八年级数学下册第1章二次根式12二次根式的性质2教案浙教版

第1章二次根式
1.2二次根式的性质（2）
【教学目标】
知识与技能 理解并掌握二次根式的性质，正确理解），（00b ·≥≥=b a a ab 与）＞，（00b a b a b a ≥=的运算方法，并利用他们进行化简和计算.
过程与方法
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法；
2.了解二次根式的上述两个性质；
3.会用二次根式的性质将简单二次根式化简.
情感、态度与价值观
培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.
【教学重难点】
重点：），（00b ·≥≥=b a a ab 与）＞，（00b a b
a b a ≥=及其应用. 难点：用探究的方法探索）
，（00b ·≥≥=
b a a ab 与）＞，（00b a b a b a ≥=的结论. 【导学过程】
【情景导入】 我们继续来探究二次根式的其他性质：填空（可用计算器计算）
比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？
【新知探究】
探究一、
1.积的算术平方根的性质.
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）．
即）
，（00b ·≥≥=b a a ab 2.商的算术平方根的性质.
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）.
即）＞，（00b a b
a b a ≥=. ［作用］：运用以上式子可以进行简单的二次根式的除法运算.
探究二、
例1 化简：
注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数的因数中，不含有1以外的自然数的平方数
例2 化简
合理应用二次根式的性质，可以帮助我们简化实数的运算.
【随堂练习】
【知识梳理】
这节课你收获了什么?
二次根式的性质，各式子中的字母的取值范围，以及在应用时应该注意的问题，防止出错.
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．元旦期间，灯塔市辽东商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动．某顾客在女装部购买了原价x 元，在男装部购买了原价y 元的服装各一套，优惠前需付700元，而她实际付款580元，根据题意列出的方程组是（ ）
A ．5800.80.85700x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．7000.850.8580x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．7000.80.85700580x y x y +=⎧⎨+=-⎩
D ．7000.80.85580x y x y +=⎧⎨+=⎩
【答案】D 【分析】根据“优惠前需付700元，而她实际付款580元”，列出关于x ，y 的二元一次方程组，即可得到答案．
【详解】根据题意得：7000.80.85580x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 故选D ．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的实际应用，掌握等量关系，列出方程组，是解题的关键．
2+1的值应在（ ）
A ．3和4之间
B ．4和5之间
C ．5和6之间
D ．6和7之间 【答案】B
【解析】解：∵34<<，∴415<<．故选B ．
的取值范围是解题关键．
3．下列数据：75，80，85，85，85，则这组数据的众数和中位数是（ ）
A ．75，80
B ．85，85
C ．80，85
D ．80，75
【答案】B
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数； 将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
【详解】解：此组数据中85出现了3次，出现次数最多，所以此组数据的众数是85；
将此组数据按从小到大依次排列为：75，80，85，85，85，此组数据个数是奇数个，所以此组数据的中位数是85；
故选：B ．
【点睛】
本题为统计题，考查众数与中位数的意义，解题的关键是认真理解题意．
4．若281x kx -+是一个完全平方式，则k 的值为（ ）
A ．9±
B ．18
C ．18±
D ．18-
【答案】C
【分析】根据完全平方公式形式，这里首末两项是x 和9这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和9乘积的2倍．
【详解】解：281x kx -+是一个完全平方式， ∴首末两项是x 和9这两个数的平方，
2918kx x x ∴-=±⨯=±，
解得18k =±．
故选：C ．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积得2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．
5．如果多项式221155abc ab a bc -+
-的一个因式是15ab -，那么另一个因式是（ ） A ．5c b ac -+
B ．5c b ab +-
C ．15c b ab -+
D ．15c b ab +- 【答案】A 【分析】多项式先提取公因式15ab -，提取公因式后剩下的因式即为所求． 【详解】解：22111(5)555
abc ab a bc ab c b ac -+-=--+， 故另一个因式为(5)c b ac -+，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了因式分解-提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．也是解本题的难点，要注意符号．
6．已知21x y =⎧⎨
=⎩，是二元一次方程26ax y +=的一个解，那么a 的值为（ ） A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
【答案】A
【分析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出a 的值.
【详解】将
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程26
ax y
+=
得2a+2=6
解得a=2
故选：A
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 7．下列二次根式是最简二次根式的是（）
A．1
2
B．8C．7D．以上都不是
【答案】C
【解析】试题解析：1
2
被开方数含分母，不是最简二次根式；
822,
=被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
7是最简二次根式，
故选C.
8．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．图中描述了他上学的途中离家距离S（米）与离家时间t（分钟）之间的函数关系．下列说法中正确的个数是（）
（1）修车时间为15分钟；
（2）学校离家的距离为4000米；
（3）到达学校时共用时间为20分钟；
（4）自行车发生故障时离家距离为2000米．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】（1）根据图象中平行于x 轴的那一段的时间即可得出答案；
（2）根据图象的纵轴的最大值即可得出答案；
（3）根据图象的横轴的最大值即可得出答案；
（4）根据图象中10分钟时对应的纵坐标即可判断此时的离家距离．
【详解】（1）根据图象可知平行于x 轴的那一段的时间为15-10=5（分钟），所以修车时间为5分钟，故错误；
（2）根据图象的纵轴的最大值可知学校离家的距离为4000米，故正确；
（3）根据图象的横轴的最大值可知到达学校时共用时间为20分钟，故正确；
（4）根据图象中10分钟时对应的纵坐标为2000，所以自行车发生故障时离家距离为2000米，故正确； 所以正确的有3个．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，读懂函数的图象是解题的关键．
9．某景点普通门票每人50元，20人以上（含20人）的团体票六折优惠，现有一批游客不足20人，但买20人的团体票所花的钱，比各自买普通门票平均每人会便宜至少10元，这批游客至少有（ ） A ．14
B ．15
C ．16
D ．17 【答案】B
【分析】设这批游客有x 人，先求出这批游客通过购买团体票，每人平均所花的钱，再依题意列出不等式求解即可．
【详解】设这批游客有x 人，则通过购买团体票，每人平均所花的钱为
205060%x ⨯⨯元 由题意得205060%5010x ⨯⨯-
≥ 解得15x ≥
经检验，15x ≥是原不等式的解
则这批游客至少有15人
故选：B ．
【点睛】
本题考查了不等式的实际应用，依据题意，正确建立不等式是解题关键．
10．若()()23x x m -+计算的结果中不含关于字母x 的一次项，则m 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C
【分析】根据题意，先将代数式()()23x x m -+通过多项式乘以多项式的方法展开，再将关于x 的二次
项、一次项及常数项分别合并，然后根据不含字母x 的一次项的条件列出关于x 的方程即可解得．
【详解】()()23x x m -+
2662x mx x m =+--
()2662x m x m =+--
∵计算的结果中不含关于字母x 的一次项
∴60m -=
∴6m =
故选：C
【点睛】
本题考查的知识点是多项式乘以多项式的方法，掌握多项式乘法法则，能根据不含一次项的条件列出方程是关键，在去括号时要特别注意符号的准确性．
二、填空题
11．若分式12
x x +-有意义，则x 的取值范围为_____． 【答案】x ≥﹣1且x ≠1．
【解析】根据被开方式是非负数，且分母不等于零列式求解即可.
【详解】解：由题意得：x+1≥0，且x ﹣1≠0，
解得：x≥﹣1且x≠1，
故答案为x≥﹣1且x≠1．
【点睛】
本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使DA 与对角线DB 重合，点A 落在点A′处，折痕为DE ，则A′E 的长是_________．
【答案】32
． 【详解】在Rt △ABD 中，AB=4，AD=3，
∴=，
由折叠的性质可得，△ADE ≌△A'DE ，
∴A'D=AD=3，A'E=AE ，
∴A'B=BD-A'D=5-3=2，
设AE=x ，则A'E=AE=x ，BE=4-x ，
在Rt △A'BE 中，x 2+22=（4-x ）2
解得x=3
2，
即AE=3
2．
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理．
13．当a =_______时,分式212
3a a a +--的值为1.
【答案】-3
【分析】根据题意列出方程，解出a 即可. 【详解】解：根据题意得：212
3a a a +--=1，
即可得到 2123a a a +-=-
解得 ：3a =± 根据212
3a a a +--中 30a -≠ 得到3a ≠
舍弃3a =
所以3a =-
故答案为：-3.
【点睛】
此题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程，关键是根据题意列出分式方程.
14． “x 的3倍减去y 的差是正数”用不等式表示为_________．
【答案】30x y ->
【分析】根据题意列出不等式即可得解.
【详解】根据“x 的3倍减去y 的差是正数”列式得30x y ->，
故答案为：30x y ->.
【点睛】
本题主要考查了不等式的表示，熟练掌握不等式的文字语言及数字表达式是解决本题的关键.
15．已知2,3m n a a ==，则32m n a +=______________．
【答案】1
【分析】根据题意直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵2,3m n a a ==，
∴2332m m n n a a a +⨯=（）（）
3223=⨯=1． 故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，运用相关运算法则正确将原式进行变形是解题的关键．
16．小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图所示为小明离家的路程()y m 与时间(min)t 的图像，则小明回家的速度是每分钟步行________m ．
【答案】1
【分析】先分析出小明家距学校10米，小明从学校步行回家的时间是15-5=10（分），再根据路程、时间、速度的关系即可求得．
【详解】解：通过读图可知：小明家距学校10米，小明从学校步行回家的时间是15-5=10（分），
所以小明回家的速度是每分钟步行10÷10=1（米）．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了函数图象，先得出小明家与学校的距离和回家所需要的时间，再求解．
17．如图，∠MON ＝30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2，B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推，若OA 1＝3，则a 2=_______，a 2019=_______.
【答案】6； 3×1.
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1=6，得出a 3=4a 1，
a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．
【详解】解：如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=3，
∴A2B1=3，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1=6，
a3=4a1，
a4=8a1，
a5=16a1，
以此类推：a2019=1a1=3×1
故答案是：6；3×1．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，
a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键． 三、解答题
18．在正方形网格中建立如图的平面直角坐标系xOy ，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标是(4，4)，请解答下列问题：
（1）将△ABC 向下平移5单位长度，画出平移后的111A B C ∆并写出点A 对应点1A 的坐标； （2）画出111A B C ∆关于y 轴对称的222A B C ∆ 并写出2A 的坐标； （3）ABC S ∆=______．（直接写答案）
（4）在x 轴上求作一点P ，使PA+PB 最小（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析，(4,−1)；（2）见解析，(−4,−1)；（3）2；（4）见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 向下平移5个单位的对应点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点1A 的坐标．
（2）根据网格结构找出点A 1、B 1、C 1关于y 轴对称的点2A 、2B 、2C 的位置，顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点2A 的坐标； （3）根据三角形的面积公式计算即可；
（4）作点B 关于x 轴的对称点B '，连接AB '交x 轴于点P ，则点P 即为所求． 【详解】解：（1）如图所示，111A B C ∆即为所求，点1A 的坐标(4，−1)； （2）如图所示，222A B C ∆即为所求，2A (−4，−1) ； （3）ABC S ∆=
1
2
×2×2=2， 故答案为：2；
（4）如图所示，点P 即为所求．
【点睛】
本题考查了网格中平移图形，对称图形的作图方法，“将军饮马”模型求两点之间线段最短问题，网格中三角形面积的求法，熟练掌握网格中的作图方法是解题的关键，注意熟记图形模型和性质．
19．如图，在平面直角坐标系中，(10,0)A ，(10,4)B ，(0,4)C ，动点P 从点O 出发，以每秒2单位长度的速度沿线段OA AB →运动；动点Q 同时从点O 出发，以每秒1单位长度的速度沿线段OC CB →运动，其中一点先到达终点B 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当04t <<时，已知PQ 10，求t 的值． （2）在整个运动过程中，
①设OPQ △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式． ②当OPQ △的面积为18时，直接写出t 的值．
【答案】（1）2t =（2）① s 与t 函数关系式为()
()()2204445957t t S t t t t t ⎧≤<⎪
=≤<⎨⎪-+≤≤⎩
，②当OPQ △的面积为18
时， 4.5t =或1．
【分析】（1）先根据t 的范围分析出Q 点在OC 上，P 在OA 上，用t 表示出OQ 和OP 的长，根据勾股定理列式求出t 的值；
（2）①分三种情况讨论，根据t 的不同范围，先用t 表示出线段长，再表示出面积；
②根据①所列的式子，令面积等于18，求出符合条件的t 的值． 【详解】（1）当04t <<时，04OQ <<，08OP <<， 即Q 点在OC 上，P 在OA 上时， 设时间为t ，则OQ t =，2OP t =， ∴在Rt OPQ △中，225PQ OQ OP t
=+=， 令510t =.解得2t =，
当2t =
时，10PQ =；
（2）①当04t ≤<时，即Q 在OC 上，P 在OA 上时，12OPQ S OQ OP =⋅△，即2
122S t t t =⋅⋅=；
当45t ≤<时，即Q 在CB 上，P 在OA 上时，2
12OPQ S OP OC =⋅△，即12442
S t t =⨯⨯=；
当57t ≤<时，即Q 在BC 上，P 在AB 上时，
OPQ OABC OCQ QBP OAP S S S S S =---矩形△△△△，
即111
404(4)10(210)(14)(142)222
S t t t t =-⨯⨯--⨯⨯--⨯--，
∴29S t t =-+；
综上，s 与t 函数关系式为()
()()2204445957t t S t t t t t ⎧≤<⎪
=≤<⎨⎪-+≤≤⎩
；
②当04t ≤<时，max 1618S =<， 当45t ≤<时，令418t =，解得9
2
t =
，符合题意， 当57t ≤≤时，令2918t t -+=，解得16t =，23t =（舍去）， 综上，当OPQ △的面积为18时， 4.5t =或1． 【点睛】
本题考查动点问题，解题的关键是根据几何知识，用时间t 表示长线段长进而表示出三角形的面积，需要
注意根据点的运动过程进行分类讨论．
20．如图，在ABC ∆中，40B ∠=︒，65C =︒∠，AE 、AD 分别是中线和高，//DF AB ．
（1）求AFD ∠的度数；
（2）若6AB =，4=AD ，5CD =ABE ∆的面积． 【答案】（1）105︒；（2）35
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠FDC 的度数，再根据三角形外角定理求出∠AFD 即可； （2）根据勾股定理求出BD 的长，从而求出BC ，再根据中线求出BE ，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵//DF AB ， ∴FDC B ∠=∠， ∵40B ∠=︒， ∴40FDC ∠=︒，
∵AFD FDC C ∠=∠+∠，65C =︒∠， ∴4065105AFD ∠=︒+︒=︒； （2）∵AD 是高， ∴90ADB ∠=︒，
∴在Rt ABD ∆中，由勾股定理得：22226425BD AB AD =--=
∴25535BC BD CD =+== ∵AE 是中线， ∴35
22
BC BE =
=
， ∴1135435222
ABE S BE AD ∆=⋅=⨯=． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，勾股定理等知识，但难度不大，认真分析条件即可． 21．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF ⊥EC ，且EF=EC ，连接AF ．过点F 作FN 垂直
于BA的延长线于点N．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．猜想BD，AF，DM三条线段的等量关系，并证明．
【答案】（1）∠EAF=135°；（2）BD= AF+2DM，证明见解析
【分析】（1）证明△EBC≌△FNE，根据全等三角形的对应边相等和正方形的临边相等可证明NA=NF，由此可证△NAF为等腰直角三角形，可求得∠EAF；
（2）过点F作FG∥AB交BD于点G，证明四边形ABGF为平行四边形和△FGM≌△CDM，即可证得结论．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，FN垂直于BA的延长线于点N，
∴∠B=∠N=∠CEF=90°，BC=AB=CD，
∴∠NEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠NEF=∠ECB，
∵EC=EF，
∴△EBC≌△FNE，
∴FN=BE, EN=BC ,
∴EN=AB，
∴EN﹣AE=AB﹣AE
∴AN=BE，
∴FN=AN，
∵FN⊥AB，
∴∠NAF=45°，
∴∠EAF=135°．
（2）三条线段的等量关系是BD=AF+2DM．
证明：过点F作FG∥AB交BD于点G．
由（1）可知∠EAF=135°，
∵∠ABD=45°
∴∠EAF=135°+∠ABD=180°，
∴AF∥BG，
∵FG∥AB，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∴AF=BG，FG=AB，
∵AB=CD，
∴FG=CD，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠FGM=∠CDM，
∵∠FMG=∠CMD
∴△FGM≌△CDM，
∴GM=DM，
∴DG=2DM，
∴BD=BG+DG=AF+2DM．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线的性质．（1）中证明三角形全等属于“一线三等角（三个直角）”模型，熟识模型是解决此题的关键；（2）能正确作出辅助线是解题关键．
22．如图，已知ABC．
A B C；
（1）画ABC关于x轴对称的'''
最短．
（2）在y轴上画出点D，使AD CD
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作出A 、C 两点关于x 轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）作点A 关于y 轴的对称点A ''，连接A C ''，交y 轴于点D ，点D 即为所求． 【详解】（1）如图所示：
（2）①作点A 关于y 轴的对称点A ''， ②连接A C ''，交y 轴于点D ， 点D 即为所求． 【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点的位置是解题关键． 23．如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒．
（1）根据要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹：作边AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点B ，连接AD ；
（2）写出图中一对全等的三角形，和一个等腰三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）△ACD ≌△AED 或△ACD ≌△BED 或△AED ≌△BED ，△ABD 为等腰
三角形
【解析】（1）由题意直接根据垂直平分线的作图方法按照题意进行作图即可； （2）根据全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义进行分析即可. 【详解】解：（1）作图如图所示：
（2）根据全等三角形的性质可知：
图中有△ACD ≌△AED 或△ACD ≌△BED 或△AED ≌△BED ， 根据等腰三角形的定义可知：△ABD 为等腰三角形. 【点睛】
本题考查的是作图-基本作图以及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的作法和全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义是解答此题的关键． 24．如图（1），方格图中每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 都是格点．
（1）画出ABC 关于直线MN 对称的111A B C △； （2）写出1AA 的长度；
（3）如图（2），A ，C 是直线MN 同侧固定的点，B '是直线MN 上的一个动点，在直线MN 上画出点B '，使AB B C ''+最小．
【答案】（1）详见解析；（2）10；（3）详见解析.
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案. （2）利用网格直接得出AA 1的长度.
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出点B '位置. 【详解】解：（1）如图（1）所示：111A B C △，即为所求； （2）1AA 的长度为：10；
（3）如图（2）所示：点B '即为所求，此时AB B C ''+最小．
【点睛】
本题考查坐标系中轴对称图形，关键在于熟悉相关基本概念作图.
25．现有3张边长为a 的正方形纸片（A 类），5张边长为(),a b a b >的矩形纸片（B 类），5张边长为b 的正方形纸片（C 类）．
我们知道：多项式乘法的结果可以利用图形的面积表示． 例如：()(2)a b a b ++就能用图①或图②的面积表示．
（1）请你写出图③所表示的一个等式：_______________；
（2）如果要拼一个长为()3a b +，宽为()a b +的长方形，则需要A 类纸片_____张，需要B 类纸片_____张，需要C 类纸片_____张；
（3）从这13张纸片中取出若干张，每类纸片至少取出一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无缝隙，无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以是_______（用含,a b 的式子表示）． 【答案】（1）22(2)(2)522a b a b a ab b ++=++；（2）1，4，3；（3）2+a b 【分析】（1）从整体和部分两方面表示该长方形的面积即可；
（2）根据拼成前后长方形的面积不变可先算出该长方形的面积再确定A 类B 类C 类纸片的张数； （3）由A 类B 类C 类纸片的张数及面积可知构成的正方形的面积最大为2244a ab b ++，利用完全平方公式可得边长.
【详解】解：（1）从整体表示该图形面积为(2)(2)a b a b ++，从部分表示该图形面积为22252a ab b ++，所以可得22(2)(2)522a b a b a ab b ++=++；
（2）该长方形的面积为()()2
2
433a a b a a b b b +++=+，A 类纸片的面积为2a ，B 类纸片的面积为ab ，
C 类纸片的面积为2b ，所以需要A 类纸片1张，需要B 类纸片4张，需要C 类纸片3张；
（3）A 类纸片的面积为2a ，有3张；B 类纸片的面积为ab ，有5张；C 类纸片的面积为2b ，有5张，
所以能构成的正方形的面积最大为2244a ab b ++，因为()2
2224a ab b +=++a b ，所以拼成的正方形的
边长最长可以是2+a b . 【点睛】
本题考查了整式乘法的图形表示，灵活将图形与代数式相结合是解题的关键.
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知x 2+2（m ﹣1）x+9是一个完全平方式，则m 的值为（ ）
A ．4
B ．4或﹣2
C ．±4
D ．﹣2
【答案】B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．
【详解】∵x 2+2（m ﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴2（m ﹣1）＝±6，
解得：m ＝4或m ＝﹣2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
2．函数2y ax b =+-的图象如图所示，则函数y ax b =--的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象的性质确定a 和b 的符号，进而解答即可．
【详解】解：由函数y=ax+b-2的图象可得：a ＜0，b-2=0，
∴a ＜0，b=2＞0，
所以函数y=-ax-b 的大致图象经过第一、四、三象限，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，关键是根据一次函数的图象的性质确定a 和b 的符号．
3．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过O 点作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若BE=3，CF=2，则线段EF 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】A 【分析】利用角平分线性质结合平行线性质，可以证出∠EBO=∠BOE ，∠COF=∠OCF ，由等角对等边可得线段相等，等量代换即可得．
【详解】∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，
∴∠ABO=∠CBO ，∠ACO=∠BCO ，
又∵EF ∥BC ，
∴∠CBO=∠BOE ，∠BCO=∠COF ，
∴∠EBO=∠BOE ， ∠OCF=∠COF ，
∴BE=EO ，FO=CF ，
∴EF=EO+FO=BE+CF=3+2=5，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，线段相等的等量代换，熟记图形的性质是解题的关键．
4．下列条件中，不能．．
判断一个三角形是直角三角形的是 ( ) A ．三个角的比是2∶3∶5
B ．三条边,,a b c 满足关系222a c b =-
C ．三条边的比是2∶4∶5
D ．三边长为1，2，3【答案】C
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A 、三个角的比为2：3：5，设最小的角为2x ，则2x+3x+5x=180°，x=18°，5x=90°，能组成直角三角形，故不符合题意；
B 、三条边满足关系a 2=c 2-b 2，能组成直角三角形，故不符合题意；
C 、三条边的比为2：4：5，22+42≠52，不能组成直角三角形，故正确；
D 、12+32=22，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A ．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B ．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C ．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D ．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
【答案】A
【分析】根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±
1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．
【详解】A 、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B 、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C 、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D 、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．
6．反映东方学校六年级各班的人数，选用（ ）统计图比较好．
A ．折线
B ．条形
C ．扇形
D ．无法判断 【答案】B
【分析】条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，从条形统计图中很容易看出各种数量的多少．
【详解】反映东方学校六年级各班的人数，选用条形统计图比较好．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了统计图的选择，条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，从条形统计图中很容易看出各种数量的多少；扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数，可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且还能够清楚的表示出数量增减变化的情况．
7．下列代数运算正确的是（ ）
A ．()235x x =
B ．()2222x x =
C ．325x x x ⋅=
D ．
【答案】C
【解析】试题分析：根据同底幂的乘法，幂的乘方和积运算的乘方法则以及完全平方公式逐一计算作出判
断：
A ．()233265x x x x ⨯==≠，选项错误；
B ．()2
22242x x x =≠，选项错误； C ．32325x x x x +⋅== ，选项正确；
D ．()2
221211x x x x +=++≠+，选项错误. 故选C.
考点：1.同底幂的乘法；2.幂的乘方和积运算的乘方；3.完全平方公式.
8．把分式3b ab b +约分得( ) A ．3b + B ．3a + C ．13b + D ．13a + 【答案】D
【分析】首先提取分母的公因式，然后约去分子分母的公因式即可
【详解】
13(3)3b b ab b b a a ==+++ ，故答案选D 【点睛】
此题主要考察了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式
9．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念逐一进行分析即可得.
【详解】A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
D 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意，
故选C.
【点睛】
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
10．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A ．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B ．此图案不是轴对称图形，符合题意；
C ．此图案是轴对称图形，不符合题意；
D ．此图案是轴对称图形，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二、填空题
11．定义运算“※”：a ※b ＝()()a a b a b b a b b a
⎧⎪⎪-⎨⎪⎪-⎩＞＜，若5※x ＝2，则x 的值为___． 【答案】2.5或1．
【详解】解：当5>x 时，5※x=2可化为
525x =-，解得x=2.5，经检验x=2.5是原分式方程的解； 当5<x ，5※x=2可化为
25x x =-，解得x=1，经检验x=1是原分式方程的解． 故答案为：2.5或1．
【点睛】
本题考查了新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键，解题时注意分类讨论思想．
12．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 ．
【答案】1
【解析】试题分析：因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论： 当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为1；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去．
∴等腰三角形的周长为1．
13．正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF=AE,则BM 的长为____． 【答案】52或125。