数列方法总结

数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2
55a S =．求数列{}n
a 的通项公式。

解：设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列，∴912
3a a a =,
即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12
=⇒
∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
∵255a S = ∴211)4(2
4
55d a d a +=⋅⨯+
…………② 由①②得：5
3
1=
a ，53=d
∴n n a n 5
3
53)1(53=⨯-+=
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写
出通项。

二、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式
⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2
1
11n S S n S a n n n 求解. 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a
当2≥n 时，有
,)1(2)(211n
n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-
,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-
].)1(2[3
2
3
]
)2(1[2)
1(2
)]2()2()2[()1(21211
211--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n n
经验证11=a 也满足上式,所以])1(2[3
212
---+=
n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21
1n S S n S a n n
n n 求解时,要注意对n 分类讨论，但若能合写时
一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+
解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法（逐差相加法）求解.
（2004全国卷I 。

22)已知数列{}n a 中，12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+，其中
1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。

P24（styyj)
例3. 已知数列{}n a 满足211=
a ，n n a a n n ++=+211，求n a . 解：由条件知：1
1
1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n
分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-=-
211=a ,n n a n 1231121-=-+=∴
类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+
解法:把原递推公式转化为)(1n f a a
n
n =+，利用累乘法（逐商相乘法)求解。

（2004全国卷I.15)已知数列{a n }，满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1（n ≥2），则｛a n ｝的
通项 1
___n a ⎧=⎨⎩
12n n =≥ P24（styyj ）
例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a 。

解：由条件知1
1+=
+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即
1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n
a a n 1
1=⇒
又321=a ,n
a n 32
=∴
（2）．由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得:
由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，•••,12)1(a f a =依次向前代入，
得
1)1()2()1(a f n f n f a n ⋅⋅⋅--=，
简记为11
1
))((a k f a n k n -=∏= )1)(,1(0
1
=∏≥=k f n k ,这就是叠（迭）代法的基本模式.
（1） 递推式:()n f pa a n n +=+1 解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带
来的差异．
例5．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得
[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n
⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=∴1
332
3A B B A A ⎩⎨
⎧==1
1
B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ，又61=b ,故n n n b 32361⨯=⨯=-代入(１）得132--⨯=n a n n 说明：（1)若)(n f 为n 的二次式，则可设
C Bn An a b n n +++=2;（2）本题也可由1231-+=-n a a n n ，1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n )两
式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之.
例6．已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ，求n a . 解：1231
32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=
343752633134
8531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=
---。

类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数,)0)1((≠-p pq ）。

解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+,其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数
列求解。

（2006.重庆。

14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a = P24（styyj ）
例7。

已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n 。

故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ,则4311=+=a b ，且
23
3
11=++=++n n n n a a b b 。

所以{}n b 是以41=b 为首项,2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ，所以321-=+n n a 。

类型4 递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或
1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）
（2006全国I.22）（本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=
-⨯+,1,2,3,n =
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ； P25（styyj)
解法:该类型较类型3要复杂一些。

一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q ，
得:
q q a q p q
a n n n n 1
1
1+•=++ 引入辅助数列{}n b (其中n
n
n q
a b =
）,得：q b q p b n n 11+=+再应用类型3的方法解决. 例8。

已知数列{}n a 中,651=a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1
2+n 得：1)2(3
2211+•=•++n n n n a a
令n n n a b •=2，则1321+=+n n b b ，应用例7解法得：n
n b )3
2(23-= 所以
n
n n
n n b a )31(2)21(32-==
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨
⎧-==+q
st p
t s ，再应用前面类型3的方法求解。

（2006。

福建.理。

22）(本小题满分14分) 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈
(I ）求数列{}n a 的通项公式; P26（styyj)
例9. 已知数列{}n a 中，11=a ，22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。

解：由n n n a a a 3
1
3212+=
++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 即n n n sta a t s a -+=++12)(⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-==+⇒313
2st t s ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒311t s 或⎪⎩⎪⎨
⎧=-=131t s 这里不妨选用⎪⎩
⎪
⎨⎧-==311t s (当然也可选用⎪⎩⎪⎨
⎧=-=131t s ，大家可以试一试），则
)(3
1
112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -⇒+1是以首项为112=-a a ,公比为31-的等比数列，所
以1
1)3
1(-+-=-n n n a a ，应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)
1(-n 个等式累加之，
即2
1
1)
3
1()3
1()3
1(--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=-n n a a 3
11)31(11
+--=
-n 又11=a ，所以1)3
1(4347---=n n a . 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式.(或()n n S f a =）
解法：利用⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()
1(11n S S n S a n n
n 进行求解。

（2006.陕西.20） (本小题满分12分) 已知正项数列｛a n ｝，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3，a 15成等比数列，求数列｛a n }的通项a n P24（styyj)
例10。

已知数列{}n a 前n 项和2
214--
-=n n n a S 。

(1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a 。

解:(1）由2
2
14--
-=n n n a S 得：1
112
14-++-
-=n n n a S
于是)21
21
(
)(1
2
11--++-
+-=-n n n n n n a a S S
所以11121-+++-=n n n n a a a n n n a a 2
1
211+=⇒+。

（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以1
2+n 得:22211+=++n n n n a a
由12
1
4121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
n n a n n 2)1(222=-+=12
-=⇒n n n
a
类型7 双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解.
例11. 已知数列{}n a 中，11=a ;数列{}n b 中，01=b 。

当2
≥n 时,)2(3111--+=
n n n b a a ,)2(3
1
11--+=n n n b a b ，求n a ，n b . 解：因=+n n b a ++--)2(31
11n n b a )2(3
111--+n n b a 11--+=n n b a
所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=•••=+=--b a b a b a n n
即1=+n n b a (1)
又因为=
-n n b a -+--)2(3
111n n b a )2(3111--+n n b a )(31
11---=n n b a
所以=-n n b a )(3
111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31(111
b a n -=-
1)31(-=n 。

即=-n n b a 1)3
1
(-=n ………………………（2） 由（1）、（2）得:])31(1[211-+=n n a ， ])3
1(1[211
--=n n b
四、待定系数法(构造法）
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。

通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数,可转化为特殊数列｛a n +k ｝的形式求解。

一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k )与原式比较系
数可得pk －k =q ，即k=
1
-p q
,从而得等比数列{a n +k ｝。

例12、数列｛a n ｝满足a 1=1，a n =2
1
a 1-n +1（n ≥2），求数列｛a n ｝的通项公式。

解:由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=2
1
(a 1-n －2),而a 1－2=1－2=－1，
∴数列｛ a n －2}是以2
1
为公比,－1为首项的等比数列
∴a n －2=－（21）1-n ∴a n =2－（2
1）1
-n
说明：这个题目通过对常数1的分解,进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。

例13、数列｛a n ｝满足a 1=1，0731=-++n n a a ，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：由0731=-++n n a a 得3
7
3
11+
-=+n n a a 设a )(311k a k n n +-=++，比较系数得3
7
3=--k k 解得47-=k
∴{47-n a ｝是以31-为公比,以43
471471-=-=-a 为首项的等比数列
∴1)3
1(4347--⨯-=-n n a 1
)31(4347--⨯-=⇒n n a
例14．已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．
解：设)(31t a t a n n +=++,则1231=⇒+=+t t a a n n ，
⇒+=++)1(311n n a a {}1+n a 是以)1(1+a 为首项，以3为公比的等比数列
⇒⇒⋅=⋅+=+--111323)1(1n n n a a 1321-⋅=-n n a
点评：求递推式形如q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列)1(11p
q
a p p q a n n -+=-+
+来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．
例15．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ,求n a ．
解：将123-+=n n n a a 两边同除n
3，得
n
n n n a a 32131-+=⇒
11
33213--+=n n n n a a 设n n n a b 3
=,则1321-+=n n b b ．令)(321t b t b n n -=--⇒t b b n n 31321+=-
⇒3=t ．条件可化成)3(3
231-=--n n b b ，数列{}3-n
b 是以3833311-=-=-a b 为首项，32
为公比的等比数列．1
)32(383-⨯-=-n n b ．因n n n a b 3
=,
)3)3
2
(38(331+⨯-==∴-n n n n n b a ⇒2123++-=n n n a ．
点评：递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1
+n q ，得 111+⋅=++n n n n q a q p q a ，令n
n
n q
a b =从而化归为q pa a n n +=+1(p 、q 为常数）型． 2、通过分解系数，可转化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解。

这种方法适用于
n n n qa pa a +=++12型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列}{1--n n a a ：设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得k h ,.
（2006。

福建.文.22）（本小题满分
14
分）已知数列
{}
n a 满足
*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列;
(II ）求数列{}n a 的通项公式；
例16、数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列｛a n ｝的通项公式. 分析：递推式02312=+-++n n n a a a 中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项
1+n a 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1--n n a a 。

解：由02312=+-++n n n a a a 得0)(2112=---+++n n n n a a a a 即）n n n n a a a a -=-+++112(2，且32512=-=-a a ∴}{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列
∴1123-+⋅=-n n n a a
利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++
=223232
3021
+⋅++⋅+⋅-- n n =2)1222(32
1+++++⋅-- n n
=221213+--⋅
n
=123-⋅n
∴1231-⨯=-n n a
例17、数列{}n a 中，n n n a a a a a +===++122123,2,1,求数列{}n a 的通项公式。

解：由n n n a a a +=++1223得,3
1
3212n n n a a a +=
++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得31
32=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31=-=h k 若取3
1,1-==h k ,则有)(31
112n n n n a a a a --=-+++
∴}{1n n a a -+是以31
-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列
∴1
1)3
1(-+-=-n n n a a
由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
=11)3
1
()31()31()
3
1(232
++-+-++-+--- n n
=
1311)31
(11
++---n =11)31(43471)31(143---⨯-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n 说明：若本题中取1,31=-=h k ，则有n n n n a a a a 3
1
31112+=++++即得
}31{1n n a a ++为常数列，n n a a 311++ 131-+=n n a a 1231
a a +==
3
7
312=+=故可转化为例13。

例18．已知数列{}n a 满足11=a ,22=a ，n n n a a a 3
1
3212+=++求n a ．
解：设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++⇒
n n n sta a t s a -+=++12)(⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-==+⇒313
2st t s ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒311t s 或⎪⎩⎪⎨
⎧=-=131t s 则条件可以化为)(3
1
112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -⇒+1是以首项为112=-a a ,公比为31-
的等比数列，所以1
1)
3
1(-+-=-n n n a a ．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得
1
)3
1(4347---=
n n a ． 点评：递推式为n n n qa pa a +=++12(p 、q 为常数）时，可以设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++，其待定常数s 、t 由p t s =+，q st -=求出,从而化归为上述已知题型． 五、特征根法 1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,，其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

作出一个方程,d cx x +=则当10a x =时，n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +=≠=时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-。

例19．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23
111=∈--=+a n a a n n 求.n a
解：作方程.2
3,2310-=--
=x x x 则 当41=a 时，.211
23,1101=+=≠a b x a
数列}{n b 是以3
1-为公比的等比数列.于是.N ,)3
1
(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n
2、对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程
02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，
数列{}n a 的通项为1
2
11--+=n n n Bx Ax a ，其中A,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）;当21x x =时,数列{}n a 的通项
为1
1)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入
11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A 、B 的方程组）。

例20：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ，得
)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++， 且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,
3
2
为公比的等比数列，于是 11)3
2
)((-+-=-n n n a b a a 。

把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得
a b a a -=-12，
)32
()(23⋅-=-a b a a ,
234)3
2
()(⋅-=-a b a a ，
•••
21)3
2
)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得
])3
2()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=-。

a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二(特征根法)：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是：02532
=+-x x 。

3
2,121=
=x x , ∴1
2
11--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是
⎩⎨
⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1
)3
2)((323--+-=n n b a a b a
3、如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q
pa a n n n ++=
+1（其中p 、q 、
r 、h 均为常数，且r
h
a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q px x ++=,当特征方程有
且仅有一根0x 时，则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时,则12n n
a x a x ⎧⎫
-⎨⎬
-⎩⎭是等比数列。

（2006.重庆.文。

22)．（本小题满分12分）
数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足求数列}{n a 的通项公式. 解：由已知,得125
168n n n
a a a ++=
-,其特征方程为25168x x x +=-,解之,得1524x x ==或
116()122168n n n a a a +-∴-=-,1512()544168n n n a a a +-∴-=- 111112255244
n n n n a a a a ++--∴=--，111111422()552244n n n
n a a a a ---
∴=⋅=---
12524
n n n a -+=+. P26 (styyj)
例21、已知数列}{n a 满足性质：对于,3
24
,N 1++=∈-n n
n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 解: 数列}{n a 的特征方程为,3
24
++=
x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
.N ,)221211(2313)(1
1212111∈⋅-⋅-⋅+-=--⋅--=
--n r p r p a a c n n n λλλλ
∴.N ,)5
1(521
∈-=-n c n n
∴.N ,1)5
1(521
)51
(5221
1112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n
n λλ 即.N ,)
5(24
)5(∈-+--=n a n
n n 例22．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3
25
131+-=+n n n a a a
(1）若,51=a 求;n a (2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时,无穷数列}{n a 不存在?
解:作特征方程.3
25
13+-=
x x x 变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答。

（1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2）∵.,311λ≠∴=a a
∴λλr p r
n a b n --+-=)
1(11 51131)1(531⋅-⋅-+-=n ,8
1
21-+
-=n
令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4,N ∈n 时,5
17
51--=
+=
n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a
∴.,8
1
1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ
令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n
∴.N ,743558
1111∈++=+-+
=+=
n n n n b a n n λ （4）、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在。

由本题的第(1）小题的解答过程知，
51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时,则有
.N ,8
1
51)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=
n n n a 且n ≥2.
∴当1
13
51--=n n a (其中N ∈n 且N ≥2）时,数列}{n a 从第n 项开始便不存在。

于是知：当1a 在集合3{-或,:113
5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在。

说明：形如：)(11
b a k ma a n n n +=--递推式，考虑函数倒数关系有
)1
1(11m a k a n n +=-⇒m
k a k a n n +⋅=-111令n n a b 1=则{}n b 可归为q pa a n n +=+1型.（取倒数法)
例23：1,1
3111
=+⋅=
--a a a a n n n
解：取倒数：1
111
3131---+
=+⋅=n n n n a a a a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，
3)1(1
11⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231-=⇒n a n 六、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出
一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形,或者某一反例,以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造".若已知条件给的是数列的递推公式要求出该
数列的通项公式，此类题通常较难,但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法。

例24: 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：
n n n S a a 422
=+成立，求{}n a 的通项an 。

解：n n n S a a 422
=+⇒112
142---=+n n n S a a ， ∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(42211212=-=-+----
0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵01≠+-n n a a ,∴21=--n n a a 。

即{}n a 是以2为公差的等差
数列，且2421112
1=⇒=+a a a a . ∴n n a n 2)1(22=-+= 例25： 数列{}n a 中前n 项的和n n a n S -=2，求数列的通项公式n a 。

解
:
∵
1
21111=⇒-==a a S a 当n ≥2时，
[]12
1
2)1(221111+=⇒++-=----=-=----n n n n n n n n n a a a a a n a n S S a )2(2
1
21-=
-⇒-n n a a 令2-=n n a b ，则12
1
-=n n b b ，且1211-=-=b
{}n b 是以21为公比的等比数列，11)21()21(1---=⨯-=n n n b
∴1
)21(2--=n n a 。

2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式。

例26: 设{}n a 是首项为1的正项数列，且012
12=-----n n n n na na a a ，（n ∈N*）,求数列的通项公式an.
解：由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n 。

∵0>n a ，01>-n a ,∴01>+-n n a a . ∴n a a n n =--1
2
)
1(321)()()(123121+=
++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n 例27： 数列{}n a 中，3,121==a a ，且n n n a n a n a )2()3(12
+-+=++，（n ∈N ＊)，求通项公式n a 。

解： =-++12n n a a =-++))(2(1n n a a n ))(1)(2(1--++n n a a n n
)1)(2(++==n n )!2()(3412+=-⨯n a a
∴!!3!21)()()(123121n a a a a a a a a n n n +++=-++-+-+=-(n ∈N ＊） 3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法。

例28: 数列{}n a 中，2
1
1=
a ,前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a 。

解：1221221)1()1()1(----=-⇒--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a
1
1
1+-=⇒-n n a a n n ，
∴11
2
211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅=
--- )1(12131211+=⨯-⋅+-=
n n n n n n ∴)
2)(1(1
1++=+n n a n
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例29： 设正项数列{}n a 满足11=a ,2
1
2-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式。

解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a
a ，设1log 2+=n a n
b ,
则12-=n n b b
{}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b 。

11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n ，12log 12-=-n a
n ，
∴1
212
--=n n a
例30： 已知数列{}n a 中,21=a ,n ≥2时1
33
711+-=
--n n n a a a ，求通项公式.
解：∵1344111+-=---n n n a a a ，两边取倒数得4
3
11111+-=--n n a a .
可化为等差数列关系式.
4
1
3)1(4311111+=
-+-=-n n a a n ∴1
35
3++=n n a n。