浙江省丽水市缙云县缙云实验中学八年级期中考试数学试题

2022-2023学年第二学期浙江省丽水市缙云县缙云实验中学
八年级期中考试数学试题
考生须知：
1.本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．
2.答题前，在答题卡的指定位置上填写有关信息．
3.必须在答题卡的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．
4.考试结束后，听从监考老师指令，上交答题卡．
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 的结果是（）
2. 菱形具有而矩形不一定有的性质是（）
A. 对角相等
B. 邻角互补
C. 对角线互相平分
D. 四条边都相等
3. 关于x的一元二次方程220
-+=有两个相等的实数根，则k的值为
x x k
（）
A. 1
B. 1-
C. 2
D. 2-
4. 宿州学院排球队有12名队员，队员的年龄情况如图所示，那么球队队员年龄的众数、中位数分别是（）
A. 19,19
B. 19,20
C. 20,20
D. 22,19
5. 用反证法证明“a＞b”时应先假设（ ）
A. a≤b
B. a＜b
C. a＝b
D. a≠b
m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是
6.
（）
A. B. - C. 2
- D. 2-
7. 天猫某店铺第2季度的总销售额为331万元，其中4月份的销售额是100万元，设5，6月份的平均月增长率为x ，则可列方程为（ ）
A. 100（1＋x ）2＝331
B. 100＋100（1＋x ）2＝331
C. 100＋100（1＋x ）＋100（1＋x ）2＝331
D. 100＋100x ＋100（1＋x ）2＝3318. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边CD 上一点，将ADE 沿AE 折叠至AD E ' ，AD '与CE 交于点F ，若52,20∠=︒∠=︒B DAE ，则FED '∠的大小为（ ）
A. 26︒
B. 36︒
C. 46︒
D. 56︒
9. a b =--则（ ）A. 0a b += B. 0a b -= C. 0ab = D. 220a b +=10. 如图，两个全等的矩形AEFG ，矩形ABCD 如图所示放置. CD 所在直线与,AE GF
分别交于点,H M .若3,AB BC CH MH ===.则线段MH 的长度是（ ）
A. 3
2 B. C. D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．
12. 方程(2)2x x x -=-的解为____________
13. 某校运动会入场式的得分是由各班入场时，评委从服装统一，动作整齐和口号响亮这三项分别给分，最后按3:3:4的比例计算所得，若801班在服装，动作，口号分别是90分、92分和86分，则该班的入场式得分是__________分．
14. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连结BE ，若6AE =，5DE =，90BEC ∠=︒，则BE =______．
15. 对于代数式2ax bx c ++（0a ≠，a ，b ，c 为常数）①若240b ac -=，则20ax bx c ++=有两个相等的实数根；②存在三个实数m n s ≠≠，使得222am bm c an bn c as bs c ++=++=++；③若220ax bx c +++=与方程()()230+-=x x 的解相同，则422a b c -+=-，以上说法正确的是___________．16. 如图，矩形ABCD 中，
AB =4BC =，连结对角线AC ，E 为AC 的中点，F 为AB 边上的动点连结EF ，作点C 关于EF 的对称点C '，连结C E '，
C F '，若EFC ' 与ACF △的重叠部分（EFG ）面积等于ACF △的14
，则BF =______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17. 解方程
（1）2410
x x -+=（2）22(3)40
x x --=18. 计算
（12
-
（2）
（3+
（4）已知2m =+，2n =，求22m mn n -+的值．
19. 某校对甲，乙两人的射击成绩进行了测试，测试成绩如表：第一次
第二次第三次第四次第五次甲命中环数
78889乙命中环数1061068
（1）分别求出甲，乙两人射击成绩的平均数和方差；
（2）现要从甲，乙两人中选拔一人参加比赛，你认为挑选哪一位较合适，请说明理由．
20. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，连接AF CE ，．
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2）若608AOB AC ∠=︒=，，求四边形AFCE 的面积．
21. 某租赁公司拥有汽车 100 辆．据统计，每辆车的月租金为 4000 元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加 100 元，未租出的车将增加 1 辆．租出的车每辆每月的维护费为 500 元，未租出的车每辆每月只需维护费 100 元．
（1）当每辆车的月租金为 4600 元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣 除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过 7200 元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到 40.4 万元？
22. 已知方程x 2+bx +a ＝0①，和方程ax 2+bx +1＝0②（a ≠0）．
（1）若方程①的根为x 1＝2，x 2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x ＝r 时，求证x ＝1r
是方程②的根；（3）若a 2b +b ＝0，方程①的根是m 与n ，方程②的根是s 和t ，求ms nt
的值．23. 如图1，一张矩形纸片ABCD ，其中8cm AD =，6cm AB =，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C '的位置，BC '交AD 于点G ．
（1）求证：BG DG =；
（2）求'C G 的长；
（3）如图2，再折叠一次，使点D 与A 重合，折痕EN 交AD 于M ，求EM 的长．
2022-2023学年第二学期浙江省丽水市缙云县缙云实验中学
八年级期中考试数学试题
考生须知：
1.本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．
2.答题前，在答题卡的指定位置上填写有关信息．
3.必须在答题卡的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．
4.考试结束后，听从监考老师指令，上交答题卡．
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
【1题答案】
【答案】B
【解析】
故选B.
考点：二次根式的化简.
视频
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可．
【详解】解：A、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角相等，所以本选项不符合题意；
B、因为矩形和菱形都是平行四边形，邻角互补，所以本选项不符合题意；
C、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线互相平分，所以本选项不符合题意；
D、因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不相等，所以本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．
【3题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根列方程求解即可.
【详解】由题意得∆=0，
∴4-4k=0，
解得k=1，
故选：A.
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况求未知数的值，正确掌握一元二次方程的根的三种情况：方程有两个不相等的实数根时∆>0，方程有两个相等的实数根时∆=0，方程没有实数根时∆<0.
【4题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据条形统计图可以的这组数据的中位数和众数，本题得以解决．
【详解】由条形统计图可知，
某支青年排球队12名队员年龄的众数是19，中位数是19，
故选A．
【点睛】本题考查中位数和众数的定义，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的中位数和众数．
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】熟记反证法的步骤，直接得出答案即可，要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．
【详解】用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．
故选A．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
【6题答案】
【答案】A
【解析】
m 、n 的值，再用平方差公式计算（2m +n ）（2m ﹣n ），最后再再代入求值即可．
【详解】解：∵12，
m =1，小数部分为n ，
∴（2m +n ）（2m ﹣n ）
=22
4m n -
=)2
2411
⨯-
=()431--+
=故选：A ．【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的计算及平方差公式，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】设5，6月份的平均月增长率为x ，则5月、5月的销售额分别为100（1＋x ）和100（1＋x ）2，最后根据第2季度的总销售额为331万元即可列出方程．
【详解】解：设5，6月份的平均月增长率为x ，则5月、6月的销售额分别为100（1＋x ）和100（1＋x ）2
则根据题意有：100＋100（1＋x ）＋100（1＋x ）2＝331．
故答案为C ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，根据题意表示出5、6两月的销售额是解答本题的关键．
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：
∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°，∴∠FED′=108°-72°=36°；
故选：B ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF 和∠AED′是解决问题的关键．
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a 与b 中至少有一个为0，进而分析得出答案即可．
【详解】解:∵a b =--，
∴a-b=-a-b ， 或b-a=-a-b
∴a= -a ，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0ab =．
故选：C ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
【10题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】作HK FG ⊥于K .则四边形EFKH 是矩形．先证明HKM ADH ∆≅∆，再证明AH=MH=CH ．设CH=AH=x ，利用勾股定理列方程，再求解即可．
【详解】解：作HK FG ⊥于K .则四边形EFKH 是矩形，
∵90MHK AHD ∠+∠=︒，90AHD DAH ∠+∠=︒，
∴MHK DAH ∠=∠，
∵,HKM ADH KH EF AD ∠=∠==，
∴HKM ADH ∆≅∆，
∴MH AH =，
∵CH MH =，
∴AH CH =，设AH CH x ==，
在Rt ADH ∆中，()2
233x x =+-，解得2x =，
∴2MH =，
故答案为D ．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构建直角三角形并利用勾股定理列方程是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共24分）
【11题答案】
【答案】3
x ≥【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解．
【详解】解：由题意得：30x -≥，
∴3x ≥；
故答案为3x ≥．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【12题答案】
【答案】12x =，21
x =
【解析】
【分析】首先移项进而提取公因式(2)x -，进而分解因式求出即可．
【详解】解：(2)2
x x x -=-(2)(2)0x x x ---=，
(2)(1)0x x --=，
解得：12x =，21x =．
故答案为：12x =，21x =．
【点睛】此题主要考查了分解因式法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
【13题答案】
【答案】89
【解析】
【分析】利用加权平均数公式计算即可．
【详解】该班的入场式得分=33490+92+86=27+27.6+34.4=89101010
⨯
⨯⨯．故答案为：89．
【点睛】本题考查加权平均数问题，掌握加权平均数公式，会利用加权平均数计算解决问题是关键．
【14题答案】
【答案】8
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求出BC ，根据线段中点的定义求出EC ，根据勾股定理计算即，得到答案．
【详解】解：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，AE =6，DE =5，
∴EC =AE =6，BC =2DE =10，
在Rt △BEC 中，BE =8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【15题答案】
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程2ax bx c k ++= (k 为常数)最多有两个解判断②；将方程()()230+-=x x 的解代入220ax bx c +++=即可判断③．
【详解】解：①∵240
b a
c ∆=-=∴方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根．
∴①正确：
②∵一元二次方程2ax bx c k ++=(k 为常数)最多有两个解，
∴②错误；
③方程()()230+-=x x 的解为1223x x =-=，，
将2x =-代入220ax bx c +++=得2(2)(2)20a b c ⋅-+⋅-++=，
∴422a b c -+=-，
∴③正确．
综上，正确的有①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-：
当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．
【16题答案】
【答案】或+
【解析】
【分析】分两种情形，①如图1中，当点F 在线段AB 上时，连接C E '，C A '，作EM BC ⊥于M ，EN PC ⊥'于N ．只要证明四边形AFEC '是平行四边形即可解决问题；②如图2中，当点F 在线段AB 的延长线上时，同法可求．
【详解】解：如图1中，当点F 在线段AB 上时，连接C E '，C A '，作EM CF
⊥
于M ，EN FC ⊥'于N ．
EFC ∆' 与ACF ∆的重叠部分()EFG ∆面积等于ACF ∆的14
，EG AG ∴=，
EFC EFC ∠=∠' ，EM BC ⊥于M ，EN FC ⊥'于N ，
EM EN ∴=，∴12212
EFC
FEG FC EM S EC S EG FG EN ∆∆⋅===⋅，2FC FG ∴=，
FC FC '= ，
FG C G ∴='，
AG GE = ，
∴四边形AFEC '
是平行四边形，
1122
EC AF EC AC ∴'=====
FB ∴=；
如图2中，点F 在线段BA 的延长线上时，
同法可得AF EC EC ='==
BF ∴=
故答案为或+．
【点睛】本题属于中考填空题中的综合题．考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
【17题答案】
【答案】（1）1222x x =+=；（2）123,1x x =-=.
【解析】
【分析】（1）用配方法，即可求解；
（2）利用平方差公式，因式分解，即可求解.
【详解】（1） 原方程变形，得：241x x -=-，
配方得：24414x x -+=-+，
即， 2(2)3x -=，
∴2x -=，
∴1222x x =+=；
（2） 原方程因式分解，得：(32)(32)0x x x x ---+=，
即(3)(33)0x x ---=，
∴30x --=或330x -=，
∴ 123,1x x =-=.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，配方法和因式分解法是解一元二次方程的比较好的方法.
【18题答案】
【答案】（1）1-
（2）6
-
（3
1 2 -
（4）17
【解析】
【分析】（1）原式利用二次根式性质及平方根定义计算即可求出值；（2）原式利用二次根式性质计算即可求出值；
（3）原式分母有理化及二次根式性质计算即可求出值；
（4）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【小问1详解】
2
-
5
4
=-
1
=-；
【小问2详解】
解：
=
=
6
=-；
【小问3详解】
+
=
=+
=+
12=
-；【小问4详解】
解：∵2m =+，2n =，
∴22m n +=+-=)22541mn =
+-=-=，
则原式()(2233120317m n mn =+-=-⨯=-=．
【点睛】此题考查了二次根式的化简与性质，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【19题答案】
【答案】（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，甲的方差是0.4，乙的方差是
3.2；
（2）推荐甲参加比赛较合适．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可得甲，乙两人射击成绩的平均数和方差；
（2）根据甲、乙两名运动员的方差，即可判断出荐谁参加省比赛更合适．
【小问1详解】
解：甲的平均成绩是：()9888758++++÷=，
乙的平均成绩是：()106106858++++÷=，甲的方差是：222221(98)(88)(88)(88)(78)0.45
⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦，乙的方差是：222221(108)(68)(108)(68)(88) 3.25⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦；【小问2详解】
解：推荐甲参加比赛较合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的五次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛较合适．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【20题答案】
【答案】（1）见解析
（2）四边形AFCE
的面积为【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得出AB CD =，AB CD ∥，证明()AAS ABE CDF ≌△△，由全等三角形的性质得出AE CF =，由平行四边形的判定可得出结论；
（2
）由直角三角形的性质得出2OE AE ==，，则利用三角形面积公式可求出AEO S ，则可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，
∴AE CF ∥，90AEB DFC ∠=∠=︒，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB CD =，AB CD ∥，
∴ABE FDC ∠=∠，
在ABE 和CDF 中，ABE FDC AEB DFC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()AAS ABE CDF ≌△△，
∴AE CF =，
∴四边形AECF 为平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴4AO OC ==，
∵60AOB ∠=︒，
∴30OAE ∠=︒，
∴2OE AE ==，，
∴12
AEO S AE OE =⋅=△，
∴四边形AECF 的面积为4AEO S =△．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键．
【21题答案】
【答案】（1）38.48万元；（2）月租金定为5000元．
【解析】
【分析】（1）由月租金比全部租出多4600-4000=600元，得出未租出6辆车，租出94辆车，进一步算得租赁公司的月收益即可；
（2）设上涨x 个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元列出方程解答即可．
【详解】（1）因为月租金4600元，未租出6辆车，租出94辆车；
月收益：94×（4600﹣500）﹣6×100=384800（元），即38.48万元．
（2）设上涨x 个100元，由题意得（4000+100x ﹣500）（100﹣x ）﹣100x=404000.整理得：x 2﹣64x+540=0解得：x 1=54，x 2=10，
因为规定每辆车月租金不能超过7200元，所以取x=10，4000+10×100=5000．答：月租金定为5000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的难点在于根据题意列出一元二次方程.
【22题答案】
【答案】（1）x 1＝13
，x 2＝12；（2）见解析；（3）1【解析】
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a 、b 的值，即可得到方程②，然后利
用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r 2+br +a =0，两边同除r 2得2+a b r r
+1＝0，即可证得x =1r
是方程②的根；（3）根据题意b =0，根据根与系数的关系得到m +n =0，s +t =0，从而得到m =-n ，s =-t ，即可得到ms =nt ，进而求得ms nt
=1．【详解】解：（1）∵方程x 2+bx +a ＝0的根为x 1＝2，x 2＝3，
∴﹣b ＝2+3＝5，a ＝2×3＝6，
∴方程②为6x 2﹣5x +1＝0，
（3x ﹣1）（2x ﹣1）＝0，
∴方程②的根为x 1＝13
，x 2＝12；（2）∵方程①有一根为x ＝r ，
∴r 2+br +a ＝0，
两边同除r 2得
2+a b r r +1＝0，∴1r
是方程ax 2+bx +1＝0的根，∴x ＝1r
是方程②的根；（3）∵a 2b +b ＝0，
∴b ＝0，
∵方程①的根是m 与n ，方程②的根是s 和t ，
∴m +n ＝0，mn ＝a ，s +t ＝0，st ＝1a ，
∴a ＝1st
＝mn ，m ＝﹣n ，s ＝﹣t ，∴ms ＝nt ，∴ms nt
＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b c x x x x a a
+=-=
．【23题答案】
【答案】（1）见解析 （2）7cm 4
C G '= （3）7cm 6
EM =【解析】
【分析】（1）由折叠性质知A C '∠=∠，AB C D '=，再利用“AAS ”证GAB GC D '≅ ，然后根据全等三角形的性质即可得BG DG =；
（2）设cm C G x '=，由全等三角形的性质知(8)cm GD GB x ==-，再在Rt GC D ' 中，利用勾股定理即可得；
（3）先求出10cm BD =，再证MN 是ABD △的中位线得15cm 2DN BD ==，3cm MN =，证EN ED =，设cm EM y =，则(3)cm ED EN y ==+，由勾股定理得222ED EM DM =+，即222(3)4y y +=+，解之可得答案．
【小问1详解】
证明： 四边形ABCD 是矩形，8cm AD =，6cm AB =，
90,6cm,8cm A C AB CD AD BC ∴∠=∠=︒====，
∵沿对角线BD 对折，点C 落在点C '的位置，
90,6cm,8cm C C C D CD BC BC '''∴∠=∠=︒====，
∴A C '∠=∠，AB C D '=，
在GAB △和GC D ' 中，A C AGB C GD AB C D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=''⎩
'，
()GAB GC D AAS '∴≅ ，
∴BG DG =．
【小问2详解】
解：由（1）已证：GAB GC D '≅ ，
GB GD ∴=，
设cm C G x '=，则(8)cm GD GB BC C G x ''==-=-，
在Rt GC D ' 中，222C D C G GD ''+=，即2226(8)x x +=-，
第21页/共21页解得74
x =
，即7cm 4C G '=．【小问3详解】
解：在Rt △ABD
中，10cm BD ==，
∵点D 与点A 重合，折痕为EN ，∴12
4cm AM DM AD ===，DM EN ⊥，AN DN =，NAD NDA ∴∠=∠，
90NAD NAB NDA ABN ∠+∠=︒=∠+∠ ，
NAB ABN ∴∠=∠，
AN BN ∴=，
15cm 2BN DN BD ∴==
=，13cm 2
MN AB ∴==（三角形中位线定理），DM EN ⊥ ，CD AD ⊥，
EN CD ∴ ，
END BDC ∴∠=∠，
由折叠的性质得：EDN BDC ∠=∠，
END EDN ∴∠=∠，
∴=EN ED ，
设cm EM y =，则(3)cm ED EN EM MN y ==+=+，
在Rt DEM 中，222ED EM DM =+，即222(3)4y y +=+，解得76
y =
，即7cm 6EM =．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了矩形与折叠问题、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．。