高三数学高频错题卷文试题

卜人入州八九几市潮王学校〔全国Ⅰ卷〕
2021届高三数学高频错题卷文
总分值是：150分
时间是：120分钟
班级：考号：
本卷须知：
2．请将答案正确填写上在答题卡上
第I 卷〔选择题〕
一、单项选择题〔此题一共12题，每一小题5分，一共60分〕
集合
2{N|4},{|9<0}A x x B x x =∈≤-，那么A B =〔〕
A. B. C.
D.
曲线
1ln x y x a
=
+在1x =处的切线l 与直线320x y +=垂直，那么实数a 的值是〔〕 A.2
B.
3
5
C.
12
D.35
-
函数
2()ln()ln()1f x x e x e x =+-++的图象大致为〔〕
A
B
C
D
过双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=><的右焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 左支交于点A ，假设
||||OF OA =，那么C 的离心率为〔〕
2
B.2 5函数
31
21x x
f x x x e e =-++-
（），其中e 是自然对数的底数假设
2122f a f a -+≤（）（），那么
实数a 的取值范围是〔〕
A.[-1，
32
] B.[-
3
2
，1] C.[-1，
12
] D.[-
1
2
，1] 假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的外表积是4π，那么其侧棱长为〔〕
A
33
B.233
C.223
D.
23-
函数
||sin ,,)0(00x f x A x e A ωωϕϕπ-=+>><⋅<()()的图象如以下图，那么A ω的可能取值
为〔〕
A.
2π
B.π
C.32
ππ x =a 是函数3()12f x x x =-的极小值点，那么a =〔〕
A ．-4
B ．-2
C ．4
D ．2
如图，一个正四棱锥
–A
D 和一个正三棱锥
–
的所有棱长都相
等,F 为棱的中点，将、,、，、分别对应重合为P,B,C,得
到组合上体.关于该组合体有如下三个结论：①AD ⊥SP ；②AD ⊥SF ；③AB//SP.其中错误结论的个数是()
抛物线C:y 2
=2px 〔p>0〕的焦点为F ，且F 到准线l 的间隔为2，直线1l ：x-my-=0与抛物线C 交于P 、Q
两点〔点P 在x 轴上方〕，与准线l 交于点R ，假设|QF|=3，
那么
QRF PRF
S S
=〔〕
A
57
B.
37
C.
67
D.
97
函数
()f x 的导函数
()2f x sinx '=+，且(0)1f =-，数列{}n a 是以
4
π
为公差的等差数列，假设
234(3f a f a f a π++=)()()，那么2016
2
a a
=〔〕
A ．2021
B ．2021
C ．2021
D ．2021
函数f(x )＝－x 3
＋ax 2
－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，那么实数a 的取值范围是()
A ．[－，]
B ．(－，)
C ．(－∞，－)∪(，＋∞)
D ．(－∞，－)
第II 卷〔非选择题〕
二、填空题〔此题一共4题，每一小题5分，一共20分〕 向量()()2,1,1,2,a b =
-=那么2a b -=____.
两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，那么该球的外表积为_________.
假设双曲线c ：-=1〔a >0，b>0〕的一条渐近线被圆x 2+(y+2)2
=4所截得的弦长为2，那么双曲线C 的离
心率为______. 数列{a n }满足a 1=1；()121n
n a a n ++=+〔n
N*〕，那么a 2021-a 2021=_______.
1324359810099101
11111
...a a a a a a a a a a +++++=_______. 三、解答题〔第17题10分，第18-22题每一小题12分，一共70分〕 数列{}n a 的前n 项和为2
1
1,,0(2)2
n n n n n S a s a S a n =-+=≥. 〔1〕求证：数列1
{
}n
S 是等差数列; 〔2〕假设1,=32,n
n n S n C n n -⎧⎪
+⎨⎪⎩
为奇数为偶数，设数列{}n C 的前n 项和为n T ，求2n T
18.
某校高三文科(1)班一共有学生45人,其中男生15人,女生30人在一次地理考试后,对成绩作了数据分析(总分值是100分),成绩为85分以上的同学称为“地理之星〞,得到了如以下图表:
地理之星 非地理之星 合计
男生 女生 合计
假设从全班45人中任意抽取1人,抽到“地理之星"的概率为
〔1〕完成“地理之星〞与性别的2×2列联表,并答复是否有90%以上的把握认为获得“地理之星〞与
“性别〞有关
〔2〕假设此次考试中获得“地理之星〞的同学的成绩平均值为90,方差为,请你判断这些同学中是否有
得到总分值
参考公式:K 2
=,其中n=a +b+c+d.
临界值表： 如以下
图，四棱
锥的底面是梯形，且
AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，
〔1〕求证：CE ⊥AB ；
〔2〕假设CE =AB=2，求三棱锥
的高.
在平面直角坐标系
中，椭圆的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆O ：
.
〔1〕假设PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；
〔2〕假设圆O 的半径为2，点P ，Q 满足，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值.
函数
()(R,0)x
kx
f x k k e =
∈≠(e 为自然对数的底数). 〔1〕讨论函数()f x 的单调性;.
〔2〕当1,0k
x =≥时,假设2()()0f x f x ax +-+≤恒成立，务实数a 的取值范围，
函数f(x )＝1＋ln x －ax 2
.
P(≥)
〔1〕讨论函数f(x)的单调区间；
〔2〕证明：xf(x)<·e x＋x－ax3.
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
【解析】
5．【答案】C
【解析】此题主要考察函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考察的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.
设g〔x〕=x3-2x+1+e x-，那么g〔-x〕=〔-x〕3-2〔-x〕+e-x-
=-x3-2x+1
x
e
-e x=-g〔x〕，
所以函数g〔x〕是奇函数。

因为g'〔x〕=3x2-2+e x+≥3x2-2+2=3x2≥0，
所以g〔x〕是R上的增函数。

又f〔x〕=g〔x〕+1，所以不等式f〔a-1〕+f〔2a2〕≤2等价于g〔a-1〕+1+ g〔2a2〕+1≤2，
即g〔2a2〕≤-g〔a-1〕，即g〔2a2〕≤g〔1-a〕，
所以2a2≤1-a，解得-1≤a≤，
应选C.
6．【答案】B
【解析】
设三棱锥的侧棱长为a，将该三棱锥补成棱长为a的正方体，那么棱长为a的正方体的体对角线与三棱锥外接球的直径相等.因为三棱锥外接球的外表积为4π，所以其外接球的半径为1，所以a=2，解得a=，
应选B.
7．【答案】B
【解析】此题主要考察函数的奇偶性、函数的图象等，考察的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.
由题图知，函数f〔x〕为偶函数.
因为函数y=e-|x|为偶函数，所以函数y=sinAsin(x+)为偶函数，
所以=kπ+〔k Z〕.因为0<<π，所以=，
所以f〔x〕=Asin(x+)·e-|x|=Acos〔x〕·e-|x|.
由题图知
,即∴，
所以A
应选B
8．【答案】D
9．【答案】A
【解析】由于正四棱锥-A D和正三棱锥-S所有的棱长都相等,可以叠放在一起,得到组合体PAD-SBC,把其放在两个一样的正四棱柱拼成的几何体内,如以下图，点P对应左侧正四棱柱上底面的
中心,点S 对应右侧正四棱柱上底面的中心,由图可知拼成的组合体PAD-SBC 是一个三棱柱，所以
SP//AB,设E 为AD 的中点,连接PE,EF,FS,可知AD ⊥SP,AD ⊥平面PEFS,所以AD ⊥SF,故三个结论都正确,选A. 10．【答案】C 【解析】
由焦点F 到准线l 的间隔为2，得p=2，即y 2
=4x.设P 〔x p ，y p 〕，Q 〔x Q ，y Q 〕，
如图作QQ'⊥于l 于点Q'，PP'⊥l 于点P'，那么QQ'//PP'.因为|QF|=3=x Q +1，
所以x Q
，消元化简得
x 2-(4m 2
+2
)x+5=0，由根与系数的关系得x Q x p =5,
所以x p ，所以====
=
应选C 11．【答案】B 12．【答案】A 13．【答案】5
【解析】由己知得∣
a
→
∣=∣
b
→
∣=,且
a →
b
→
=0,所以∣
2a b
→
→
-∣
2
(2)
a b →→
-2
2
445455a a b b →→→
→-+=+⨯=.
14．【答案】9π
【解析】易知球心在两四棱锥顶点连线的中点，设体积较小的锥体的高为
x
，那么
222)2
()2()2(x x
x +=+
解得1=x ，半径为
2
3
，所以外表积为π9
15．【答案】
23
3
【解析】此题主要考察双曲线的性质、直线与圆的位置关系，考察考生分析、解决问题的才能，逻辑思维才能，考察的核心素养是逻辑推理、数学运算.
解法一不妨设渐近线的方程为y=x ，即bx-a y=0，圆的圆心为〔0，-2〕，半径为2.因为截得的弦长为2，
所以圆心到直线的间隔为
，
结合点到直线的间隔公式得=，即
23a
c
=， 所以双曲线C 的离心率e==
解法二不妨设渐近线过一、三象限，由题意知圆过原点O 且半径为2，如以下图，记圆的圆心为B ，渐近线与圆的另一个交点为A ，连接AB ，那么△OAB 为正三角形，所以该渐近线的
倾斜角为，即渐近线的斜率k==tan =
，
所以双曲线c 的离心率e====
16．【答案】
【解析】此题主要考察数列的递推关系式、裂项相消法求和，考察考生的运算求解才能
先根据数列{a n }。

的递推关系式得a n+1-a n-1=2〔n≥2〕，即可得到a 二零二零—二零二壹a 的值及数列{a n }的奇数项和偶数项分别是公差为2的等差数列，然后利用裂项相消法求解. ∵()121n
n a a n ++=+〔n
N*〕，当n≥2时，a n-1+a n =2n ，
∴a n+1-a n-1=2，∴a 二零二零—二零二壹a =2，数列{a n }的奇数项和偶数项分别是公差为2的等差数列，又a 1=l ，
a 2=3
∴
+++…++=2××()+=
-=
17．【答案】本小题主要考察n a 与n S 的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等根底知识，考察运算求解才能，考察化归与转化思想等．总分值是12分． 解：〔Ⅰ〕证明：因为当2n ≥时，1n n n a S S -=-， 所以2
11()0n n n n n n S S S S S S ----+-=． 所以110n n n n S S S S --+-=, 因为11,2a =
所以21
6
a =-，所以10n n S S -≠， 所以
1
111n n S S --=．
所以1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是以11
2S =为首项，以1为公差的等差数列．
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得
()1211n n n S =+-=+，所以1
1
n S n =
+. ∴1321211111
11()(222)22446
222
n n
T n n -=
-+-++
-+++++
18．【答案】
(1)易知“地理之星〞总人数为45×=15,得到2×2列联表如下:
地理之星
非地理之星
合计 男生 7 8 15 女生 8 22 30 合计
15
30
45
那么所以没有90%以上的把握认为获得“地理之星〞与“性
别〞有关.
那么
①假设有两个及以上得总分值是，
那么=[+++…+
]>>,不符合题意.
②假设恰有一个总分值
[+4×+10×
]=>,与题意方差为不符.
综上,这些同学中没有得总分值是的同学.
(也可以从一个总分值是讨论人手,推导一个不符合题意,两个更不符合题意)
19．【答案】本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等根底知识，考察空间想象才能、推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想等．总分值是12分． 〔Ⅰ〕证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如以下图．
因为点E 是PB 中点，
所以//EF
AB 且2AB
EF =
． 又因为//AB CD 且2
AB
CD =，
所以//EF CD 且EF CD =，
所以四边形EFDC 为平行四边形，
所以//CE DF ，
因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥ 所以CE AB ⊥
〔Ⅱ〕解：设点O 为PD 的中点，连结
AO ，如以下图，
因为3
,22
EC AB =
=， 由〔Ⅰ〕知，3,2
DF =
又因为2AB =，所以1PD AD ==， 所以2223
22211,4
AP AF AD DF ==-=-
=
所以ADP ∆为正三角形，
所以AO PD ⊥，且32AO =． 因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，
所以CD ⊥平面PAD ．
因为AO ⊂平面PAD ，
所以CD AO ⊥
， 又因为PD CD D =，所以AO ⊥平面PCD ．
所以三棱锥A PCD -的高为32
． 20．【答案】〔Ⅰ〕因为椭圆C 的方程为22
143
x y +=，所以(2,0)A -，(1,0)F 因为PF x ⊥轴，所以3(1,)2P ±，而直线AP 与圆O 相切，根据对称性，可取3(1,)2P ，那么直线AP 的方程为
1(2)2
y x =+，即220x y -+=. 由圆O 与直线AP 相切，得25r =
，所以圆O 的方程为2245x y += 〔Ⅱ〕易知，圆O 的方程为224x y +=.
①当PQ x ⊥轴时，234
OP OQ OP k k k ⋅=-=-，所以32OP k =±， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为22.
②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为
y kx b =+， 112212(,),(,)(0)P x y Q x y x x ≠，
首先由34
OP OQ k k ⋅=-，得1212340x x y y +=， 即121234()()0x x kx b kx b +++=，所以221212(34)4()40k x x kb x x b ++++=〔*〕.
x y
A O F P
联立22
143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222(34)84120k x kbx b +++-=，在0∆>时 21212228412,3434kb b x x x x k k
-+=-=++代入〔*〕式，得22243b k =+. 由于圆心O 到直线PQ 的间隔为2||
1b d k =+， 所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为2222481
l d k =-=++，故当0k =时，l 有最大值为10. 综上，因为1022>，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为10.
21．【答案】(1)由,得ƒ'()=
假设k>0,当∈(-∞,1)时,ƒ'()>0,函数ƒ()单调递增，
当∈(1,+∞)时,ƒ'()<0,函数ƒ()单调递减;
假设k<0,当∈(-∞,1)时,ƒ'()<0,函数f(x)单调递减，
当∈(1,+∞)时,ƒ'()>0,函数ƒ()单调递增.
(2)当k=1,≥0时ƒ()+ƒ(
)+≤0等价于≤0， 当=0时,a ∈>0时,得a
≤,设g()=a ,那么g()≥0恒成立，g'()=a ,假设a ≤2,那么g'()=
,函数g()单调递增，所以g()>0,所以a ≤2符合题意;假设a >2,令g'()=
a =0,那么(*),存在>0,使得=>1,即=ln 为方程(*)的解,所以当∈(0,
)时,g'()<0,函数g()单调递减,当∈(,+∞)时,g'()>0,函数g()单调递增,所以必存在∈(0,),使得g()<0,与g(a >2不合题意,舍去.
综上可知,a ≤2,即实数a 的取值范围是(-∞,2].
22．【答案】
(1)f(x)＝1＋ln x－ax2的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－2ax＝.
所以当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝.
即当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为.
当x∈时，f′(x)<0，f(x)的单调递减区间为.
(2)证明：要证xf(x)<·e x＋x－ax3，即证x ln x<·e x，也即<.
令g(x)＝·(x>0)，
g′(x)＝·＝·，
当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)的最小值为g(2)＝.
令k(x)＝，那么k′(x)＝，
当0<x<e时，k′(x)>0，k(x)单调递增；当x>e时，k′(x)<0，k(x)单调递减，所以k(x)的最大值为k(e)＝，
因为<，所以k(x)<g(x)，即<.
所以xf(x)<·e x＋x－ax3.。