山东省济宁市泗水县泗水中学高二下学期期中考试理科数学试题

2015-2016学年度第二学期期中质量监测
高二理科数学试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共50分）
注意事项：
1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
在改涂在其他答案标号。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 共轭复数为z ，若（2+i ）z=3-i ，则z ⋅z 的值为（ ）
A.1
B.2
C. 2
D. 4
2.若函数()x f =122
+x 图像上P （1,3）及邻近上点Q （1+x ∆，3+x ∆），则
x
y
∆∆=（ ） A.4+2x ∆ B.4x ∆ C.4 D.2x ∆
3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于
60”时，假设正确的是（ ）
A.假设三内角都不大于 60
B.假设三内角都大于
60
C.假设三内角至少有一个大于 60
D.假设三内角至多有二个大于
60
4. 设()x f =[](]
⎩⎨⎧∈-∈2,121,02xx x x 则()dx x f ⎰10
=（ ）
A.
43 B.54 C.6
5
D. 不存在 5．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y=x
1
（x>0）图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）
A.2ln
B.1-2ln
C.2-2ln
D.1+2ln 6.已知函数 ()x f =x x cos 4
12
+，()x f '是函数()x f 的导函数，则()x f '的图象大致是（ ）
7. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（ ）
A.由12-=n a n ，求出211=S ，222=S ，233=S ，…，推断：数列{}n a 的前n 项和n S =2
n
B.由()x f =x x cos 满足()x f -=-()x f 对R x ∈∀都成立，推断：()x f =x x cos 是奇函数
C.由圆2
2
2
r y x =+的面积2
r S π=，推断：椭圆122
22=+b
y a x 的面积ab S π=
D.由()12
211>+，()22
212>+ ，()32
213>+，…，推断：对一切n *
∈N ，()n n 212
>+
8.已知 ()x f =
[]1,1,cos 2
12
-∈-x x x ，则导函数()x f '是（ ） A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.既有最大值的偶函数 D.既有最大值，又有最小值的奇函数
9. 若函数()x f =
()m
x x m +-22的图象如图所示，则m 的范围是（ ）
A.()1--，
∞ B.()2,1- C.()2,0 D.()2,1 10. 设定义在D 上的函数()x h y =在点P （0x ，()0x h ）处的切线方程l 为()x g y =，当0x x ≠时，若
0)()(0
>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数()x h y =的“类对称点”，则()x f =x
x x ln 462
+-的“类对称点”的横坐标是（ ）
A.1
B.2
C. e
D.3
第II 卷（非选择题 共100分）
注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

）
11.若复数z=
i
i
2131-+（i 是虚数单位），则|z|= 。

12.已知物体的运动方程为t
t s 32
+=（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻t=2时的速度为 。

13.若()x f =()122
f x x '+，则()0f '等于 。

14.已知()∞+∈.0x ，不等式21≥+x x ，342≥+x x ，4273≥+x x ，…，可推广为1+≥+n x
a
x n ，则a 等于 。

15.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数()x f ，如果()00='x f ，那么0x x =是函数()
x f 的极值点；因为函数()x f =3x 在x=0处的导数值()0f '=0，所以x=0是函数()x f =3
x 的极值点。

”
以上推理中（1）大前提错误；（2）小前提错误；（3）推理形式正确；（4）结论正确 。

你认为正确的序号是 。

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）
已知a>b>0，求证：b
a b
a b a b a +->+-2
222。

17. （本小题满分12分）
已知抛物线c bx x y ++=2在点（1,2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数c bx x y ++=2
的最值。

18. （本小题满分12分）
对于任意正整数n ，猜想2n-1与()2
1+n 的大小关系，并给出证明。

19. （本小题满分12分）
某个体户计划经销A,B 两种商品,据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，在经销A,B 商品中所获得的收益分别为()x f 万元与()x g 万元，其中()x f =)1(-x a +2（a>0）；()x g =)0)(ln(6>+b b x ，已知投资额为零时，收益为零。

（I ） 试求出a ，b 的值；
（Ⅱ）如果该个体户准备投入5万元经营这种商品，请你帮他制定一个资金投入方案使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值。

（精确到0.1，参考数据：10.13ln ≈）
20. （本小题满分13分） 已知函数()x f =()
x
e
a ax x -++2
，（a 为常数，e 为自然对数的底数）。

（I ） 当a=0时，求()2f '；
（Ⅱ）若()x f 在x=0时取得极小值，试确定a 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由()x f 的极大值构成的函数为()a g ，将a 换元为x ，试判断曲线y=()x g 是否能与直线3x-2y+m=0（m 为确定的常数）相切，并说明理由。

21．（本小题满分14分） 已知函数()x f =)1ln(2
++x ax 。

（I ） 当a=-
4
1
时，求函数()x f 的单调区间； （Ⅱ）若函数()x f 在区间1，+∞）上为减函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当x [)∞+∈，
0时，不等式()x f -x ≤0恒成立，求实数a 的取值范围。