高中数学 112数列的函数特性课件同步导学 北师大必修5

• 先列表，描点得到图像，再观察图像得到数列的增减性．
• [解题过程] 列表
n
1
2
3
4
5
…
k
…
a
1
3
5
7
9
…
2k－
…
• 图像n ：
1
• 由图像知，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，所以 是递增数列．
• [题后感悟] (1)数列的表示方法有列表法、图像法、解析 法，这同函数的表示方法相一致． • (2)利用图像可直观判断数列的增减性．
B．第5项
• C．第6项
D．第7项
• 答案： B
• 3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是________数列(填“ 递增”或“递减”)
• 答案： 递增
解析： an＋1－an＝bcn＋n＋11＋ 1－bnc＋n 1 ＝bn＋b＋c1bn＋1＞0， ∴an＋1＞an. • 答案： an＋1＞an
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2＋1，证明数列 {an}为递增数列．
证明： ∵an＝ n2＋1，∴an＋1＝ n＋12＋1，
∴an＋1－an＝ n＋12－1－ n2＋1
＝
2n＋1 n＋12＋1＋
n2＋1＞0.
∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．
• 把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1,3,5,7，…用列表 法表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，根据图像指 出它的增减性．
解析： (1)an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 当 n＝2,3 时，an＜0. ∴数列中有两项是负数．
(2)∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 可知对称轴方程为 n＝52＝2.5. 又因 n∈N＋，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值，其最小值 为－2.
•
写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式：
(2)方法一(作差法)：
∵an＋1－an＝ n＋12＋1－(n＋1)－( n2＋1－n) ＝ n＋12＋1－ n2＋1－1
＝[
n＋12＋1－ n2＋1][ n＋12＋1＋ n＋12＋1＋ n2＋1
n2＋1]－1
＝
n＋1＋n n＋12＋1＋
n2＋1－1
显然 n＋12＋1＞n＋1， n2＋1＞n.
∴
n＋1＋n n＋12＋1＋
• 1．2 数列的函数特性
• 1．了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公 式)． • 2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念． • 3．掌握判断数列增减性的方法．
• 1．判断数列的增减性(重点) • 2．利用数列的增减性求最大、最小项(难点) • 3．三种考查方式均有可能出现，属中档题.
• 2．数列的递推关系 • (1)有些数列的给出利用通项公式不直观或不能写成关于n 的函数，往往借助于相邻之间的关系给出：如数列 1,1,2,3,5,8,13，… • 此数列的规律可以写成an＋2＝an＋1＋an.其中a1＝1，a2＝1. 可以利用以上关系列出整个数列，把此种类型的表示方法称 为递推公式法．
• 1．数列的单调性
• (1)单调性理解，数列是特殊的函数，特殊在于其定义域为 正整数集或它的子集．有些数列不存在单调性如an＝(－1)n或 常数数列．有些数列在正整数集上有多个单调情况，如an＝ (n－10)2在n∈{1,2，…，10}上单调递减．在n∈{10,11，…}单 调递增．有些数列在正整数集上单调性一定如an＝2n＋1. • (2)判断方法：①比较an＋1与an的大小(即定义法) • ②利用数列的图像直观判断．
列表法、图像法、解析法．
• 2．数列的函数特性 • 一个数列{an}，如果从第 二项 起，每一项都 大于 它前面的一项，即an＋1＞an，那么这个数列叫做 递增数列．
• 如果从 第二项 起，每一项都 小于 它前面的一项 ，即an＋1＜an，那么这个数列叫做 递减数列．如果数列{an}的 各项都相等，那么这个数列叫做 常数列．
• (1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋)； • (2)a1＝3，an＋1＝3an(n∈N＋)．
• 根据递推公式写出前4项，再由这4项寻找规律，归纳出通 项公式．
• [解题过程] (1)由递推关系，得a1＝0＝02， • a2＝a1＋(2×1－1)＝1＝12， • a3＝a2＋(2×2－1)＝4＝22， • a4＝a3＋(2×3－1)＝9＝32. • 观察前4项，可归纳出an＝(n－1)2. • (2)由递推关系式，得
• 4．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函 数对应的一列函数值就构成一个数列．
• 1．数列的表示方法 • (1) 数 列 可 用 图 像 来 表 示 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 序 号 为 横标 ，相应的项为 纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是 相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点． • (2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有
1．若数列{则其 一个通项公式为 an＝n－n＋11n.
2．若{an}的通项公式 an＝3n－1，则 an＋1＝3n＋2，an＋1 －an＝3，an 与 an＋1 的大小关系为 an＋1＞an.
3．对于函数 f(x)，若对于定义域内任意 x1＜x2，总有 f(x1) ＜f(x2)成立，则称 f(x)是单调递增函数．
整理得nn＋ ＋12≥1110.解得 n≥9， 当 n＝9 时取等号． 所以从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起递减． 所以数列{an}有最大项，最大项为第 9、10 项， 即 a9＝a10＝1101190.
[题后感悟] (1)对于正项数列的单调性判断除利用作差 an＋1－an 来研究外，还可以利用aan＋n 1与 1 的大小来判断．
已知函数 f(x)＝x－1x.数列{an}满足 f(an)＝－2n，且 an＞ 0.
(1)求数列{an}的通项公式． (2)判断数列{an}的增减性．
• 先将条件看作：关于an的方程，通过解方程求出an，再用 作差法或作商法判断增减性．
[解题过程] (1)∵f(x)＝x－1x，f(an)＝－2n. ∴an－a1n＝－2n.即 an2＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1， ∵an＞0，∴an＝ n2＋1－n.
n2＋1＜1
∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
方法二：(作商法)
∵an＞0，
∴aan＋n 1＝
n＋12＋1－n＋1 n2＋1－n
＝
[ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1]
＝ n＋1n22＋＋11＋ ＋nn＋1＜1
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，12，13，14，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－12，－14，－18，… D．1， 2， 3，…， n • 答案： C
• 2．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an}各项中 最小的项是( )
• A．第4项
∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．
• [题后感悟] 数列{an}增减性的判定方法： • (1)作差比较法
• ①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； • ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； • ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． • (2)作商比较法
an＞0 an＜0
aan＋n 1＞1 递增数列
递减数列
aan＋n 1＜1 递减数列
递增数列
aan＋n 1＝1 常数列
常数列
2．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为 递增数列．
证明： ∵an＋1－an＝n＋n＋112＋2 1－n2n＋2 1 ＝n＋1[2nn＋2＋112＋－1n]2[n2n＋＋112＋1] ＝[n＋122n＋＋11]n2＋1. • 由n∈N＋，得an＋1－an＞0，即an＋1＞an， • ∴数列{an}是递增数列．
已知数列{an}的通项公式为 an＝(n＋1)1110n(n∈N＋)，试 问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明 理由．
• [策略点睛]
[规范作答] 方法一：因为 an＋1－an ＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n ＝1110n·9－11n， 当 n＜9 时，an＋1－an＞0，即 an＋1＞an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n＞9 时，an＋1－an＜0，即 an＋1＜an；
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
• 1．把数列{n2－9n}用列表法表示出来，并在直角坐标系中 画出它的图像，并根据图像指出它的增减性． • 解析： 列表
n1
2
3
4
5
6
7
8… k
…
－
k
a－ －
－
－
－
－
1
－
… 2－
…
n8
14 18
20 20 18
8
4
9k
• 图像
• 由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，…} 上是递增的．
(2)若求一数列中最大项 an，只需满足aann≥≥aann＋ －11 求出 n 值，求最小项 an，只需满足aann≤≤aann＋ －11 求出 n 值.
• 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列 中有多少项是负数？ • (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
，
k＋11110k≥k＋21110k＋1
∴k11＋10k1＋≥11110≥kk＋2
，解得 9≤k≤10.
又 k∈N＋，∴数列{an }中存在的最大项是第 9 项和第 10 项． 且 a9＝a10＝1101190.
方法三：令aan－n 1≥1(n≥2)，即nn＋11110n11－101n≥1， 整理，得n＋n 1≥1110，解得 2≤n≤10， 当 n＝10 时取等号． 令aan＋n 1≥1，即nn＋＋2111111010n＋n 1≥1，
• (2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出指定的某一项 的值，有时需转化成通项公式，往往需运用归纳猜想或逻辑 推理的方法得到．
所以 a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项，
即 a9＝a10＝1101190.
方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，
则
ak≥ak－1 ak≥ak＋1
对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
即k＋11110k≥k1110k－1
• a1＝3＝31，a2＝3a1＝9＝32， • a3＝3a2＝27＝33，a4＝3a3＝81＝34. • 观察前4项，可归纳出an＝3n.
• [题后感悟] 递推公式是确定数列的另一种形式，由递推 公式求通项公式的基本方法是先求出数列的前几项再进行归 纳．
• 4 ． 在 数 列 {an} 中 ， 已 知 a1 ＝ 2 ， a2 ＝ 3 ， an ＋ 2 ＝ 3an ＋ 1 － 2an(n≥1)，写出数列的前6项并归纳出数列的通项公式． • 解析： 由a1＝2，a2＝3及an＋2＝3an＋1－2an • 得：a3＝3a2－2a1＝5＝22＋1 • a4＝3a3－2a2＝9＝23＋1 • a5＝3a4－2a3＝17＝24＋1 • a6＝3a5－2a4＝33＝25＋1. • 由此可归纳an＝2n－1＋1.