2020版导与练一轮复习文科数学习题：第十篇 概率(必修3) 第2节 古典概型

第2节　古典概型
【选题明细表】
知识点、方法题号
简单的古典概型1,2,3,4,5,9,11
复杂的古典概型6,7,8,10,12古典概型与统计的综合应用13,14
基础巩固(时间:30分钟)
1.(2018·江西吉安一中高三阶段考)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　D　) (A) (B) (C) (D)
解析:从5个小球中随机取2个小球,共有10种情况,取出的小球标注的数字之和为3或6的情况为(1,2),(2,4),(1,5) 3种,故所求概率为
.故选D.
2.(2018·西城区模拟)盒中装有大小形状都相同的5个小球,分别标以号码1,2,3,4,5,从中随机取出一个小球,其号码为偶数的概率是(　B　)
(A)(B)(C)(D)
解析:从5个球中随机取出一个小球共有5种方法,其中号码为偶数的
为2,4,共两种,由古典概型的概率公式可得其号码为偶数的概率是.
故选B.
3.(2018·邯郸模拟)口袋里装有红球、白球、黑球各1个,这3个球
除颜色外完全相同,有放回地连续抽取2次,每次从中任意取出1个球,则2次取出的球颜色不同的概率是(　C　)
(A)(B)(C)(D)
解析:法一　由题意,知基本事件有(红,红),(红,白),(红,黑),(白,红), (白,白),(白,黑),(黑,红),(黑,白),(黑,黑),共9个,2次取出的球颜
色不同包含的基本事件个数为6,所以2次取出的球颜色不同的概率为
P==,故选C.
法二　由题意,知基本事件有(红,红),(红,白),(红,黑),(白,红), (白,白),(白,黑),(黑,红),(黑,白),(黑,黑),共9种,其中2次取出
的球颜色相同有3种,所以2次取出的球颜色不同的概率为1-=.故
选C.
4.(2017·全国Ⅱ卷)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡
片上的数的概率为(　D　)
(A)(B)(C)(D)
解析:由题P==.故选D.
5.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五
人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为(　D　)
(A)(B)(C)(D)
解析:由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果
有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊), (甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戌)这1种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种,所求概率P=
.故选D.
6.(2018·威海调研)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合
{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的
概率为(　A　)
(A)(B)(C)(D)
解析:由题意可知m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5), (4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.
因为m⊥n,即m·n=0,
所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,
满足条件的有(3,3),(5,5)共2个,
故所求的概率为.
7.在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一
个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为 .
解析:点P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6种情况,只有(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为=.
答案:
8.(2018·宝山区一模)若从五个数-1,0,1,2,3中任选一个数m,则使
得函数f(x)=(m2-1)x+1在R上单调递增的概率为 (结果用最简分数表示).
解析:若函数f(x)=(m2-1)x+1在R上单调递增,
则m2-1>0,
若从五个数-1,0,1,2,3中任选一个数m,
则m=2,或m=3,
故P=.
答案:
能力提升(时间:15分钟)
9.(2018·山西大同一中高一期末考试)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是(　B　)
(A)(B)(C)(D)
解析:从A={2,3},B={1,2,3}中各任取一个数有2×3=6种基本事件,而这两数之和为4的基本事件为(2,2),(3,1),由古典概型概率公式知,
所求概率为P==.故选B.
10.(2018·河北邢台外国语学校高二期中考试)若b,c是从2,4,6,8
中任取的两个不同的数,则方程x2+bx+c=0有实数根的概率为(　C　)
(A)(B)(C)(D)
解析:从2,4,6,8中任取不同的两个数,记作(b,c),则(b,c)可取(2, 4), (2,6),(2,8),(4,2),(4,6),(4,8),(6,2),(6,4),(6,8),(8,2),
(8,4),(8,6),共12种,使方程x2+bx+c=0有实根的条件是b2≥4c,当
b=2时,c没有合适的数,当b=4时,c=2;当b=6时,c=2,4,8;当b=8时,
c=2,4,6,一共有1+3+3=7种,故所求概率为P=.故选C.
11.(2018·贵阳一中)某中学校庆,校庆期间从该中学高一年级的2名志愿者和高二年级的4名志愿者中随机抽取2人到一号门负责接待老校友,至少有一名是高一年级志愿者的概率是 .
解析:记2名来自高一年级的志愿者为A1,A2,4名来自高二年级的志愿者为B1,B2,B3,B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有:(A1,A2), (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B
, B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共15种.其中至少有1
一名是高一年级志愿者的事件有9种.故所求概率P==.
答案:
12.(2018·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则
直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为 .
解析:依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种,其中满足直线ax+ by=0与圆
(x-2)2+y2=2有公共点,即满足≤,a≤b的数组(a,b)有(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6),共6+5+4+3+2+1=21种,因此所求的概
率等于=.
答案:
13.(2018·吉林省长春市一模)长春市的“名师云课”活动自开展以
来获得广大家长和学生的高度赞誉,在我市推出的第二季名师云课中,
数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现
对某一时段云课的点击量进行统计:
点击量[0,1 000](1 000,3 000](3 000,+∞)
节数61812
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量
超过3 000的节数;
(2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,
1 000]内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1 000,3 000]内,则需要花费20分钟进行剪辑,点击量超过3 000,则不需要剪辑,现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间
为40分钟的概率.
解:(1)根据分层抽样,选出的6节课中有2节点击量超过3 000.
(2)在(1)中选出的6节课中,设点击量在区间[0,1 000]内的一节课为
A1,点击量在区间(1 000,3 000]内的三节课为B1,B2,B3,点周量超过3 000的两节课为C1,C2.
从中选出两节课的方式有A1B1,A1B2,A1B3,A1C1,A1C2,B1B2,B1B3,B1C1,B1C2, B2B3,B2C1,B2C2,B3C1,B3C2,C1C2,共15种,其中剪辑时间为40分钟的情况有A1C1,A1C2,B1B2,B1B3,B2B3,共5种.
则剪辑时间为40分钟的概率为P==.
14.(2018·湖南永州一模)近年来城市“共享单车”的投放在我国各
地迅猛发展,“共享单车”为人们出行提供了很大的便利,但也给城市的管理带来了一些困难,现某城市为了解人们对“共享单车”投放的
认可度,对[15,45]年龄段的人群随机抽取n人进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查,根据调查结果得到如下统计表和各年
龄段人数频率分布直方图:
组号分组
赞成投放
的人数赞成投放人数占本组的频率
第一组[15,20)1200.6第二组[20,25)195p 第三组[25,30)1000.5第四组[30,35)a0.4第五组[35,40)300.3第六组[40,45]150.3
(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值;
(2)在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人中,用分层抽样的方法抽取7人参加“共享单车”骑车体验活动,求第四、五、六组应分
别抽取的人数;
(3)在(2)中抽取的7人中随机选派2人作为正副队长,求所选派的2
人没有第四组人的概率.
解:(1)画图(如图所示)由频率表中第五组数据可知,第五组总人数为
=100,
再结合频率分布直方图可知n==1 000,所以a=0.03×5×1 000× 0.4=60,第二组的频率为0.3,所以p==0.65.
(2)因为第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人数分别为
60,30,15,由分层抽样原理可知,第四、五、六组分别抽取的人数为4人,2人, 1人.
(3)设第四组4人为A1,A2,A3,A4,第五组2人为B1,B2,第六组1人为C.
则从7人中随机抽取2名领队所有可能的结果为A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,
A1B2,A1C,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2C,A3A4,A3B1,A3B2,A3C,A4B1,A4B2,A4C,B1B2,B
C,B2C共21种,其中恰好没有第四组人的所有可能结果为
1
B1B2,B1C,B2C,共3种,所以所抽取的2人中恰好没有第四组人的概率为
P==.。