第四章第4课时数系的扩充与复数的引入

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∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知12＋4a－a2＞0 8a－2＞0
，解得 2＜a＜6，
∴实数 a 的取值范围是(2,6)． 【名师点评】 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复
平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加、减
法的几何意义可按平面向量加、减法理解，利用平行四边形法
例1 (1)(2011·高考课标全国卷)复数12－＋2ii的共轭复数是(
)
A．－35i
B.35i
C．－i
D．i
(2)(2013·黑龙江哈尔滨六中质检)设 i 是虚数单位，复数12＋－aii为
纯虚数，则实数 a 为( )
A．－12
B．－2
1 C.2
D．2
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【解析】 (1)法一：∵12－＋2ii＝12－＋2ii11＋＋22ii＝2＋i＋54i－2 ＝i， ∴12－＋2ii的共轭复数为－i. 法二：∵12－＋2ii＝－12－i22＋i i＝i11－－22ii＝i， ∴12－＋2ii的共轭复数为－i.
故所求复数为
x＝1＋i y＝1－i
或xy＝＝11＋－ii
或xy＝＝－－11－＋ii
或xy＝＝－－11＋－ii
.
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【防范措施】 (1)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注 意 a，b，c，d∈R 的前提条件．(2)对于复系数(系数不全为实 数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此求此类方 程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行 求解．
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(2)12＋－aii＝12＋－aii22＋＋ii＝2－a＋52a＋1i＝2－5 a＋2a＋ 5 1i，a 为 实数，
2－5 a＝0，
由此复数为纯虚数，可得
2a＋ 5 1≠0，
【答案】 (1)C (2)D
解得 a＝2.
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【题后感悟】 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准 复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问 题来处理．由于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，由它的实部与虚部 唯一确定，故复数还可用点 Z(a，b)来表示．
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(_a_c_－_b_d_)＋__(a_d_＋_b_c_)i_____；
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④除法：zz12＝ac＋＋bdii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝
ac＋bd＋bc－ad c2＋d2
i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3∈C， 有：z1＋z2＝z_2_＋_z_1_，(z1＋z2)＋z3＝_z_1＋__(z_2_＋_z_3_)_______．
则或三角形法则解决问题．
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跟踪训练 3.如图，平行四边形 OABC，顶点 O、A、C 分别表示 0、3＋ 2i、－2＋4i，试求：
(1)A→O表示的复数，B→C表示的复数； (2)对角线C→A所表示的复数．
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解：(1)A→O＝－O→A， ∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
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考点 2 复数的运算 例2 计算下列各式的值：
(1)12＋i i2；(2)21＋＋4ii2；(3)11＋ －ii＋i3. 【解】 (1)12＋i i2＝14＋i2i2＝－2i4＝2i.
(2)21＋＋4ii2＝2＋2i4i＝2－i. (3)11＋ －ii＋i3＝1－1i＋1i＋2 i＋i3＝22i＋i3＝i－i＝0.
(3)(1＋i)2 01
＝
1 22
014[(2i)1
007＋(－2i)1
007]
＝i1 007＋(－i)1 007＝i3＋(－i)3＝0.
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考点 3 复数的几何意义 例3 已知 z 是复数，z＋2i，2－z i均为实数(i 为虚数单位)，且 复数(z＋ai)2 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取 值范围． 【解】 设 z＝x＋yi(x，y∈R)． ∵z＋2i＝x＋(y＋2)i， 由题意得 y＝－2. ∵2－z i＝x2－－2ii＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i， 由题意得 x＝4.
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本节目录
教
考
名
知
材
点
师
能
回
探
讲
演
顾
究
坛
练
夯
讲
精
轻
实
练
彩
松
双
互
呈
闯
基
动
现
关
教材回顾夯实双基
基础梳理
1．复数的概念 (1)复数：形如 a＋bi(a，b∈R)的数，其中 i 叫作虚数单位，a 和 b 分别叫作它的实__部__和虚__部__． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a_＝__c_且_b_＝_d_____ (a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a_＝__c_，_b_＝_－__d___ (a，b，c，d ∈R)．
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【题后感悟】 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多 项式运算，除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数， 注意要把 i 的幂写成最简形式． (2)记住以下结论，可提高运算速度： ①(1±i)2＝±2i；②11＋ －ii＝i；③11－ ＋ii＝－i；④a＋i bi＝b－ai； ⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
是虚数单位，若 i(1＋ai)＝1＋bi，则 a＋b 等于( )
A．0
B．1
C．2
D．－2
解析：选 A.由于 a，b 是实数，所以 i(1＋ai)＝1＋bi 变形为 i
－a＝1＋bi
∴－ 1＝a＝ b，1， 即ab＝ ＝－ 1. 1， 从而 a＋b＝0.
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3．(2012·高考江西卷)若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)， z 是 z
的共轭复数，则 z2＋ z 2 的虚部为( )
A．0
B．－1
C．1
D．－2
解析：选 A.∵z＝1＋i，∴ z ＝1－i，
z2＋ z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2＋2i2＝0.
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4．(2012·高考重庆卷)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中 a，b∈R， i 为虚数单位，则 a＋b＝________. 解析： ∵a＋bi＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，∴a＝1，b＝3，a＋b ＝4.
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跟踪训练 1．若1－a i＝1－bi，其中 a，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋bi|＝__________. 解析：∵a，b∈R，且1－a i＝1－bi， 则 a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i， ∴0a＝＝11＋－bb，， ∴ab＝ ＝2－，1. ∴|a＋bi|＝|2－i|＝ 22＋－12＝ 5. 答案： 5
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名师讲坛精彩呈现
例 x，y.
易错警示 因未将复数问题转化为实数问题致误 已知 x，y 为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求
【常见错误】 本题易错原因为：①没有全面理解题中所给
条件，直接将(x＋y)2 理解成实部，3xy 理解成虚部处理，②想
不到利用待定系数法，③不能将复数问题转化为实数方程
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方法感悟 1．复数的代数运算 (1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的 知识有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性 质，共轭复数的性质等． (2)复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如 i、1±i 等)的运 算，这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的 技巧，才能减少运算量，节省运算时间，达到事半功倍的 效果． 2．复数的几何意义 (1)|z|表示复数 z 对应的点与原点间的距离． (2)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数 z1 与 z2 对应点间的 距离．
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课前热身
1．(2012·高考福建卷)若复数 z 满足 zi＝1－i，则 z 等于( )
A．－1－i
B．1－i
C．－1＋i
D．1＋i
解析：选 A.由 zi＝1－i，得 z＝1－i i＝1－i2 ii＝i－－1i2＝i－＋11＝－
1－i.
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2．(2013·福建莆田毕业班教学质量检测)已知 a，b 是实数，i
复数的分类
实数：b＝0.
(4)a＋bia，b∈R 虚数：b_≠_0__纯 非虚 纯数 虚： 数a：_＝_a≠__00___. _.
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思考探究 已知 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若 z1＞z2，则 a ＞c 说法正确吗？ 提示：正确．因为 z1，z2 至少有一个为虚数时是不能比较大小 的，故 z1，z2 均为实数，即 z1＝a，z2＝c，所以 z1＞z2，即 a ＞c.
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考纲展示
1.理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3.了解复数的代数表示形式及 其几何意义． 4.会进行复数代数形式的四则 运算． 5.了解复数的代数形式的加、 减运算的几何意义.
备考指南
1.复数代数形式的乘除运算和 复数相等的充要条件是考查重 点． 2.复数的基本概念如实、虚部， 共轭复数，模的几何意义，i的 周期性是易错点． 3.题型以选择题为主.
|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝__a_2＋__b_2.
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3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①
加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_(a_＋__c)_＋__(b_＋_d_)_i ___；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_(a_－__c)_＋_(_b_－_d_)_i ___；
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跟踪训练
4．关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，则实数 a 的值为__________． 解析：设方程的实数根为 x＝m，则原方程可变为 3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0 10－m－2m2＝0
答案：11 或－751
，解得 a＝11 或 a＝－751.
求解．
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【解】 设 x＝a＋bi(a，b∈R)， 则 y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i， 根据复数相等得4－a23＝a42＋b2＝－6 ，
解得ab＝ ＝11 或ba＝＝－1 1 或ab＝ ＝－ 1 1 或ab＝ ＝－ －11 .
答案：4
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5．若复数(1＋i)(1＋ai)是纯虚数，则实数 a 等于________． 解 析 ： 由 (1 ＋ i)(1 ＋ ai) ＝ (1 － a) ＋ (a ＋ 1)i 是 纯 虚 数 得
1－a＝0
1＋a≠0
，由此解得 a＝1.
答案：1
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 复数的有关概念
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2．复数的几何意义 (1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面， 横轴叫作实轴，竖轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实__数__；除 原点外，虚轴上的点都表示纯__虚_数___． (2)复数与点：复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)． (3)复数与向量：复数 z＝a＋bi 平面向量O→Z＝(a，b)(a，b∈R)． (4)复数的模：向量O→Z的模叫作复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或
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跟踪训练
2．计算：(1)－1＋ii32＋i； (2)1＋2i22＋＋i31－i；
(3)(1＋i)2 014＋(1－i)2 014.
2
2
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解：(1)－1＋ii32＋i＝－－3＋i i＝－1－3i.
(2)1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i
＝2＋i i＝i2－5 i＝15＋25i.
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知能演练轻松闯关
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