / 232014年内蒙古包头市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2014?包头）下列实数是无理数的是（）A．﹣2 B C D2．（3分）（2014?包头）下列计算正确的是（）A．（﹣1）﹣1=1 B．（﹣1）0=0 C．|﹣1|=﹣1 D．﹣（﹣1）2=﹣1 3．（3分）（2014?包头）2013年我国GDP总值为56.9万亿元，增速达7.7%，将56.9万亿元用科学记数法表示为（）A．56.9×1012元 B．5.69×1013元 C．5.69×1012元 D．0.569×1013元4．（3分）（2014?包头）在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：8，8，10，8，7，9，则这6名学生成绩的中位数是（）A．7 B．8 C．9 D．105．（3分）（2014?包头）计算sin245°+cos30°?tan60°，其结果是（）A．2B．1C D6．（3分）（2014?包头）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种7．（3分）（2014?包头）下列说法正确的是（）A．必然事件发生的概率为0B．一组数据1，6，3，9，8的极差为7C．“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件D．“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件8．（3分）（2014?包头）在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 9．（3分）（2014?包头）如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为．若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A﹣1B﹣ C﹣ D．π﹣210．（3分）（2014?包头）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）2 / 23A B C D11．（3分）（2014?包头）已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1，则=a；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（3分）（2014?包头）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）A．m≤ B．m≤且m≠0C．m＜1 D．m＜1且m≠0二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2014?包头）计算：﹣=14．（3分）（2014?包头）如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为度．15．（3分）（2014?包头）某学校举行演讲比赛，5位评委对某选手的打分如下（单位：分）9.5，9.4，9.4，9.5，9.2，则这5个分数的平均分为分．16．（3分）（2014?包头）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）=17．（3分）（2014?包头）方程﹣=0的解为x=18．（3分）（2014?包头）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE 交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为3 / 2319．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x 轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x 轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值20．（3分）（2014?包头）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD 于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S△CEF=S△EAF+S△CBE；④若=，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（8分）（2014?包头）有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．22．（8分）（2014?包头）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，点E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）23．（10分）（2014?包头）甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；4 / 23（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．24．（10分）（2014?包头）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．25．（12分）（2014?包头）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A 作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E 以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t ＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2014?包头）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x 轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．5 / 232014年内蒙古包头市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2014?包头）下列实数是无理数的是（）A．﹣2 B C D【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解；A、是有理数，故A错误；B、是有理数，故B错误；C、是有理数，故C错误；D、是无理数，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．2．（3分）（2014?包头）下列计算正确的是（）A．（﹣1）﹣1=1 B．（﹣1）0=0 C．|﹣1|=﹣1 D．﹣（﹣1）2=﹣1【分析】根据负整指数幂，可判断A，根据非0的0次幂，可判断B，根据负数的绝对值是正数，可判断C，根据相反数，可判断D．【解答】解：A、（﹣1）﹣1=﹣1，故A错误；B、（﹣1）0=1，故B错误；C、|﹣1|=1，故C错误；D、﹣（﹣1）2=﹣1，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．3．（3分）（2014?包头）2013年我国GDP总值为56.9万亿元，增速达7.7%，将56.9万亿元用科学记数法表示为（）A．56.9×1012元 B．5.69×1013元 C．5.69×1012元 D．0.569×1013元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：56.9万亿元=5.69×1013元，故选：B．6 / 23【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2014?包头）在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：8，8，10，8，7，9，则这6名学生成绩的中位数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据中位数的定义，把把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，10，最中间两个数的平均数是（8+8）÷2=8，则中位数是8．故选：B．【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．5．（3分）（2014?包头）计算sin245°+cos30°?tan60°，其结果是（）A．2B．1C D【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．6．（3分）（2014?包头）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．7．（3分）（2014?包头）下列说法正确的是（）A．必然事件发生的概率为0B．一组数据1，6，3，9，8的极差为7C．“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件D．“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，可得答案．【解答】解：A、必然事件发生的概率为1，故A错误；B、一组数据1，6，3，9，8的极差为8，故B错误；C、面积相等两个三角形全等，是随机事件，故C错误；D、“任意一个三角形的外角和等于180°”是不可能事件，故D正确；故选：D．7 / 23【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事．8．（3分）（2014?包头）在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y=3（x﹣1）2+2．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a（x ﹣k）2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x﹣k﹣m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．9．（3分）（2014?包头）如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为．若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A﹣1B﹣ C﹣ D．π﹣2【分析】首先根据正方形的性质可得∠DBD′=45°，BC=CD，然后根据勾股定理可得BC、CD长，再计算出扇形BDD′和△BCD的面积可得阴影部分面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBD′=45°，BC=CD，∵BD的长为，∴BC=CD=1，∴S扇形BDD′==，S△CBD=1×1=，∴阴影部分的面积：﹣．故选：C．8 / 23【点评】此题主要考查了正方形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．．10．（3分）（2014?包头）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A B C D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，∴==2，==2，∴=，故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．11．（3分）（2014?包头）已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1，则=a；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【解答】解；①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1，则=a是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选：A．【点评】主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．（3分）（2014?包头）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）9 / 23A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0【分析】先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2（m﹣1），x1x2=m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．【解答】解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，∴m≤，∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0 ∴m＜1，m≠0 ∴m≤且m≠0．故选：B．【点评】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2=﹣，x1x2=．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2014?包头）计算：﹣=【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案．【解答】解：﹣=×2﹣×=﹣=．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．14．（3分）（2014?包头）如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为107度．【分析】根据已知一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠5+∠3=180°，∵∠4=∠5，∠3=73°，10 / 23∴∠4+∠3=180°，则∠4=107°故答案为：107【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．15．（3分）（2014?包头）某学校举行演讲比赛，5位评委对某选手的打分如下（单位：分）9.5，9.4，9.4，9.5，9.2，则这5个分数的平均分为9.4分．【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．【解答】解：这5个分数的平均分为（9.5×2+9.4×2+9.2）÷5=9.4；故答案为：9.4．【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据公式列出算式．16．（3分）（2014?包头）计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）=2x+5【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣x2+4 =2x+5．故答案为：2x+5．【点评】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（3分）（2014?包头）方程﹣=0的解为x=2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣3﹣x﹣1=0，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：2【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．（3分）（2014?包头）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE 交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为811 / 23【分析】连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．【解答】解：连接OC，如图所示．∵点E是的中点，∴∠BOE=∠COE．∵OB=OC，∴OD⊥BC，BD=DC．∵BC=6，∴BD=3．设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．．∵DE=1，∴OD=r﹣1．∵OD⊥BC即∠BDO=90°，∴OB2=BD2+OD2．∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，∴r2=32+（r﹣1）2．解得：r=5．∴OD=4．∵AO=BO，BD=CD，∴OD=AC．∴AC=8．【点评】本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性．19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x 轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x 轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为﹣1612 / 23【分析】证△DCO∽△ABO，推出===，求出=（）2=，求出S△ODC=8，根据三角形面积公式得出OC×CD=8，求出OC×CD=16即可．【解答】解：∵OD=2AD，∴=，∵∠ABO=90°，DC⊥OB，∴AB∥DC，∴△DCO∽△ABO，∴===，∴=（）2=，∵S四边形ABCD=10，∴S△ODC=8，∴OC×CD=8，OC×CD=16，∵双曲线在第二象限，∴k=﹣16，故答案为：﹣16．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ODC的面积．20．（3分）（2014?包头）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD 于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S△CEF=S△EAF+S△CBE；④若=，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是①③④（填写所有正确结论的序号）【分析】根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE，判断出①正确，然后求出△AEF和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后根据两组边对边对应成比例，两三角形相似求出△AEF和△ECF，再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC，过点E．13 / 23作EH⊥FC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=HE，利用“HL”证明△AEF和△HEF，根据全等三角形对应边相等可得AF=FH，同理可得BC=CH，然后求出AF+BC=CF，判断出②错误；根据全等三角形的面积相等可得S△CEF=S△EAF+S△CBE，判断出③正确；根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°，然后求出∠DCF=∠ECF=30°，再利用“角角边”证明即可．【解答】解：∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠AEF=∠BCE，故①正确；又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BCE，∴=，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴=，又∵∠A=∠CEF=90°，∴△AEF∽△ECF，∴∠AFE=∠EFC，过点E作EH⊥FC于H，则AE=HE，在△AEF和△HEF中，，∴△AEF≌△HEF（HL），∴AF=FH，同理可得△BCE≌△HCE，∴BC=CH，∴AF+BC=CF，故②错误；∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正确；若=，则cot∠BCE=====2×=，∴∠BCE=30°，∴∠DCF=∠ECF=30°，在△CEF和△CDF中，，∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正确，综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．14 / 23【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（8分）（2014?包头）有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为：=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（8分）（2014?包头）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，点E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）15 / 23【分析】过点D作DF⊥BC，根据∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的长，因为AD=1，所以BC=2+1，根据∠AEB=60°，可得BE，进而得出CE的长．【解答】解：过点D作DF⊥BC，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴四边形ABFD为矩形，∵∠BCD=45°，∴DF=CF，∵AB=2，∴DF=CF=2，∴由勾股定理得CD=2；∵AD=1，∴BF=1，∴BC=2+1，∵∠AEB=60°，∴tan60°=，∴=，∴BE=2，∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．【点评】本题考查了梯形的计算以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．23．（10分）（2014?包头）甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．【分析】（1）根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；（2）根据收费相同，列出方程求解即可；（3）根据函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解．【解答】解：（1）当x=1时，y1=3000；当x＞1时，y1=3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）=2100x+900．∴y1=；y2=3000x（1﹣25%）=2250x，16 / 23∴y2=2250x；（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+900=2250x，解得x=6，答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；（3）x=5时，y1=2100x+900=2100×5+900=11400，y2=2250x=2250×5=11250，∵11400＞11250，∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键．24．（10分）（2014?包头）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．【分析】（1）连结OC，根据切线的性质得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE ⊥AB得∠GEA=90°，则∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；（2）连结OD，BG，在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2，由于∠FOC=90°﹣∠F=60°，根据三角形外角性质可计算出∠1=∠2=30°，则∠PCD=90°﹣∠1=60°，可判断△PCD为等边三角形；再由D为AC的中点，根据垂径定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可计算出OD=OC=1，CD=OD=，所以△PCD的周长为3；然后在Rt△ADE中，计算出DE=AD=，AE=DE=，根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°，再证明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可计算出AG．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，∵GE⊥AB，∴∠GEA=90°，∴∠2+∠ADE=90°，∵OA=OC，17 / 23∴∠1=∠2，∴∠PCD=∠ADE，而∠ADE=∠PDC，∴∠PCD=∠PDC，∴△PCD是等腰三角形；（2）解：连结OD，BG，如图，在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，∴OF=2OC，即OB+2=2OC，而OB=OC，∴OC=2，∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，∴∠1=∠2=30°，∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，∴△PCD为等边三角形，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△OCD中，OD=OC=1，CD=OD=，∴△PCD的周长为3；在Rt△ADE中，AD=CD=，∴DE=AD=，AE=DE=，∵AB为直径，∴∠AGB=90°，而∠GAE=∠BAG，∴Rt△AGE∽Rt△ABG，∴AG：AB=AE：AG，∴AG2=AE?AB=×4=6，∴AG=．．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质．18 / 2325．（12分）（2014?包头）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E 以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t ＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用=和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．（3）根据S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE以及S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE可得到S △AEF与S四边形AEOF关于t的表达式，进而可求出t的值．【解答】解：（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴==，==∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．．∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO．∴∠AOB=∠EFO．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EFO+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．（3）如图，连接AF，19 / 23∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t∴S△FOE=OE?OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6，∴S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE=4t+6﹣t2﹣（6﹣t）=﹣t2+t，S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE=4t+6﹣（6﹣t）=t，∵S△AEF=S四边形AEOF∴﹣t2+t=×t，（0＜t＜）解得t=或t=0（舍去）．∴当t=时，S△AEF=S四边形AEOF．【点评】本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△AEF=S四边形AEOF求t的值．26．（12分）（2014?包头）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x 轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．20 / 23【分析】方法一：（1）利用待定系数法即可求得解析式，把解析式转化成顶点式即可求得顶点坐标．（2）根据有两组对应边对应成比例且夹角相等即可求得△ABC∽△NBO，由三角形相似的性质即可求得．（3）作EQ⊥BC于Q，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得Q点的坐标，根据勾股定理即可求得．（4）先求得直线EF的解析式，即可求得BC⊥EF，根据勾股定理求得EN=FN，即可判定E、F两点关于直线BC对称．方法二：（1）略．（2）欲证∠NOB=∠ACB，只需证明AB：BC=BN：OB，因此分别求出AB，BC，BN，OB的长度即可．（3）利用面积公式可求出点E的坐标．（4）求出点E，F，N坐标，再利用中点公式得出对称．【解答】方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴，解得．∴抛物线为y=﹣x2+x+2；∴抛物线为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴顶点M（，）．（2）如图1，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），∴直线BC为：y=﹣x+2，当x=时，y=，∴N（，），∴AB=3，BC=2，OB=2，BN==，21 / 23 ∴==，==，∵∠ABC=∠NBO，∴△ABC∽△NBO，∴∠NOB=∠ACB；（3）如图2，作EQ⊥BC于Q，∵直线BC为y=﹣x+2，∴设E（m，﹣m2+m+2），直线EQ的解析式为y=x+b，则直线EQ为y=x+（﹣m2+2），解得，∴Q（m2，﹣m2+2），∵EQ=，∴（m﹣m2）2+（﹣m2+2+m2﹣m﹣2）2=（）2，解得m=1，∴﹣m2+m+2=2，∴E（1，2），（4）如图2，连接EN，并延长EN交y轴于点F，∵E（1，2），N（，），设直线EN的解析式为y=mx+n，∴，解得，∴直线EF为y=x+1，∴F（0，1），∵直线BC和直线EF斜率互为负倒数，∴EF⊥BC，∴EN==，FN==，∴EN=FN，∴E、F两点关于直线BC对称．方法二：（1）略．22 / 23（2）略．（3）连接EN交y轴于F，作EH⊥x轴交BC于H，设E（t，﹣t2+t+2），H（t，﹣t+2），S△EBC=（E Y﹣H Y）（B X﹣C X）=BC×EN，∴2（﹣t2+t+2+t﹣2）=2×，∴t=1，E（1，2）．（4）∵E（1，2），N（，），∴l EN：y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），∴K EN×K BC=﹣1，∴EN⊥BC，∵E（1，2），F（0，1），∴线段EF中点为（，），即N（，），∴点E，点F关于直线BC对称．23 / 23【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点的求法，直线的交点问题，勾股定理的应用等．参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；wkd；lantin；dbz1018；sjzx；未来；sd2011；zjx111；73zzx；gbl210；sks；1160374；星期八；zcx；bjy；gsls；守拙（排名不分先后）菁优网2016年6月3日。