高三数学教学案 第九章 立体几何 第十二课时 二面角(二)

高三数学教学案 第九章 立体几何 第十二课时 二面角（二）
2
、折叠问题必需掌握原始平面图形的主要元素和折叠后所形成的立体图形的主要元素之间的对应关 内有一以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上移动（不与A 、B 重合）点D 、E 分别是A 在PC 、PB 上的射影，下面结论
（1）∠AED 是二面角A －PB －C 的平面角； （2）∠ACD 是二面角P －BC －A 的平面角； （3）∠EDA 是二面角A －PC －B 的平面角； （4）∠DAE 是二面角B －PA －C 的平面角； （5）∠PAC 是二面角P －AB －C 的平面角；
其中正确结论的序号是___________． 2、在正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后BC=
2
1
AB ，这时二面角B －AD －C 的大小为（ ）
A ．60°
B ． 90°
C ．45°
D ．120°
3、在60°的二面角的一个面所在的平面内有一条直线与二面角的棱成60°的角，则此直线与二面角的另一个面所在的平面所成的角的正弦值是（ ）
A ．
4
1 B ．
4
3 C ．
4
3 D ．1
4、有一山坡，它的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）为30°，有一名学生骑车沿山坡一条与坡脚水平线成60°的直路向上走了100m ，那么他比水平面升高了（ ）
A ．20m
B ．350m
C ．325m
D ．25m
5、菱形ABCD 的对角线AC=3，沿BD 把面ABD 折起与面BCD 成120°的二面角后，点A 到面BCD 的距离
． 例1、在矩形ABCD 中，AB=6，BC=32，沿对角线BD 将△ABD 向上折起，使点A 移至点P ，且P 点在平面BCD 的射影O 在DC 上． （1）求证：PD ⊥PC ；
（2）求二面角P －BD －C 的平面角的余弦值．
例2、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 上，且AB=a ，当二面角A －B 1E －C 为 120°，求BE 的长．
C
A
D
A 1
B 1
C 1
D 1
例3、已知直二面角α－l －β，A ∈α，B ∈β，线段AB=2a ，AB 与α成45°角，与β成30°角，过A 、B 两点分别作棱l 的垂线AC 、BD ，求面ABD 与面ABC 所成的二面角的大小．
班级_______学号__________姓名_________
1、把边长为a 的正三角形ABC 沿高AD 折成60°的二面角，则A 到BC 的距离是（ ）
A ．a 15
B ．
a 2
15
C ．
a 415 D ．a 8
15 2、二面角α－AB －β的平面角是锐角，C 是平面α内的点（不在棱AB 上）D 是C 在平面β上的射影，E
是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点，则（ ）
A ．∠CE
B ＞∠DEB B ．∠CEB=∠DEB
C ．∠CEB ＜∠DEB
D ．∠CEB 与∠DEB 的大小不能确定
3、在直角坐标系中，设A(3，2)，B(3,2--)沿y 轴把直角坐标系平面折成120°的二面角后AB 的长是________．
4、二面角α－l －β的度数为120°，A 、B ∈l ，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，若AB=AC=BD=1，则CD 等于__________．
5、已知正方形ABCD ，AC 、BD 相交于O 点，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，并给出四个结论
①AC⊥BD
②AD⊥CO
③AOC 为正三角形 ④cos∠ADC =
4
3, 则其中正确结论的序号是__________．（注：把你认为正确的序号都填上）
6、平面四边形ABCD 中，AB=BC=CD=a ，∠B=90°，∠DCB=135°沿对角线AC 将四边形折成直二面角． （1）证明：AB ⊥面BCD ；
（2）求面ABD 与面ACD 所成的角．
7、如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知侧面BCC 1B 1为矩形，侧棱与底面成30°的角，底面△ABC 的面积是截面A 1BC 的面积的2倍，求二面角A －BC －A 1的大小．
8、（选做题）如图，在Rt △ABC 中，AB=BC ，E 、F 分别是AC 和AB 的中点，以EF 为棱把它折成大小为β的二面角A －EF －B ，设∠A EC=α，求证：)1(cos 2
1
cos -=βα．
A
1
A
1
B
C C 1
C
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第九章 立体几何
第十三课时 空间角的计算
ABCD －A 1B 1C 1D 1中六个面内的对角线共有n 条与BD 成60°角，则n 等于（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．8 2、已知直线1l 与平面α成6
π的角，直线2l 与1l 成3π
的角，则2l 与平面α所成角的范围是（ ）
A ．[0，
3
π] B ．[12π，2π] C ．[6π，2
π] D ．[0，2π]
3、将∠A 为60°的菱形ABCD ，沿对角线BD 折叠，使A 、C 的距离等于BD ，则二面角A －BD －C 的余弦值
是___________．
4、二面角α－l －β是直二面角，A α∈，B β∈，A 、B l ∉，设直线AB 与α、β所成的角分别为1θ、2θ则（ ）
A ．1θ+2θ=90°
B ．1θ+2θ≥90°
C ．1θ+2θ≤90°
D ．1θ+2θ≠90°
5、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点，过平行线MN 与B 1C 作截面MB 1CN ，令二面角M －B 1C －C 1的大小为θ，则θcos 等于（ ）
A ．0
B ．
2
1 C ．
2
3
D ．
3
1
°的二面角α－l －β中，A ∈α，B ∈β，已知点A 和B 到棱l 的距离分别为2和4，且AB=10，求．
（1）直线AB 与棱l 所成的角； （2）直线AB 与平面β所成的角．
例2、设△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD ，∠ABD=∠DBC=120° 求：（1）直线AD 和平面BCD 所成的角的大小； （2）异面直线AD 与BC 所成角的大小； （3）二面角A －BD －C 的大小．
例3、如图所示，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a (0＜a ＜2) （1）求MN 的长；
（2）当a 为何值时，MN 的长最小；
（3）若MN 长最小时，求面MNA 与面NMB 所成的二面角α的大小．
班级_______学号__________姓名_________
1
、二面角M －AB －N 为α，AC ⊂平面M ，∠CAB=β，AC 与平面N 成θ角，则αsin 、βsin 、θsin 之间的关系式___________．
2、已知正方形ABCD ，沿对角线AC 将三角形ADC 折起，设AD 与平面ABC 所成角为β，当β取最大值时，二面角B －AC －D 等于（ ）
A ．45°
B ．90°
C ．2
2
arctan
D ．2arctan
3、二面角M －l －N 大小为θ，Rt △ABC 在面M 内，斜边AB 在l 上，直角边AC 、BC 与平面N 所成角分别为α、β，判断θβα2
22sin ,sin ,sin 的关系
4、正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2:3，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角为_________
度．
5、已知∠AOB=90°，过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、
60°的角，则以OC为棱的二面角的余弦值为__________．
6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为B1C1、C1D1的中点，若截面EFDB与侧面BCC1B1所成锐二面角为θ，
cos=__________．
则θ
7、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A－DF－B的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC、EF所成的角为60°．
8、四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将∠ABD沿对角线BD折起，记折起点A 的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）求二面角P－BC－D的大小．
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第九章 立体几何
第十四课时 距离（一）
离为基础，求其它几种距离一般应化归为求这三种距离；
2、点到面的距离是空间最常见的，也是应用最多的，求解的关键是正确的作出图形，其中确定垂足位置最重要；
（1）找出或作出有关距离；（2）证明它符合定义；（3）归到某三角形中形算．
60°，边长为a 的的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 之间的距离为___________．
2、直线l ∥平面α，l 与α间的距离为b ，则到直线l 的距离和到平面α的距离都等于b 5
3的点的集合是（ ）
A ．一条直线
B ．两条平行线
C ．一个平面
D ．两个平面
3、已知AD 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成直二面角B －AD －C 后，点B 到AC 的距离为（ ）
A ．2
B ．
2
3 C ．
2
7 D ．1
4、已知线段AB 在平面α外，AB 两点到平面α的距离分别是1和3，则线段AB 中点到平面α的距离是___________．
5、A 、B 是直线l 上的两点，AB=4，AC ⊥l 于A ，BD ⊥l 于B ，AC=BD=3，又AC 与BD 成60°的角，则C 、D ___________．
AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，A ∈a ，B ∈b ，AB=2，a 、b 成30°角，在直线a 上取一点P ，使PA=4，求P 点到直线b 的距离．
例2、已知△ABC在平面α内，DA⊥α，EB⊥α，DC与α成30°角且DC⊥BC，若EB=BC=DC=a，求DE的长．
例3、如图，已知二面角α－PQ－β为60°，点A和点B分别在平面α和平面β上，点C 在棱PQ，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）求点B到平面α的距离
（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求线段CR的长度．
班级_______学号__________姓名_________
1、平面外一条直线上的两个点到这个平面的距离相等，则这条直线与这个平面（ ）
A ．一定平行
B ．一定相交
C ．平行或相交
D ．一定垂直
2、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A ．直线
B ．圆
C ．双曲线
D ．抛物线
3、在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，PA ⊥平面ABCD ，且AP=1，则P 点到对角线BD 的距离为（ ）
A ．
292
1
B ．
5
13 C ．
5
17 D ．
5
129
4、在两个互相垂直的平面的交线上有两点A 、B ，AC 和BD 分别是这两个平面内垂直于AB 的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则C 、D 间距离为__________．
5、△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2，3，4，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为__________．
6、已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB=62，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，求AB 到平面α的距离．
7、已知α－l －β的大小是60°，AB ⊂α，CD ⊂β，并且AB ⊥l 于A ，CD ⊥l 于C ，AB=AC=CD=a ，求： （1）B 、D 两点间的距离； （2）点D 到AB 的距离．
8、如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长都等于a ，D 、F 分别为AC 1和BB 1的中点 （1）求证：DF 为异面直线AC 1和BB 1的公垂线段并求其长度； （2）求点C 1到平面AFC 的距离．
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第九章 立体几何
第十五课时 距离（二）
ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=a ，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是（ ）
A ．
a 66 B ．
a 43
C ．a 6
3
D ．a 3
6 2、四棱锥P －ABCD 的底面为正方形PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点C 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，BC 到平面PAD 的距离为d 3，则有（ ） A ．d 3＜d 1＜d 2 B ．d 1＜d 2＜d 3 C ．d 1＜d 3＜d 2 D ．d 2＜d 1＜d 3
3、若三棱锥P －ABC 中过点P 的三条侧棱两两垂直，长都是a ，则底面上任一点到三个侧面距离之和为___________．
4、α∩β=MN ，A ∈α，C ∈MN ，且∠ACM=45°，α－MN －β是60°的二面角，AC=1，则点A 到平面β的距离___________．
F
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是___________． 1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 （1）求点A 到平面BD 1的距离； （2）求点A 1到平面AB 1D 1的距离；
（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 的距离； （4）求直线AB 到平面CDA 1B 1的距离．
例2、棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别为棱CD 、CD 1的中点，求P 到平面A 1QC 1的距离．
例3、如图，在矩形ABCD 中，AB=33，BC=3，沿对角线BD 将△BDC 折起，使点C 移到点E ，且点E 在平面ABD 上的射影H 恰在AB 上． （1）求证：BE ⊥平面ADE ； （2）求点A 到平面BDE 的距离．
H E
C
B
A
班级_______学号__________姓名_________
1、△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面α的距离（）
A．7 B．9 C．11 D．13
2、平面α内有∠XOY=60°，OA是α的斜线且OA=10，∠AOX=∠AOY= 60°，则A到α的距离是__________．
3、在四面体P－ABC，PA、PB、PC两两垂直，M是面ABC内一点且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别是2、3、6，则点M到顶点P的距离是（）
A．7 B．8 C．9 D．10
4、四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且∠A1AD=∠A1AB=60°，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是__________．
5、将半径为R的四个球，两两相切地放在桌面上，则上面的一个球的球心到桌面的距离为__________．
6、正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为1，M、M1分别为棱BC、B1C1的中点，求直线AM与平面A1M1C的距离．
4，PA⊥平面ABC，PA=2，D、E、F分别是BC、DC、AC的中点，求直线7、已知正三角形ABC的边长为2
AD到平面PEF的距离．
8、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是AA1、BC、CC1的中点，求顶点B1到平面EFG的距离．
高三数学教学案第九章立体几何
第十六课时棱柱、棱锥的概念与性质
2、棱柱的主要性质；
3、平行六面体与长方体；
5、正棱锥的概念、性质．
）
A．顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等
B．底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形
C．相邻两条侧棱间的夹角相等
D．三条侧棱相等，侧面与底面所成角也相等
2、下列命题中正确的是（）
A．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．底面是正多边形的棱柱是直棱柱
3、一个棱柱是正四棱柱的条件是（）
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
4、直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为2的菱形且∠BAD=60°，F是A1D1的中点，则BF的长为（）
A．6B．3
2C．14D．4
5、长方体的一条对角线与两组平行的面所成的角都是30°，则长方体的这条对角线与另一组平行的面所成的角是（）
°B．60°C．30°D．45°或135°
例1、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，并且PD=a，PA=PC=a
2
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与AC所成的角；
（3）求二面角A－PB－D的大小．
例2、斜三棱柱A1B1C1－ABC中，各棱长为a，A1B= A1C=a
（1）求证：侧面BCC1B1是矩形；
（2）求棱柱的高．
A B B1
A1
1
C
C1
例3、棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 是CC 1的中点． （1）求证：平面B 1DE ⊥平面B 1BD ； （2）求二面B －B 1E －D 角的余弦值． ·
班级_______学号__________姓名_________
1、有一条侧棱与底面的两条边垂直是棱柱成为直棱柱的一个________条件．
2、正三棱锥的侧面与底面成60°的二面角，则侧棱与底面所成角的正切值是__________．
3、长方体三度之和为c b a ++=6，全面积为11，则其对角线长为__________，若一条对角线与二个面所成的角为30°或45°，则与另一个面所成的角为_______，若一条对角线与各条棱所成的角为α、β、γ，则αsin 、βsin 、γsin 的关系为__________．
4、正四棱柱P －ABCD 的高为PO ，AB=2PO=2cm ，则AB 与侧面PCD 的距离为（ ）
A ．2cm
B ．2cm
C ．3cm
D ．3cm 5、过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与正方体的12条棱所成的角都相等的不同平面有________个．
6、已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为__________．
7、已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长AA 1=5，AB=12，求直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的距离．
B
8、四面体P－ABC中，已知PA=3，PB=PC=2，∠APB=∠CPA=60°；求证：（1）PA⊥BC；
（2）平面PBC⊥平面ABC．
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第九章 立体几何
第十七课时 棱柱、棱锥的侧面积与体积
2、掌握斜棱柱、一般棱锥的侧面积及体积的计算方法；
2、斜棱柱的侧面积和体积公式； 4、正棱锥的侧面积公式； 5、棱锥的体积公式．
2、侧面展开图是研究侧面积的基础，是化空间的问题为平面问题的常用方法；
，等积变形的应用．
α，底面积为S ，则它的侧面积为________． 2、若棱锥的底面面积为8，则它的中截面面积是________．
3、侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则此棱锥的全面积等于（ ）
A ．
2
2
33a + B ．
2
4
3a C ．
2
4
33a + D ．
2
4
36a + 4、若斜三棱柱的高为34，侧棱与底面所成的角为60°，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为（ ）
A ．360
B ．90
C ．60
D ．120
5、如果正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么四面体A 1－C 1BD 的体积为（ ）
A ．
31a
B ．3
3
1a
C ．
34
1a D ．
36
1a
例1、斜棱柱A 1B 1C 1－ABC 底面是等腰△ABC ，其边长分别是AB=AC=10cm ，BC=12cm ，棱柱的顶点A 1与A 、B 、C 三点等距，且侧棱AA 1=13cm ，求这棱柱的全面积．
例2、在三棱柱P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两成60°角，且PA=a ，PB=b ，PC=c ，求三棱锥P －ABC 的体积．
例3、在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1=a ，底面ABCD 是边长AB=a 2，BC=a 的矩形，E 为C 1D 1的中点，求三棱锥形B 1－BDE 的体积．
班级_______学号__________姓名_________
1、正六棱锥形底面边长为a ，体积为2
33
a ，那么侧棱与底面所成的角等于（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3
π D ．125π
2、棱长都为1的正三棱锥的全面积为__________，体积为__________．
3、若正三棱锥形的全面积是底面积的4倍，则此正三棱锥侧面与底面所成的二面角等于（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．4
1
arccos
D ．3
1arccos
4、直三棱柱的各棱都相等，侧面积为36，则它的高为___________．
5、若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为__________．
6、已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1各条棱长都是a ，且一个顶点A 1在另一底面的射影恰好是这底面正三角形的中心，求此三棱柱的全面积．
7、如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，每条棱长都为a ，侧棱与底面所成的角等于60°，其中侧面BCC 1B 1垂直于底面，求四棱锥C 1－ABB 1A 1的体积．
8、如图，四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，SD ⊥平面ABCD ，平面ABEF 与侧面SCD 交于EF ，二面角S －AB －C 为45°，二面角F －AB －S 为30° （1）求四边形ABEF 的面积； （2）求棱锥S －ABEF 的体积．
C
A
A 1
C 1
1
B
B 1。