高考数学总复习 高效课时作业52 文 试题

2021年高考数学总复习 高效课时作业5-2 文 新人教版
一、选择题
1．(2021年高三教学质量测评)正项组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 6·a 15
的最大值为( )
A ．25
B ．50
C ．100
D ．不存在
解析：S 20＝20〔a 1＋a 20〕
2
＝10(a 1＋a 20)＝100，
故a 1＋a 20＝10，∴a 6·a 15≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 1522＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a 1＋a 2022
＝25.
答案：A
2．(2021年){a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n
项和，n ∈N *
，那么S 10的值是( )
A ．－110
B ．－90
C ．90
D ．110 解析：∵a 72
＝a 3a 9 ∴(a 1－12)2
＝(a 1－4)(a 1－16) ∴a 1＝20 ∴S 10＝10a 1＋10〔10－1〕
2d
＝10×20＋45×(－2)＝110. 答案：D
3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，假设a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，那么k ＝( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
解析：S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2 ＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d
＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2＋2(2k ＋1)＝24 ∴k ＝5. 答案：D
4．(2021年)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．假设S 10＝S 11，那么a 1＝( )
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
解析：∵S 10＝S 11，∴a 11＝0. ∴a 1＋10d ＝0. ∴a 1＝－10d ＝20. 答案：B
5．(2021年)?九章算术?“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等
差数列，上面4节的容积一共3升，下面3节的容积一共4升，那么第5节的容积为( ) A ．1升 B.6766升 C.47
44
升 D.
3733升 解析：设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩
⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1
＝13
22，d ＝7
66，
那么a 5
＝6766，故第5节的容积为6766升，应选B.
答案：B 二、填空题
6．(2021年)在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，那么a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________．
解析：a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：74
7．(2021年){a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *
.假设a 3＝16，S 20＝20，那么S 10的值
是________．
解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，那么
⎩
⎪⎨⎪
⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×〔20－1〕
2×d ＝20， 解得a 1＝20，d ＝－2，
∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.
答案：110
8．(2021年)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *
)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，那么S 5＝________．
解析：d ＝
a 4－a 1
4－1
＝2
S 5＝5a 1＋
5×4
2
d ＝25. 答案：25
9．(2021年)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．假设a 1＝1，a k ＋a 4＝0，那么k ＝
________．
解析：设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1，得9×1＋
9×82d ＝4×1＋4×3
2
d ，所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋〔k －1〕×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋〔4－1〕×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，即k ＝10.
答案：10 三、解答题
10．(2021年)等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)假设数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，那么a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1， a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.
解得d ＝－2.
从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝
n [1＋〔3－2n 〕]
2
＝2n －n 2
.
进而由S k ＝－35可得2k －k 2
＝－35， 即k 2
－2k －35＝0，解得k ＝7或者k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求结果．
11．设S n 是数列{a n }的前n 项和且n ∈N *
，所有项a n >0，且S n ＝14a n 2＋12a n －34
.求数列{a n }的通
项公式．
解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 12＋12a 1－3
4，解得a 1＝3或者a 1＝－1(舍去)．
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a n 2＋2a n －3)－14(a n －12
＋2a n －1－3)．
∴4a n ＝a n 2
－a n －12
＋2a n －2a n －1. ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)．
∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.
12．(2021年)等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
a n 2n －1的前n 项和．
解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由条件可得
⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n －1的前n 项和为S n ，
即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n
2
n －1，故
S 1＝1，S n 2
＝a 12
＋a 24
＋…＋a n
2
n ，
所以，当n >1时，
S n
2
＝a 1＋
a 2－a 1
2
＋…＋
a n －a n －12
n －1
－a n
2
n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
4＋…＋12n －1－2－n 2n
＝1－⎝
⎛
⎭⎪⎫1－
12n －1－2－n 2n ＝n 2
n . 所以S n ＝n
2
n －1. 综上，数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n
2n －1.。