双目标定

摄像机标定（Camera Calibration）
摄像机标定是指建立摄像机图像像素位置与场景点位置之间的关系，其途径是根据摄像机模型，由已知特征点的图像坐标和世界坐标求解摄像机的模型参数。

1.图像坐标系，摄像机坐标系与世界坐标系（摄像机模型）
摄像机采集的图像以标准电视信号的形式经高速图像采集系统变换为数字图像，并输入计算机。

每幅数字图像在计算机内为M*N数组，M行N列的图像中的每一个元素（称为像素，pixel）的数值即是图像点的亮度（或称灰度）。

如图2.11所示，在图像上定义直角坐标系u,v,每一像素为单位的图像坐标系坐标。

由于（u,v）只表示像素位于数组中的列数与行数，并没有用物理单位表示出该像素在图像中的位置，因此，需要再建立以物理单位（如mm）表示的图像坐标系。

该坐标系以图像内某一点O1为原点，X轴与Y轴分别与u,v轴平行，如图2.11所示。

其中（u,v）表示以像素为单位的图像坐标系的坐标，（X,Y）表示以mm为单位的图像坐标系的坐标。

在X,Y坐标系中，原点O1定义在摄像机光轴与图像平面的交点，该点一般位于图像中心处，但由于某些原因，也会有些偏离，若O1在u,v坐标系中坐标为（u0,v0）,每一个像素在X轴与Y轴方向上的物理尺寸为dX,dY,则图像中任意一个像素在两个坐标系下的坐标有如下关系：
（2.28）
为以后使用方便，用其次坐标与矩阵形式将上式表示为
（2.29）摄像机成像几何关系可由图2.12所示。

其中Oc点称为摄像机光心，Xc轴和Yc轴与图像的X轴与Y轴平行，Zc轴为摄像机光轴，它与图像平面垂直。

光轴与图像平面的交点，即为图像坐标系的原点，由点Oc与Xc,Yc,Zc轴组成的直角坐标系称为摄像机坐标系。

OO c为摄像机焦距。

图2.12 摄像机坐标系与世界坐标系
由于摄像机可安放在环境中的任意位置，在环境中选择一个基准坐标系来描述摄像机的位置，并用它描述环境中任何物体的位置，该坐标系称为世界坐标系。

它由Xw,Yw,Zw轴组成。

摄像机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵R与平移向量t来描述。

（2.31）
2.针孔成像模型
针孔成像模型又称为线性摄像机模型。

空间任何一点M在图像中的成像位置可以用针孔成像模型近似表示，即任何点M在图像中的投影位置m，为光心Oc 与M点的连线OcM与图像平面的交点。

这种关系也称为重心射影或透视投影。

有比例关系如下：
（2.32）
其中，(x,y)为m点的图像坐标；（Xc,Yc,Zc）为空间点M在摄像机坐标系下的坐标。

用齐次坐标和矩阵表示上述透视投影关系为
（2.33）将（2.29）和（2.33）代入上式，得到世界坐标系与摄像机像素坐标系之间的关系
（2.34）
上式可简写为：
α=f/dx ,β=f/dy ,分别代表以x 轴与y 轴方向上的像素为单位表示的等效焦距。

另外在较高精度的相机模型中还引入一个参数γ，表示在图像平面中以像素为单位的坐标轴倾斜程度的量度，γ=αtg θ, θ表示相机CCD 阵列v 轴的偏斜角度。

由上式可见，如果已知摄像机的内外参数，就知道投影矩阵M ，这时对任何空间点M ，如已知它的坐标Xw=（Xw,Yw,Zw,1）T
,就可求出它的图像点m 的位置（u,v ）.这是因为在已知M 与Xw 时，式（2.34）给出了三个方程。

在这三个方程中消去z 就可求出（u,v ）。

反过来，如果已知某空间点M 的图像点m 的位置（u,v ），即使已知摄像机的内外参数，Xw 也是不能唯一确定的。

事实上，在式（2.34）中，M 是3*4不可逆矩阵，当已知M 与(u,v)时，由式（2.34）给出的三个方程中消去z ，只可得到关于Xw,Yw,Zw 的两个线性方程，由这两个线性方程组成的方程组即为射线OP 的方程，也就是说，投影点为m 的所有点均在该射线上，其物理意义可由图2.12看出，当已知图像点m 时，由针孔成像模型，任何位于射线OM 上的空间点的图像都是m 点，因此，该空间点是不能唯一确定的。

3.相机畸变
设(u,v)为理想的图像像素坐标，相对应的，),(^
^v u 为真实获得的像素坐标。

类似的，(x,y)和),(^^y x 分别为理想的图像物理坐标和实际获得的图像物理坐标，我们可以得到以下的关系式：
其中，k1和k2为畸变系数。

同时，从和
，我们得到以下两式：
其中，（u0,v0）在求内参时已求得，),(^
^v u 在圆心提取排序时也得知，（u,v ）可通过OpenCV 中cvProjectpoints 函数求反投影残差求得。

其中参数包括自定义的标志点的三维坐标、二维坐标、旋转平移向量、内参数求得。

（x,y ）由公式u=u0+αx+cy 和v=v0+βy 可求得。

于是两个方程，两个未知数k1,k2便可求了。

即由
设为：Dk=d.所以，由
可求得畸变系数k1，k2。