临澧县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

临澧县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2． 如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．6对
3． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）
A ．（1）与（2）
B ．（1）与（3）
C ．（2）与（4）
D ．（3）与（4）
4． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A ．{0}∈M B ．{0}∉M C ．0∈M
D ．0⊆M
5． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 6． 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大
值为O 的体积为（ ）
A ．81π
B ．128π
C ．144π
D ．288π
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
7． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A
．
B
．
C
．
D
．
8． 下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；
④{}0∅⊆,正确的有（ ）个
A.个
B.个
C.个
D.个 9． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ） A ．两个点 B ．四个点
C ．两条直线
D ．四条直线
10．复数i i
i
z (21+=
是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 11．复数
z=
（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f <<
二、填空题
13．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称； ③y=（
）﹣x
是增函数；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0．
14．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2
=0相切，则m= ．
15．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ． 16．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．
17．如果实数,x y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 ．
18．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．
三、解答题
19．（本题满分15分）
设点P 是椭圆14
:22
1=+y x C 上任意一点，
过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ，B 两点．
（1）求证：PB PA =；
（2）OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
20．（本小题满分13分） 已知函数3
2
()31f x ax x =-+， （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01(0,)2
x ∈．
21．（本小题满分12分）
成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从
某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试
成绩（百分制）的茎叶图如图所示.
（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）
22．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．
23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|
（1）解不等式f（x）≥﹣2；
（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．
24．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0
（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
临澧县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
2．【答案】B
【解析】
中，则PA与BC、PC与AB、PB与AC都是异面直线，所以共有三对，故选试题分析：三棱锥P ABC
B．
考点：异面直线的判定．
3．【答案】B
【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确；
∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；
∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；
∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；
故选B．
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．
4．【答案】C
【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；
对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．
对于D ，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确． 故选C
【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用
5． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 6． 【答案】D
【解析】当OC ⊥平面AOB 平面时，三棱锥O ABC -的体积最大，且此时OC 为球的半径．设球的半径为R ，
则由题意，得211sin 6032R R ⨯⨯︒⋅=6R =，所以球的体积为34
2883
R π=π，故选D ． 7． 【答案】D
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m
则由题意知，
解得d=
．
故选：D ．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．
8． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：{}{},,a b b a ⊆和{}0∅⊆是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 9． 【答案】B
【解析】解：方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2
=0
则x 2
﹣4=0并且y 2
﹣4=0，
即，
解得：
，
，
，
，
得到4个点． 故选：B ．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．
10．【答案】A
【解析】
()
12(i)
12
2
(i)
i
i
z i
i i
+-
+
===-
-
，所以虚部为-1，故选A.
11．【答案】C
【解析】解：z====+i，
当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；
当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；
当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；
当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
二、填空题
13．【答案】②④
【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确；
③y=（）﹣x是减函数，故错误；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确．
故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．14．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．
【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2++y 2
=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径
即
=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18
15．【答案】 2：1 ．
【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l ，底面半径为r ，
所以圆锥的侧面积为： =πrl
圆柱的侧面积为：2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：1
16．【答案】3
2
【解析】
试题分析：由题意得11,422
k α
α==⇒=∴32k α+=
考点：幂函数定义
17．【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.
法，本题的解答中把y
x
18．【答案】．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，
∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
∴点P 为线段AB 中点，PB PA =；…………7分
（2）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，
故122
-=∆t S OAB ，…………9分
若直线AB 斜率存在，由（1）可得
148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ，1
41141222212
+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分
点O 到直线AB 的距离2
22
1141k
k k
m d ++=
+=，…………13分
∴122
1
2-=⋅=
∆t d AB S OAB ，综上，OAB ∆的面积为定值122-t ．…………15分 20．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-， （1分）
①当0a >时，解()0f x '>得2x a >
或0x <，解()0f x '<得20x a <<， ∴()f x 的递增区间为(,0)-∞和2(,)a
+∞，()f x 的递减区间为2
(0,)a ． （4分）
②当0a =时，()f x 的递增区间为(,0)-∞，递减区间为(0,)+∞． （5分）
③当0a <时，解()0f x '>得20x a
<<，解()0f x '<得0x >或2
x a <
∴()f x 的递增区间为2(,0)a ，()f x 的递减区间为2
(,)a
-∞和(0,)+∞． （7分）
（Ⅱ）当2a <-时，由（Ⅰ）知2(,)a -∞上递减，在2(,0)a
上递增，在(0,)+∞上递减．
∵2
2
240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，∴()f x 在(,0)-∞没有零点． （9分） ∵()010f =>，11
(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞上递减，
∴在(0,)+∞上，存在唯一的0x ，使得()00f x =．且01
(0,)2x ∈ （12分）
综上所述，当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01
(0,)2
x ∈． （13分）
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.
22．【答案】
【解析】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，
∴值域为[0，1]，
∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程的同号的相异实数根．
∵x2﹣3x+5=0无实数根，
∴函数不存在“和谐区间”．
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．
∵，
∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，
已知函数有“和谐区间”[m，n]，
∵，
∴当a=3时，n﹣m取最大值
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，
当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；
当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；
当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；
综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} …
（2），
函数f（x）的图象如图所示：
令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；
∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…（8分）
当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，
∴a≥2+，即a≥4时成立，
综上a≤﹣2或a≥4．…（10分）
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．
24．【答案】
【解析】解：p：，q：a≤x≤a+1；
∴（1）若a=，则q：；
∵p∧q为真，∴p，q都为真；
∴，∴；
∴实数x的取值范围为；
（2）若p是q的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p；
∴，∴；
∴实数a的取值范围为．
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q真假和p，q真假的关系，以及充分不必要条件的概念．。