上海市彭浦第三中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

上海市彭浦第三中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试
题
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅=
B ．33a a a ÷=
C ．333a b ab +=
D ．()2
36a a =
2．下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．0的相反数是0 B ．0的倒数是0 C ．0的绝对值是0
D ．0的立方根是0
3．上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（AQI ）28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（ ） A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
4．下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．探究课上，小明画出ABC V ，利用尺规作图找一点D ，使得四边形ABCD 为平行四边形．①~③是其作图过程：①以点C 为圆心，AB 长为半径画弧；②以点A 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点D ；③连接CD AD 、，则四边形ABCD 即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定．．．．
四边形ABCD 为平行四边形的条件是（ ）
A ．两组对边分别平行
B ．两组对边分别相等
C ．对角线互相平分
D ．一组对边平行且相等
6．如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“H 函数”，
其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，下列关于x 的函数：
①2y x =-，②1y x -=，③31y x =-，④211
422
y x x =-++中，是“H 函数”的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题 7．函数
y =
8．不等式：984x +<的解集为
9．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm ，当滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升cm （结果保留π）．
10．如图，AB 是O e 的直径，若»»»AC CD
BD ==，连接,BD CD ，则BDC ∠的度数是
11．如图，点G 是ABC V 的重心，BG 的延长线交AC 于点D ，过点G 作GE BC ∥，交AC 于点E ，则
DGE
ABD
S S =△△．
12．如图，电路图上有四个开关A ，B ，C ，D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A ，B ，C ，都可使小奵泡发光．现随机从A ，B ，C ，D
中抽取一个字母（每个字母被抽到的可
能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为．
13．如图，点G 是ABC V 的重心，如果AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，那么向量BG u u u r 用向量a r 和b r
表示为．
14．有6个正整数，其平均数是5，中位数是4，将这6个正整数之中的最大数记为a ，那么a 的最大值为．
15．如图，梯形ABCD 中，90D ??，AB CD P ，将线段CB 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在CD 延长线上的点E 处．联结AE 、BE ，设BE 与边AD 交于点F ，如果4AB =，且
1
2
AEF ABF S S =△△，那么梯形ABCD 的中位线等于．
16．新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++，（其中0ab ≠）与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”．例如：抛物线223y x x =++的“关联抛物线”为223y x x =++．已知抛物线21:694(0)C y ax ax a a =++->的“关联抛物线”为2C ，抛物线2C 的顶点为P ，且抛物2C 与x
轴相交于M 、N 两点，点P 关于x 轴的对称点为Q ，若四边形PMQN 是正方形，那么抛物线1C 的表达式为．
17．如图，已知在ABC V 中，90ACB ∠=︒，4,3AC BC ==，动点N 从点C 出发，沿着CA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点M 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0 2.5t <≤），以M 为圆心，MA 长为半径的
M e 与AB 的另一个交点为点D ，连接DN ，当M e 与线段DN 只有一个公共点时，t 的取值
范围是．
18．在平面直角坐标系xOy 中，若点P ，Q 为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线所在的直线分别与x 轴或y 轴垂直，则称该菱形为点P ，Q 的“相关菱形”．如图为点P ，
Q 的“相关菱形”的一个示意图．已知点A 的坐标为()15，
，点B 的坐标为()0b ，，如果点A ，B 的“相关菱形”为正方形，那么b 的值是．
三、解答题 19．计算：
2tan 30sin 60cos 45sin 30︒︒
+︒︒
．
20
，其中1a =，1b ．
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
230y ax ax a a =--<与x 轴交于A 、B 两点
（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =．
(1)直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）； (2)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE △的面积的最大值为5
4
，求a 的值；
22．（1）问题发现
如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ． 填空：
①∠AEB 的度数为 ；
②线段AD ，BE 之间的数量关系为 ． （2）拓展探究
如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题
如图3，在正方形ABCD 中，CD=3，若点P 满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP 的距离．
23．如图所示，E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF ．
(1)求证：V V ≌ADE DCF ；
(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；
(3)在（2）的条件下，连接AQ ，设1CEQ S S =△，2AED S S =△，3EAQ S S =△，请直接写出三者的数量关系
24．如图，已知抛物线y ＝1
2x 2+m 与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣43x +4与y 轴和x 轴分别交于
点A 和点B ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作▱CEDF ． （1）当点C 在∠ABO 的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标； （3）如果点E 是BO 的中点，且▱CEDF 是菱形，求m 的值．
25．如图，点P 在y 轴的正半轴上，⊙P 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于点A ，以AC 为直角边作等腰Rt △ACD ，连接BD 分别交y 轴和AC 于E 、F 两点，连接AB ．
（1）求证：AB ＝AD ；
（2）若BF ＝4，DF ＝6，求线段CD 的长； （3）当⊙P 的大小发生变化而其他条件不变时，DE
AO
的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．。