甘肃省张掖市2021届新高考模拟化学试题(校模拟卷)含解析

甘肃省张掖市2021届新高考模拟化学试题（校模拟卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点()
25,310A 在双曲线()22
21010x y b b
-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
10 B ．
10 C ．10 D ．210
【答案】C 【解析】 【分析】
将点A 坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率. 【详解】
将25x =,310y =代入方程()22
21010x y b b
-=>得310b =，而双曲线的半实轴10a =，所以
2
2
10c a b =+=，得离心率10c
e a
=
=,故选C. 【点睛】
此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.
2．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．15
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数. 【详解】
输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算
320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320
的最大公约数为16， 故选:A. 【点睛】
本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易. 3．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）
A b a <
B b a >
C ．a
b
e b e a -<- D ．a
b
e b e a ->-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项． 【详解】
已知0a b >>，赋值法讨论0a b >>的情况：
（1）当1a b >≥时，令2a =，1b =b a <
，a b e b e a ->-，排除B 、C 选项；
（2）当01b a <<≤时，令12a =，1
3
b =b a >，排除A 选项.
故选：D. 【点睛】
比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题． 4．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21
()cos g'x a x
=-， 当1a ≤，(,)22
x ππ
∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减，
∴(,0)2
x π
∈-
时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，
∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2
π
-
上单调递增，
(0,)2
x π
∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ，
∴()0f 'x <，即()f x 在(0,
)2
π
上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；
当1a >时，存在(0,)
2
t π
∈使得cos t =，即'()0g t =，
又21
()cos g'x a x =-
在
(0,)2
π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾． 综上，1a ≤．故选B ．
方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相
切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ．
5．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】
设数列的公差为,0d d ≠，
125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.
125,,a a a Q 成等比数列，()()2
1114a d a a d ∴+=+②，
解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 6．等比数列{}n a 中，11
,28
a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4
C ．14
±
D ．
14
【答案】A 【解析】
【分析】
利用等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝ ，即可得出．
【详解】
设4a 与8a 的等比中项是x ．
由等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝，6x a ∴=± ．
∴4a 与8a 的等比中项5
61
248
x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 7．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －
）}，则M∩N 为（ ）
A ．（1，＋∞）
B ．（1，2）
C ．[2，＋∞）
D ．[1，＋∞）
【答案】B 【解析】
，
，
∴．
故选．
8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．
1
6
B ．
14
C ．
13
D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数
6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.
【详解】
派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：23
4336n C A ==
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：212
2326m C C A ==
∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366
m p n =
== 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆2
2
2
x y n +=上两个动点，且满足()2
*2
n n n OA OB n N ⋅=-∈u u u u v u u u u v ，设,n n A B
到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S m <恒成
立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B ．3
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．3
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由于,n n A B
到直线()10x n n ++=的距离和等于,n n A B 中点到此直线距离的二倍，所以只需求
,n n A B 中点到此直线距离的最大值即可。

再得到,n n A B 中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，
半径和,n n A B 中点到此直线距离的最大值的关系可以求出n a 。

再通过裂项的方法求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，即可通过不等式来求解m 的取值范围. 【详解】
由22n n n OA OB ⋅=-u u u u v u u u u v ，得2cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，120n n A OB ∴∠=o
.设线段n n A B 的中点n C ，则
2n n OC =，n C ∴在圆222
4
n x y +=上，n n A B
到直线()10x n n ++=的距离之和等于点n C 到该
直线的距离的两倍，点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2
2
2
4
n x y +=的
圆心(0,0)
到直线()10x n n ++=的距离为
()12
n n d +=
=
，()21222
2n n n n a n n +⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎣⎦，211111222n a n n n n ⎛⎫
∴==- ⎪++⎝⎭，
1231111n n S a a a a ∴=
+++⋅⋅⋅+
=1111111112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11113122124
n n ⎛⎫=
+--< ⎪++⎝⎭. 34
m ∴≥
. 故选：B 【点睛】
本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.
10．已知函数3sin ()(1)()x x x x
f x x m x e e
-+=+-++为奇函数，则
m =（ ） A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【详解】
依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x x
y e e -=+为偶函数，所以()()()1g
x x m x =+-为
偶函数，故()()0g
x g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以
1m =.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.
11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )
A ．28cm
B ．212cm
C
．()
2
2cm
D
．()
2
4cm
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.
1
422
⨯⨯=
所以该几何体的表面积是()
24cm .
故选：D 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.
12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令
12
12
1ln 2,,log 24a b c -
⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）
A ．()()()f a f b f c <<
B ．()()()f a f c f b <<
C ．()()()f b f a f c <<
D ．()()()f c f a f b <<
【答案】C 【解析】 【分析】
可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]
20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】
解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又1
2
124b -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
12
log 21c ==-
设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]
20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；
()f x Q 在[]1,2上是减函数；
12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；
12()()f x f x ∴<；
()f x ∴在[]0,1上是增函数；
所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=
∴()()()f b f a f c <<
故选：C 【点睛】
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【分析】
先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果. 【详解】
由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有3
2
34A A 种排法，其中甲排在两端，有3
1
332A A 种排法，则6
人排成一排，甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有3231
3433362A A A A -=（种）排法.
所以本题答案为36. 【点睛】
排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.
14．在正奇数非减数列{}1,3,3,3,5,5,5,5,5,⋅⋅⋅中，每个正奇数k 出现k 次.已知存在整数b 、c 、d ，对
所有的整数n 满足n a b d =+，其中[]
x 表示不超过x 的最大整数.则b c d ++等于______.
【答案】2 【解析】 【详解】
将已知数列分组为（1）()(),3,3,3,5,5,5,5,5,⋅⋅⋅，() 21,21,,21k k k --⋅⋅⋅-，
共21k -个组.
设n a 在第k 组，21n a k =-，
则有135231135211k n k +++⋅⋅⋅+-+≤<+++⋅⋅⋅+-+， 即()2
2111k n k -+≤<+. 注意到0k >，解得111n k n -<≤
-+.
所以，1111k n n ⎡⎤⎡⎤=-+=-+⎣⎦⎣⎦. 因此，211n a n ⎡⎤=-+⎣⎦.
故()2112b c d ++=+-+=.
15．已知椭圆Г：22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1、F 2是椭圆Г的左、右焦点，A 为椭圆Г的上顶点，延长
AF 2交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设2BF t =，由题可得1BF 的长，在三角形1ABF 中，三角形
12BF F 中由余弦定理可得1ABF ∠的值相等，可得,a c 的关系，从而求出椭圆的离心率
【详解】
如图，若1ABF ∆为等腰三角形，则|BF 1|=|AB|.设|BF 2|=t ，则|BF 1|=2a−t ，所以|AB|=a+t=|BF 1|=2a−t ，解得a=2t ，即|AB|=|BF 1|=3t ，|AF 1|=2t ，设∠BAO=θ，则∠BAF 1=2θ，所以Г的离心率e=22||||
OF c a AF ==sin θ，结合余弦定理，易得在1ABF ∆中，21cos 212sin 3θθ=
=-，所以21sin 3θ=，即e=sin θ =33
，
故答案为：
3
3
.
【点睛】
此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.
16．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）.
【答案】21 3892 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积. 【详解】 如图所示：
正四棱锥P-A BCD 的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺， 截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺，
所以16
302
130202
OO ⨯'-=⨯， 解得21OO '=， 所以该正四棱台的体积是
()221
2120206638923
V =⨯⨯+⨯+=，
故答案为：21；3892. 【点睛】
本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3P ，曲线C ：22sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以原点为极点，
x轴正半轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos
62
π
ρθ⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
.
（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线与曲线C的两个交点分别为A，B，求
11
PA PB
+的值.
【答案】（Ⅰ）点P在直线l
上；见解析（Ⅱ）
11
PA PB
+=
【解析】【分析】
（Ⅰ）直线l
：2cos
6
π
ρθ⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
cos sin
θρθ
+=，所以直线l
的直角坐标方程为y
+=
0+=，所以点P在直线l上；
（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.
【详解】
（Ⅰ）直线l
：2cos
6
π
ρθ⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
cos sin
θρθ
+=，
所以直线l
y
+=
0=
所以点P在直线l上；
（Ⅱ）直线l
的参数方程为
1
2
2
x t
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），
曲线C的普通方程为
22
1
24
x y
+=，
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得2
51240
t t
+-=，
设两根为1t，2t，所以12
12
5
t t+=-，
11
4
5
t t⋅=-<，
故1t与2t异号，
所以
125
t t
A P
P B=-==
+，
1212
4
5
PA PB t t t t
⋅=⋅=-=，
所以
11
14
PA PB
PA PB PA PB
+
+==
⋅
.
【点睛】
本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题. 18．已知等差数列的前n项和为，且，．
求数列的通项公式；
求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
先设出数列的公差为d，结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果．
利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】
解：设公差为d的等差数列的前n项和为，
且，．
则有：，
解得：，，
所以：
由于：，
所以：，
则：，
则：，
．
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),n n S (
)*
n N ∈在函数1
2
2x y +=-的图像上；
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求{}n b 的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的*n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围；
【答案】（1）()*
2n
n a n =∈N （2）当n 为偶数时，2233n n b =+；当n 为奇数时，22
33
n n b =-.（
3）(1,)+∞ 【解析】 【分析】
（1）根据1n n n a S S -=-,讨论1n =与2n ≥两种情况,即可求得数列{}n a 的通项公式;
（2）由（1）利用递推公式及累加法,即可求得当n 为奇数或偶数时{}n b 的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.
（3）分类讨论,当n 为奇数或偶数时,分别求得1
n
n b b +的最大值,即可求得λ的取值范围.
【详解】
（1）由题意可知,1
22n n S +=-.
当2n ≥时,1n n n a S S -=-()1
2
222n n +=---2n =,
当1n =时,11
1122a S +==-2=也满足上式.
所以()*
2
n
n a n =∈N .
（2）解法一：由（1）可知12n n n b b ++=()
*
n ∈N , 即12k
k k b b ++=(
)
*
k ∈N . 当1k =时,1
212b b +=,①
当2k =时,2322b b +=,所以2
322b b --=-,② 当3k =时,3
432b b +=,③
当4k =时,4542b b +=,所以4
542b b --=-,④
……
当1k n =-时,n 为偶数1
12n n n b b --+= 当k n =时,n 为偶数所以1
12n n n b b ----=-
以上1n -个式子相加,得
2341
122222
n n b b -+=-+-+⋅⋅⋅+1
21(2)1(2)
n -⎡⎤--⎣⎦
=
--2233
n =+. 又10b =,所以当n 为偶数时,22
33
n n b =+.
同理,当n 为奇数时,
2341
122222
n n b b -+=-+-+⋅⋅⋅-1
21(2)1(2)
n -⎡⎤--⎣⎦
=
--223
n
-=, 所以,当n 为奇数时,22
33
n n b =-.
解法二：
猜测：当n 为奇数时,
1222222n n n b --=-+⋅⋅⋅+-1
1
1212112n n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
2233n =-. 猜测：当n 为偶数时,
1222222n n n b --=-+⋅⋅⋅-+1
1
1212112n n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
2233n =+. 以下用数学归纳法证明：
1n =,命题成立；
假设当n k =时,命题成立；
当n 为奇数时,122
2222k k k b --=-+⋅⋅⋅+-, 当1n k =+时,n 为偶数,由12k
k k b b ++=(
)
*
k ∈N 得
1221222222k k k k k k b b --+=-=-++⋅⋅⋅-+
故,1n k =+时,命题也成立.
综上可知, 当n 为奇数时22
33
n n b =-
同理,当n 为偶数时,命题仍成立.
（3）由（2）可知()()22
33
2233
n n n
n b n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩
为偶数为奇数
. ①当n 为偶数时,1122332233
n n n n b b +++
=-1
2222n n ++=-113222n +=++, 所以1n n b b +随n 的增大而减小从而当n 为偶数时,1n n b b +的最大值是
2
3
1b b =. ②当n 为奇数时,1122
332233
n n n n b b ++-
=+1
2222n n +-=+113222n +=-+, 所以1n n b b +随n 的增大而增大,且1
1131
12222
n n n b b ++=-<<+. 综上,
1
n
n b b +的最大值是1. 因此,若对于任意的*n ∈N ,不等式1n n b b λ+<恒成立,只需1λ>, 故实数λ的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】
本题考查了累加法求数列通项公式的应用,分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法,数学归纳法证明数列的应用,数列的单调性及参数的取值范围,属于难题.
20．每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X 的分布列及()E X ． 【答案】 (Ⅰ)199
204
. (Ⅱ)见解析. 【解析】
【分析】
(Ⅰ)18人中很幸福的有12人，可以先计算其逆事件，即3人都认为不很幸福的概率，再用1减去3人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量23,3X B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
:，列出分布列，根据公式求出期望即可． 【详解】
(Ⅰ)设事件{A =抽出的3人至少有1人是“很幸福”的}，则A 表示3人都认为不很幸福
()()363185199
111204204
C P A P A C ∴=-=-=-=
(Ⅱ)根据题意，随机变量23,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
:，X 的可能的取值为0,1,2,3
()30
3
110327
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2
1
32121339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；
()2232142339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()3
33283327P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭
所以随机变量X 的分布列为：
所以X 的期望()01232279927
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型． 21．某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.
（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；
（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）1
4
；（2）20. 【解析】 【分析】
（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；
（2）X 的可能取值为：0，10，20，30，1．分别求出X 取各个值时的概率，即可求出分布列和数学期望. 【详解】
（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，
所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率113111
431
4
C C P C C ==． （2）X 的可能取值为：0，10，20，30，1．
()()()11111111
1211121111111111
443434321
110,10,20466
C C C C C C C C P x P x P x C C C C C C C C ========+=, ()()
()1
11111111
1
2211
32111111111432
43211
130,4064
C C C C C C C C C P x P x C C C C C C C +==
==== ∴随机变量X 的分布列为： X 0 10 20 30 1 P
数学期望()0102030402046664
E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题. 22．已知函数()1f x x a x =++-.
（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；
（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),37,x ∈-∞-+∞U （2）40a -≤≤ 【解析】 【分析】
（1）按21,21,x x x ≤-≥-<<进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为()15f x x a x x =++-≤-在[]
0,2x ∈时恒成立，按[]0,1x ∈和(]1,2x ∈分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的a 的范围，再取交集，得到答案. 【详解】
解：（1）当2a =时，()218f x x x x =++-≥+等价于
1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨
≥+⎩或2
218x x x <-⎧⎨--≥+⎩
， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-，
所以不等式的解集为：(][),37,x ∈-∞-+∞U .
（2）依题意即()15f x x a x x =++-≤-在[]
0,2x ∈时恒成立， 当[]0,1x ∈时，15x a x x ++-≤-，即4x a +≤， 所以44a x a --≤≤-对[]0,1x ∈恒成立
∴40
14a a --≤⎧⎨
≤-⎩
，得43a -≤≤；
当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-， 即62x a x +≤-，6226x a x x ≤+≤--
所以636a x x a -⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(]1,2x ∈恒成立，
∴62326a a
-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨
≥-⎩∴40a -≤≤， 综上，40a -≤≤. 【点睛】
本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin a αα=r ，cos ,sin 44b ππαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭r ，其中
02
π
α<<
.
（1）求()
b a a -⋅r r r
的值； （2）若()1,1c =r
，且()
b c +r r P a r ，求α的值.
【答案】（1
）12
-（2）512πα=. 【解析】 【分析】
（1）根据()
2b a a a b a -⋅=⋅-r r r r r r ，由向量a r ，b r 的坐标直接计算即得；（2）先求出b c +r r
，再根据向量平
行的坐标关系解得α. 【详解】
（1）由题，向量()cos ,sin a αα=r ，cos ,sin 44b ππαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭r ，
则(
)
2
b a a a b a -⋅=⋅-r r
r r r r
()22cos cos sin sin cos sin 44ππαααααα⎛⎫⎛
⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
cos 1142π⎛⎫
=--=- ⎪⎝⎭
.
（2）()1,1c =r Q ，cos 1,sin 144b c ππαα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭r r .
()
b c a +r r r Q ∥，
cos 1sin sin 1cos 044ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫∴++-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
整理得sin cos sin cos cos sin 44ππαααααα⎛
⎫
⎛
⎫-=+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，
sin 44ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
02
π
α<<Q ，4
4
4
π
π
π
α∴-
<-
<
，
4
6
π
π
α∴-
=
，即512
π
α=
. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.。