精品2019学年高中数学第二章.3空间直角坐标系2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修20

3.3 空间两点间的距离公式
1.会推导和应用长方体对角线长公式.(重点)
2.会推导空间两点间的距离公式.(重点)
3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理空间两点间的距离公式
阅读教材P92“练习”以下至P94“例4”以上部分，完成下列问题.
1.长方体的对角线：
(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线.(如图2­3­9)
图2­3­9
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d
2.空间两点间的距离公式：
(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离
|OP|
(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离
|AB|
空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )
A.243
B.221
C.9
D.86
【解析】|AB|＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.
【答案】 D
[小组合作型]
已知△ABC (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度.
【精彩点拨】 本题考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可. 【自主解答】 (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝(1－2)2
＋(5－3)2
＋(2－4)2
＝3， |BC |＝(2－3)2
＋(3－1)2
＋(4－5)2
＝6， |AC |＝(1－3)2
＋(5－1)2
＋(2－5)2
＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.
(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72， ∴AC 边上中线的长度为
(2－2)2＋(3－3)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722
＝12
.
1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.
[再练一题]
1.如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________. 【解析】 由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|PA |＝(0－1)2
＋(0－1)2
＋(1－1)2
＝2， 或|PA |＝(0－1)2
＋(0－1)2
＋(1＋1)2
＝ 6. 【答案】
2或 6
已知A (x,5－x,2x |AB |.
【导学号：39292123】
【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标. 【自主解答】 由空间两点的距离公式得|AB |＝
＝14x 2
－32x ＋19 ＝
14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872
＋57
， 当x ＝8
7
时，|AB |有最小值
57＝357
. 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝
⎛⎭⎪⎫1，227，67.
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.
[再练一题]
2.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)，B (1,0，－3).在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
【解】 假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形. 由题意可知y 轴上的所有点都能使|MA |＝|MB |成立， 所以只要再满足|MA |＝|AB |，就可以使△MAB 为等边三角形. 因为|MA |＝32
＋(－y )2
＋12
＝10＋y 2
， |AB |＝2 5.
于是10＋y 2
＝25，解得y ＝±10.
故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，此时点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).
[探究共研型]
探究1 如图O ­xyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上.
当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值.
图2­3­10
【提示】 当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，a 2，a
2.
因为点Q 在线段CD 上，
故设Q (0，a ，z ). 则|PQ |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 22
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a
2－a 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a
2－z 2
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2－z 2
＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |取得最小值，且最小值为22
a .
即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ |有最小值，且最小值为
2
2
a . 探究2 在上述问题中，当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值. 【提示】 因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ ⊥AB 时，|PQ |最短.
连接AQ ，
BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ |＝|BQ |，所以△QAB 是等腰三角形，所以当P 是线段AB 的中点时，|PQ |取得最小值，由(1)知最小值为
22
a . 已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N
在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2).
(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小.
【精彩点拨】 本例中有两两垂直的直线，可以以它们为坐标轴建系求解，(2)问可利用函数知识来解决. 【自主解答】 (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB
⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ， ∴AB 、BC 、BE 两两垂直.
以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则M ⎝
⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22a ，22a ，0，
∴|MN |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－22a －02
＝a 2
－2a ＋1.
(2)∵|MN |＝a 2
－2a ＋1＝⎝
⎛
⎭⎪⎫a －222
＋12，
∴当a ＝
22时，|MN |min ＝2
2
.
合理地建立空间直角坐标系是解决问题的关键，而研究某量的最值的问题通常将这个量表示为某一个未知量的函数，通过研究函数的最值而得到.
[再练一题]
3.如图2­3­11，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，点P 是DM 上的点，DP ＝a ，当a 为何值时，NP 的长最小？
图2­3­11
【解】 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.
则D (0,0,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (2,1,0)，N (1,2,3)， 设点P 的坐标为(x ，y,0)， 则x ＝2y (0≤y ≤1).
|NP |＝(x －1)2
＋(y －2)2
＋(0－3)2
＝(2y －1)2
＋(y －2)2
＋(0－3)2
＝5y 2
－8y ＋14 ＝
5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452
＋54
5
， 所以当y ＝45时，|NP |取最小值330
5，
此时a ＝x 2
＋y 2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫452
＝455， 所以当a ＝455
时，NP 的长最小.
1.在空间直角坐标系中，设A(1,2，a)，B(2,3,4)，若|AB|＝3，则实数a的值是( )
A.3或5
B.－3或－5
C.3或－5
D.－3或5
【解析】由题意得|AB|＝(1－2)2＋(2－3)2＋(a－4)2＝3，解得a＝3或5，故选A.
【答案】 A
2.已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】由距离公式得：
|AB|＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89，
|AC|＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75，
|BC|＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形.
【答案】 C
3.已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________.
【解析】∵P在z轴上，可设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，
∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝
(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3.
【答案】(0,0,3)
4.点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为______.
【解析】|AB|＝t2＋(t－2)2＋1＝2(t－1)2＋3，
∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.
【答案】 3
5.如图2­3­12，已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长.
【导学号：39292124】
图2­3­12
【解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a，
所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a ).
由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，a
2，a . 因为A ′N ＝3NC ′，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 4，3a 4，a .
根据空间两点间距离公式，可得： |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2－a 42
＋⎝
⎛⎭⎪⎫
a 2－3a 42
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2－a 2
＝6
4
a .。