高中数学人教A版选修1-1第1章1-4全称量词与存在量词课堂练习

高中数学人教A版选修1-1 第一章常用逻辑用语达
1.4 全称量词与存在量词
课堂练习（1）
1.下列命题中，不是全称命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
【解析】选D.A，B，C中都含全称量词，D中含“存在”，为存在量词，所以不是全称命题.
2.下列全称命题为真命题的是( )
A.所有的质数是奇数
B.∀x∈R，x2+1≥1
C.对每一个无理数x，x2也是无理数
D.所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
【解析】选B.2是质数，但2不是奇数，所以A是假命题；x2+1≥1⇔x2≥0，显然∀x∈R，x2≥0，故B为真命题，C，D均为假命题.
3.下列语句是特称命题的是( )
A.整数n是2和7的倍数
B.存在整数n0，使n0能被11整除
C.若4x-3=0，则x=
D.∀x∈M，p(x)成立
【解析】选B.B中含存在量词“存在”.
4.已知命题：“存在x0∈，使+2x0+a≥0”为真命题，则a的取值范围是________.
【解析】若存在x0∈，使+2x0+a≥0，
则等价为存在x0∈，使+2x0≥-a，
当存在x0∈时，设y=+2x0=(x0+1)2-1，则3≤y≤8，
所以要使x2+2x≥-a，则8≥-a，即a≥-8.
答案：[-8，+∞)
5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1)∃x0，x0-2≤0.
(2)三角形两边之和大于第三边.
(3)有些整数是偶数.
【解析】(1)特称命题.x0=1时，x0-2=-1≤0，故特称命题“∃x0，x0-2≤0”是真命题.
(2)全称命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)特称命题.2是整数，2也是偶数.故特称命题“有些整数是偶数”是真命题.
课堂练习（2）
1.若命题p：∃x0>0，-3x0+2>0，则命题p为( )
A.∃x0>0，-3x0+2≤0
B.∃x0≤0，-3x0+2≤0
C.∀x>0，x2-3x+2≤0
D.∀x≤0，x2-3x+2≤0
【解析】选C.命题p是一个特称命题，p为：∀x>0，x2-3x+2≤0.
2.已知集合A={x|x>0},则命题“任意x∈A,x2-|x|>0”的否定是( )
A.任意x∈A,x2-|x|≤0
B.任意x∉A,x2-|x|≤0
C.存在x0∉A,-|x0|>0
D.存在x0∈A,-|x0|≤0
【解析】选D.因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“任意x∈A,x2-|x|>0”的否定是存在x0∈A,-|x0|≤0.
3.下列命题的否定为假命题的是( )
A.∃x0∈R，+2x0+2≤0
B.任意一个四边形的四个顶点共圆
C.所有能被3整除的整数都是奇数
D.∀x∈R，sin2x+cos2x=1
【解析】选D.因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，原命题为假，则其否定为真命题；根据圆内接四边形的定义，可得任意一个四边形的四个顶点共圆为假命题，其否定为真命题；所有能被3整除的整数都是奇数，如整数6，它是偶数，故原命题为假，其否定为真命题；∀x∈R，sin2x+cos2x=1正确，所以D的否定是假命题.
4.若命题p“∃x0∈R，使得+mx0+2m-3<0”为假命题，则实数m的取值范围是______________. 【解析】因为命题p：“∃x0∈R，使得+mx0+2m-3<0”为假命题，
所以p：“∀x∈R，x2+mx+2m-3≥0”为真命题，
所以Δ≤0，即m2-4(2m-3)≤0，解得2≤m≤6.
所以实数m的取值范围是.
答案：
5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定.
(1)p：对任意的x∈R，cosx≤1都成立.
(2)q：∃x0∈R，+1>3x0.
(3)r：所有的正方形都是矩形.
(4)s：有些三角形是锐角三角形.
【解析】命题(1)(3)为全称命题，命题(2)(4)为特称命题.
(1)由于命题中含全称量词“任意”，所以为全称命题，因此其否定为特称命题，所以p：∃x0∈R，使cosx0>1成立.
(2)由于“∃x0∈R”表示至少存在实数中的一个x0，即命题中含有存在量词“至少存在一个”，为特称命题，因此其否定为q：∀x∈R，x2+1≤3x.
(3)为全称命题，把全称量词改为存在量词，并把结论否定，故r：至少存在一个正方形不是矩形.
(4)为特称命题，把存在量词改为全称量词，并把结论否定，故s：所有的三角形都不是锐角三角形.。