初一数学下册期末试卷填空题汇编精选试题含解析(16)

一、填空题
1．x
y
的值是____． 答案：【分析】
首先根据与互为相反数，可得+=0，进而得出，然后用含的代数式表示，再代入求值即可． 【详解】
解：∵与互为相反数， ∴+=0， ∴ ∴ ∴．
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查了实数 解析：1
2
【分析】
，进而得出1120-+-=y x ，然后用含x 的代数式表示y ，再代入求值即可． 【详解】
解：∵
∴
，
∴1120-+-=y x ∴2y x = ∴
1=22
x x y x =． 故答案为：1
2． 【点睛】
本题主要考查了实数的运算以及相反数，根据相反数的概念求得y 与x 之间的关系是解题关键．
2．如图，将一副三角板按如图放置（60E ∠=︒，45B ∠=︒），则下列结论： ①13∠=∠；
②如果230∠=︒，则有//BC AE ； ③如果123∠=∠=∠，则有//BC AE ； ④如果//AB ED ，必有30EAC ∠=︒．
其中正确的有___（填序号）．
答案：①③④ 【分析】
根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可． 【详解】 解：， ，故①正确， 当时，，， ，
故与不平行，故②错误， 当时，可得， ，故③正确， 取与的交点为， ，， ， ，
解析：①③④ 【分析】
根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可． 【详解】
解：90EAD CAB ∠=∠=︒，
13∠∠∴=，故①正确，
当230∠=︒时，360∠=︒，445∠=︒，
34∴∠≠∠，
故AE 与BC 不平行，故②错误， 当123∠=∠=∠时，可得3445∠=∠=︒，
//BC AE ∴，故③正确，
取AC 与ED 的交点为F ，
60E ∠=︒，//AB ED ，
90FAB EFA ∴∠=∠=︒， 906030EAC ∴∠=︒-︒=︒，
故④正确，
故答案是：①③④． 【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角板的性质．
3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断移动，每移动一个单位，得到点1(0,1)A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，…，那么点2021A 的坐标为__________．
答案：【分析】
由题意可知，每隔四次移动重复一次，继续得出A5，A6，A7，A8，…，归纳出点An 的一般规律，从而可求得结果． 【详解】 ∵，，，
∴根据点的平移规律，可分别得：，，，，，，，，…，，， 解析：()1010,1
【分析】
由题意可知，每隔四次移动重复一次，继续得出A 5，A 6，A 7，A 8，…，归纳出点A n 的一般规律，从而可求得结果．
【详解】
∵1(0,1)A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A
∴根据点的平移规律，可分别得：()52,1A ，()63,1A ，()73,0A ，()84,0A ，()94,1A ，
()105,1A ，()115,0A ，()126,0A ，…，()4322,1n A n --，()4221,1n A n --，()4121,0n A n --，
()42,0n A n
∵2021=505×4+1
∴2021A 的横坐标为2×505=1010，纵坐标为1 即2021(1010,1)A 故答案为：()1010,1 【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的规律问题，点平移的坐标特征，体现了由特殊到一般的数学思想，关键是由前面若干点的的坐标寻找出规律．
4．如图：在平面直角坐标系中，已知P 1（﹣1，0），P 2（﹣1，﹣1），P 3（1，﹣1），P 4（1，1），P 5（﹣2，1），P 6（﹣2，﹣2）…，依次扩展下去，则点P 2021的坐标为 _____________．
答案：（﹣506，505） 【分析】
根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在D 第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2021的在第二象限，且
解析：（﹣506，505） 【分析】
根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在D 第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P 2021的在第二象限，且纵坐标＝2020÷4，再根据第二项象限点的规律即可得出结论． 【详解】
解：∵P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2）…，
∴下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，
∵2021÷4＝505…1，
∴点P2021在第二象限，
∵点P5（﹣2，1），点P9（﹣3，2），点P13（﹣4，3），
∴点P2021（﹣506，505），
故答案为：（﹣506，505）．
【点睛】
本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，该位置处点的规律，然后就可以进一步推得点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（纵横坐标都是整数的点），其顺序按图中“→”方向排列如（1，1），（2，1），（2，2），（1,2），（1,3），（2,3）…根据这个规律探索可得，第2021个点的坐标为_____．
答案：（45,5）
【分析】
观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于正方形直线上，最右边的点的横坐标的平方，并且点的横坐标是奇数时，最后以横坐标为该数，纵坐标为1结束，当右下角的点横坐
解析：（45,5）
【分析】
y 直线上，最观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于正方形1
右边的点的横坐标的平方，并且点的横坐标是奇数时，最后以横坐标为该数，纵坐标为1结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以偶数为横坐标，纵坐标为右下角横坐标的偶数的点结束，根据此规律解答即可．
【详解】
解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于1y =直线上最右边的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，211=，
右下角的点的横坐标为2时，如下图点(2,1)A ，共有4个，242=， 右下角的点的横坐标为3时，共有9个，293=，
右下角的点的横坐标为4时，如下图点(4,1)B ，共有16个，2164=， ⋯
右下角的点的横坐标为n 时，共有2n 个，
2452025=，45是奇数，
∴第2025个点是(45,1)，
202520214-=，
点是(45,1)向上平移4个单位，
∴第2021个点是(45,5)．
故答案为：(45,5)． 【点睛】
本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键． 6．一只电子玩具在第一象限及x ，y 轴上跳动，第一次它从原点跳到（0，1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2021次跳到点______．
答案：（3，44） 【分析】
由题意分析得（0，1）用的次数是1次，即次，（0，2）用的次数是8次，即次，（0，3）用的次数是9次，即次，（0，4）用的次数是24次，即次，
（0，5）用的次数是25次，即次
解析：（3，44）
【分析】
由题意分析得（0，1）用的次数是1次，即21次，（0，2）用的次数是8次，即24
⨯次，
⨯次，（0，5）用（0，3）用的次数是9次，即23次，（0，4）用的次数是24次，即46
的次数是25次，即25次，以此类推，（0，45）用的次数是2025次，即2
45次，后退4次可得2021次所对应的坐标．
【详解】
由题可知，电子玩具是每次跳一个单位长度，
则（0，1）用的次数是1次，即21次，
（0，2）用的次数是8次，即24
⨯次，
（0，3）用的次数是9次，即23次，
⨯次，
（0，4）用的次数是24次，即46
（0，5）用的次数是25次，即25次，
…
以此类推，（0，45）用的次数是2025次，即2
45次，
2025-1-3=2021，
∴第2021次时电子玩具所在位置的坐标是（3，44）．
故答案为：（3，44）．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而确定次数的规律．
7．对于任意有理数a，b，规定一种新的运算a⊙b＝a（a+b）﹣1，例如，2⊙5＝2×
（2+5）﹣1＝13．则（﹣2）⊙6的值为_____
答案：-9
【分析】
直接利用已知运算法则计算得出答案．
【详解】
（﹣2）⊙6
＝﹣2×（﹣2+6）﹣1
＝﹣2×4﹣1
＝﹣8﹣1
＝﹣9．
故答案为﹣9．
【点睛】
此题考察新定义形式的有理数计算，
解析：-9
直接利用已知运算法则计算得出答案．
【详解】
（﹣2）⊙6
＝﹣2×（﹣2+6）﹣1
＝﹣2×4﹣1
＝﹣8﹣1
＝﹣9．
故答案为﹣9．
【点睛】
此题考察新定义形式的有理数计算，正确理解题意是解题的关键，依据题意正确列代数式计算即可.
8．对于有理数a，b，规定一种新运算：a※b=ab+b，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a※b=b※a，则a=b；③方程（x﹣4）※3=6的解为x=5；④
（a※b）※c=a※（b※c）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．
答案：①③
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若 a=b ，两式相等，若
解析：①③
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若 a=b ，两式相等，若a≠b，则两式不相等，所以②错误；
方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；
左边=(a※b) ※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c
右边=a※（b※c）=a※(b×c+c)=a(b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c2
两式不相等，所以④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故答案为①③.
【点睛】
有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．
9．现定义一种新运算：对任意有理数a、b，都有a⊗b=a2﹣b，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5. 故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解析：5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5. 故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．已知a n ＝
()
2
1
1n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1
－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．
答案：． 【详解】
根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=． 解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=． “点睛”本题
解析：
2
1
n n ++． 【详解】
根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=1312
21-4211+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=314221-29321+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n =21
n n ++．
解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=
2
1
n n ++． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．
11．我们可以用符号f (a )表示代数式．当a 是正整数时，我们规定如果a 为偶数，f (a )＝0.5a ；如果a 为奇数，f (a )＝5a +1．例如：f (20)＝10，f (5)＝26．设a 1＝6，a 2＝f (a 1)，a 3＝f (a 2)…；依此规律进行下去，得到一列数：a 1，a 2，a 3，a 4…(n 为正整数)，则2a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 6+…+a 2013﹣a 2014+a 2015＝_____．
答案：7 【分析】
本题可以根据代数式f （a ）的运算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6 ，a7的值，根据规律找出部分an 的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论
解析：7
本题可以根据代数式f（a）的运算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的值，根据规律找出部分a n的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论．
【详解】
解：观察，发现规律：a1=6，a2=f（a1）=3，a3=f（a2）=16，a4=f（a3）=8，a5=f（a4）=4，a6=f（a5）=2，a7=f（a6）=1，a8=f（a7）=6，…，
∴数列a1，a2，a3，a4…（n为正整数）每7个数一循环，
∴a1-a2+a3-a4+…+a13-a14=0，
∵2015=2016-1=144×14-1，
∴2a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2013-a2014+a2015=a1+a2016+（a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2015-a2016）
=a1+a7=6+1=7．
故答案为7．
【点睛】
本题考查了规律型中的数字的变化类以及代数式求值，解题的关键是根据数的变化找出变换规律，并且巧妙的借助了a1-a2+a3-a4+…+a13-a14=0来解决问题．
12．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，
然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，
②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1，
所以S=．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出
1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正确答案是 ______ ．
答案：.
【解析】
试题分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…………………①，
在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋
m2017…………………②
②一①得：
解析：.
【解析】
试题分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…………………①，
在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017…………………②
②一①得：mS―S＝m2017－1.
∴S＝.
考点：阅读理解题；规律探究题.
13．若[x ]表示不超过x 的最大整数．如[π]＝3，[4]＝4，[﹣2.4]＝﹣3．则下列结论： ①[﹣x ]＝﹣[x ]；
②若[x ]＝n ，则x 的取值范围是n ≤x ＜n +1；
③x ＝﹣2.75是方程4x ﹣[x ]+5＝0的一个解；
④当﹣1＜x ＜1时，[1+x ]+[1﹣x ]的值为1或2．
其中正确的结论有 ___（写出所有正确结论的序号）．
答案：②④
【分析】
根据若表示不超过的最大整数，①取验证；②根据定义分析；③直接将代入，看左边是否等于右边；④以0为分界点，分情况讨论．
【详解】
解：①当x ＝2.5时，[﹣2.5]＝﹣3，﹣[2.5]
解析：②④
【分析】
根据若[]x 表示不超过x 的最大整数，①取 2.5x 验证；②根据定义分析；③直接将 2.75-代入，看左边是否等于右边；④以0为分界点，分情况讨论．
【详解】
解：①当x ＝2.5时，[﹣2.5]＝﹣3，﹣[2.5]＝﹣2，
∴此时[﹣x ]与﹣[x ]两者不相等，故①不符合题意；
②若[x ]＝n ，
∵[x ]表示不超过x 的最大整数，
∴x 的取值范围是n ≤x ＜n +1，故②符合题意；
③将x ＝﹣2.75代入4x ﹣[x ]+5，得：
4×（﹣2.75）﹣（﹣3）+5＝﹣3≠0，故③不符合题意；
④当﹣1＜x ＜1时，
若﹣1＜x ＜0，[1+x ]+[1﹣x ]＝0+1＝1，
若x ＝0，[1+x ]+[1﹣x ]＝1+1＝2，
若0＜x ＜1，[1+x ]+[1﹣x ]＝1+0＝1；故④符合题意；
故答案为：②④．
【点睛】
本题主要考查取整函数的定义，是一个新定义类型的题，解题关键是准确理解定义求解． 14．如图，一个点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点()0,0运动到()0,1，然后接着按图中箭头所示方向运动，即()()()()0,00,11,11,0→→→，…，且每秒运动一个单位，到()1,1点用时2秒，到()2,2点用时6秒，到()3,3点用时12秒，…，那么第421秒时这个点所在位置的坐标是____．
答案：【分析】
由题目中所给的点运动的特点找出规律，即可解答．
【详解】
由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为（x，y）
到达（1，0）时用了3秒，到达（2，0）时用了4秒，
从（2，
19,20
解析：()
【分析】
由题目中所给的点运动的特点找出规律，即可解答．
【详解】
由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为（x，y）
到达（1，0）时用了3秒，到达（2，0）时用了4秒，
从（2，0）到（0，2）有四个单位长度，则到达（0，2）时用了4+4=8秒，到（0，3）时用了9秒；
从（0，3）到（3，0）有六个单位长度，则到（3，0）时用9+6=15秒；
依此类推到（4，0）用16秒，到（0，4）用16+8=24秒，到（0，5）用25秒，到（6，0）用36秒，到（6，6）时用36+6=42秒…，
可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为x2秒，在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为y2秒，
∵20×20=400
∴第421秒时这个点所在位置的坐标为（19，20），
故答案为：（19，20）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．
15．1
x-（y+1）2＝0，则（x+y）3＝_____．
答案：0
【分析】
根据非负数的性质列式求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵+（y+1）2＝0
∴x ﹣1＝0，y+1＝0，
解得x ＝1，y ＝﹣1，
所以，（x+y ）3＝（1﹣1）
解析：0
【分析】
根据非负数的性质列式求出x 、y ，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵（y +1）2＝0
∴x ﹣1＝0，y +1＝0，
解得x ＝1，y ＝﹣1，
所以，（x +y ）3＝（1﹣1）3＝0．
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．在平面直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0），其中a ，b 满足|a ﹣2|＋（b ﹣
3）2＝0．点M 的坐标为（32
-，1），点N 是坐标轴的负半轴上的一个动点，当四边形ABOM 的面积与三角形ABN 的面积相等时，此时点N 的坐标为___________________． 答案：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）
【分析】
分点N 在x 轴的负半轴上或y 轴的负半轴上两种情况讨论即可．
【详解】
∵|a ﹣2|＋（b ﹣3）2＝0．
∴a ＝2，b ＝3，
∴A （0，2），B （3，0），
∵
解析：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）
【分析】
分点N 在x 轴的负半轴上或y 轴的负半轴上两种情况讨论即可．
【详解】
∵|a ﹣2|＋（b ﹣3）2＝0．
∴a ＝2，b ＝3，
∴A （0，2），B （3，0），
∵点M 的坐标为（32
-，1）， ∴四边形ABOM 的面积＝S △AMO ＋S △ABO 12=⨯23122⨯+⨯2×392
=，
当点N在y轴的负半轴上时，1
2•AN•OB
9
2
=，
∴AN＝3，ON＝AN﹣OA＝1，∴点N的坐标为（0，﹣1），
当点N在x轴负半轴上时，1
2•BN•AO
9
2
=，
∴BN＝4.5，ON＝BN﹣OB＝1.5，
∴点N的坐标为（﹣1.5，0），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（0，﹣1）或（﹣1.5，0）．
故答案为：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，多边形面积等知识，关键是学会利用分割法求四边形的面积，用分类讨论思想思考问题．
17．已知M是满足不等式a<N M N
+的平方根为__________．
答案：±3
【分析】
先通过估算确定M、N的值，再求M+N的平方根．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴a的整数值为：-1，0，1，2，
M=-1+0+1+2=2，
∵，
∴，
N=7
解析：±3
【分析】
先通过估算确定M、N的值，再求M+N的平方根．
【详解】
解：∵<
∴221，
∵
∴23<，
∵a <
∴23a -<<，
∴a 的整数值为：-1，0，1，2，
M=-1+0+1+2=2， ∵
∴78<，
N=7，
M+N=9，
9的平方根是±3；
故答案为：±3．
【点睛】
本题考查了算术平方根的估算，用“夹逼法”估算算术平方根是解题关键．
18．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x ，y)，如果点Q(x ，'y )的纵坐标满足
()()
x y x y y y x x y -≥⎧=⎨-<'⎩当时当时，那么称点Q 为点P 的“关联点”．请写出点(3，5)的“关联点”的坐标_______；如果点P(x ，y)的关联点Q 坐标为(－2，3)，则点P 的坐标为________． 答案：（3，2）； （-2，1）或（-2，-5）．
【分析】
根据关联点的定义，可得答案．
【详解】
解：∵3＜5，根据关联点的定义，
∴y′=5-3=2，
点（3，5）的“关联点”的坐标（
解析：（3，2）； （-2，1）或（-2，-5）．
【分析】
根据关联点的定义，可得答案．
【详解】
解：∵3＜5，根据关联点的定义，
∴y′=5-3=2，
点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2）；
∵点P （x ，y ）的关联点Q 坐标为（-2，3），
∴y′=y -x=3或x-y=3，
即y-（-2）=3或（-2）-y=3，
解得：y=1或y=-5，
∴点P 的坐标为（-2，1）或（-2，-5）．
故答案为：（3，2）；（-2，1）或（-2，-5）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，理清“关联点”的定义是解答本题的关键．
19．如图，//AC BD ，BC 平分ABD ∠，设ACB ∠为α，点E 是射线BC 上的一个动点，若:5:2BAE CAE ∠∠=，则CAE ∠的度数为__________．（用含α的代数式表示）．
答案：或
【分析】
根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据 解析：41203α︒-或
36047α︒-
【分析】
根据题意可分两种情况，①若点E 运动到1l 上方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由
5:2BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠+∠，列出等量关系求解即可得出结论；②若点E 运动到1l 下方，根据平行线的性质由α可计算出CBD ∠的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出BAC ∠的度数，再由5:2
BAE CAE ∠∠=，BAE BAC CAE ∠=∠-∠列出等量关系求解即可得出结论．
【详解】
解：如图，若点E 运动到l 1上方，
//AC BD ，
CBD ACB α∴∠=∠=，
BC 平分ABD ∠，
22ABD CBD α∴∠=∠=，
1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-，
又5
:2
BAE CAE ∠∠=，
5():2BAC CAE CAE ∴∠+∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒-+∠∠=
， 解得180241205312
CAE αα︒-∠==︒--； 如图，若点E 运动到l 1下方，
//AC BD ，
CBD ACB α∴∠=∠=，
BC 平分ABD ∠，
22ABD CBD α∴∠=∠=， 1801802BAC ABD α∴∠=︒-∠=︒-，
又5:2BAE CAE ∠∠=，
5():2BAC CAE CAE ∴∠-∠∠=， 5(1802):2CAE CAE α︒--∠∠=
， 解得180236045712
CAE αα︒-︒-∠==+． 综上CAE ∠的度数为41203α︒-或
36047α︒-． 故答案为：41203α︒-或
36047
α︒-． 【点睛】 本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键． 20．如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（//PQ MN ）各安置一探照灯A ，BC （A 在B 的左侧），灯A 发出的射线AC 从AM 开始以a 度/秒的速度顺时针旋转至AN 后立即回转，灯B 发出的射线BD 从BP 开始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ 后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线AC 第一次经过点B ，此时55ABD ∠=︒，则
a =________，两灯继续转动，射线AC 与射线BD 交于点E （如图2），在射线．．．BD ．．到达．．BQ ．．之前．．
，当120AEB ∠=︒，MAC ∠的度数为________．
答案：或．
【分析】
（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可； （2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC 没到达AN 时，；②
解析：120︒或60︒．
【分析】
（1）由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可；
（2）由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成两种情况进行分析：①射线AC 没到达AN 时，120AEB ∠=︒；②射线AC 到达AN 后，返回旋转的过程中，120AEB ∠=︒；分别求出答案即可．
【详解】
解：（1）如图，射线AC 第一次经过点B ，
∵//PQ MN ，
∴M AB ABP ABD DBP ∠=∠=∠+∠，
∴55MAB DBP ∠=︒+∠，
∴5555551a =︒+⨯︒，
解得：2a =；
故答案为：2．
（2）①设射线AC 的转动时间为t 秒，则如图，作EF //MN //PQ ，
由旋转的性质，则1802
∠=︒-︒，PBE t
EAN t
∠=︒，
∵EF//MN//PQ，
∴1802
∠=∠=︒，
∠=∠=︒-︒，FEB PBE t
AEF EAN t
∵120
∠=∠+∠=︒，
AEB AEF FEB
∴1802120
︒-︒+︒=︒，
t t
t=（秒），
∴60
∴260120
∠=⨯=︒；
MAC
②设射线AC的转动时间为t秒，则如图，作EF//MN//PQ，此时AC为达到AN之后返回途中的图像；
与①同理，
∴3602
MAC t
∠=︒-︒，180
∠=︒-︒，
QBE t
∵120
∠=∠+∠=︒，
AEB AEF FEB
∴3602180120
︒-︒+︒-︒=︒，
t t
t=（秒）；
解得：120
∴360212060
∠=︒-⨯=︒；
MAC
∠的度数为：120︒或60︒；
综合上述，MAC
故答案为：120︒或60︒．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题．
21．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF 的度数为 _____．
答案：45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
过作，
，
，
，，
，
，
同理可得，
由折叠可
解析：45°或135°
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，
MN AB，
过M作//
//
AB CD，
∴，
////
AB CD NM
∴∠=∠，NMF MFC
AEM EMN
∠=∠，
∠=︒，
EMF
90
90AEM CFM ∴∠+∠=︒，
同理可得P AEP CFP ∠=∠+∠， 由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 1()452
P AEM CFM ∴∠=∠+∠=︒， 如图2，
过M 作//MN AB ，
//AB CD ，
////AB CD NM ∴，
180AEM EMN ∴∠+∠=︒，180NMF MFC ∠+∠=︒，
360AEM EMF CFM ∴∠+∠+∠=︒，
90EMF ∠=︒，
36090270AEM CFM ∴∠+∠=︒-︒=︒，
由折叠可得：12AEP PEM AEM ∠=∠=∠，12
PFC PFM CFM ∠=∠=∠， 12701352
P ∴∠=︒⨯=︒， 综上所述：EPF ∠的度数为45︒或135︒，
故答案为：45°或135°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF 的度数．
22．如图，在平面内，两条直线1l ，2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．
答案：4
【分析】
到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；同理，点在与的
距离是1的点，在与平行，且到的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：
解析：4
【分析】
到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；同理，点M在与2l的距离是1的点，在与2l平行，且到2l的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；
到2l的距离是1的点，在与2l平行且与2l的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．
23．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝_____，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．
答案：或或
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠E
解析：30或120︒或165︒
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
②如图2中，当AD∥CE时，
∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．
③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．
∵AD∥BE，∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，
∴∠ACE＝75°+90＝165°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．
故答案为30°或120°或165°．
【点睛】
本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会
用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
24．如图①：MA 1∥NA 2，图②：MA11NA 3，图③：MA 1∥NA 4，图④：MA 1∥NA 5，……，
则第n 个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n+1______.（用含n 的代数式表示）
答案：【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2
解析：n 180︒
【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A 1+∠A 2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A 1+∠A 2+∠A 3=360∘=2×180∘，
如图③中,∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4=540∘=3×180∘，
…，
第n 个图, ∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n+1学会从=n 180︒，
故答案为180n ︒.
点睛：平行线的性质.
25．如图，将直角三角形ABC 沿AB 方向平移得到三角形4,1,4,3DEF AD EF CH ===，三角形ABC 周长为12．下列结论：①//BH EF ；②AD BE =；③ACB DFE ∠=∠；④四边形ACFE 的周长为14；⑤阴影部分的面积为203
．其中正确的是_________．
答案：①②③④
①由平移变换可知，因为点B 、H 、C 三点在同一条直线上可得出结论； ②由平移变换可知，可得到，，即可得出结论；
③因为平移前后角的度数是不变的，即可得出结论；
④由平移变换可知四边
解析：①②③④
【分析】
①由平移变换可知//BC EF ，因为点B 、H 、C 三点在同一条直线上可得出结论； ②由平移变换可知DE AB =，可得到AB AD DB =+，DE BE DB =+，即可得出结论； ③因为平移前后角的度数是不变的，即可得出结论；
④由平移变换可知四边形ADFC 是平行四边形，四边形ACFE 的周长为：
AD CF DE EF AC ++++，求解即可；
⑤S 阴影=ADFC HCF S
S -，根据条件求解即可． 【详解】
①DEF 是由ABC 平移得来的，
//,BC EF ∴ 又点B 、H 、C 三点在同一条直线上，
∴//BH EF ，
∴①正确；
②DEF 是由ABC 平移得来的，
,
,,,
DE AB AB AD DB DE BE DB AD BE ∴==+=+∴=
∴②正确；
③DEF 是由ABC 平移得来的，
∴平移前后角的度数是不变的，
∴ACB DFE ∠=∠，
∴③正确； ④三角形ABC 周长为12，
12AB BC AC ∴++=， DEF 是由ABC 平移得来的，
∴边的长度不变且//AC DF ，
12,
12,DE EF DF DE EF AC ∴++=∴++=
∴四边形ADFC 是平行四边形，
1,AD CF ∴==
四边形ACFE 的周长为：AD CF DE EF AC ++++，
∴四边形ACFE 的周长为：2+12=14，
⑤由④得四边形ADFC 是平行四边形，
1CF AD ∴==， S 阴影=ADFC HCF S S -，
,
,,
BC AE BC AD BC CF ⊥∴⊥∴⊥
S ∴阴影=12AD EF HC CF -
1414123
243
10,3
=⨯-⨯⨯=-= ∴⑤错误．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换，平行线的公理，平行四边形的性质，有一定综合性，熟练掌握和运用这些性质是解题的关键．
26．已知：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，若∠EOC ：∠EOD ＝2：3，则∠BOD 的度数为________．
答案：36°
【分析】
先设∠EOC ＝2x ，∠EOD ＝3x ，根据平角的定义得2x+3x ＝180°，解得x ＝36°，则∠EOC ＝2x ＝72°，根据角平分线定义得到∠AOC ∠EOC72°＝36°，然后根据对顶
解析：36°
【分析】
先设∠EOC ＝2x ，∠EOD ＝3x ，根据平角的定义得2x +3x ＝180°，解得x ＝36°，则∠EOC ＝2x ＝72°，根据角平分线定义得到∠AOC 12
=
∠EOC 12=⨯72°＝36°，然后根据对顶角相等得到∠BOD ＝∠AOC ＝36°．
【详解】
解：设∠EOC ＝2x ，∠EOD ＝3x ，根据题意得2x +3x ＝180°，解得x ＝36°，
∴∠EOC ＝2x ＝72°，
∵OA 平分∠EOC ，
∴∠AOC 12=∠EOC 12=⨯72°＝36°， ∴∠BOD ＝∠AOC ＝36°．
故答案为：36°
【点睛】
考查了角的计算，角平分线的定义和对顶角的性质．解题的关键是明确：1直角＝90°；1平角＝180°，以及对顶角相等．
27．如图，△ABC 沿AB 方向平移3个单位长度后到达△DEF 的位置，BC 与DF 相交于点O ，连接CF ，已知△ABC 的面积为14，AB ＝7，S △BDO ﹣S △COF ＝___．
答案：2
【分析】
如图，连接CD ，过点C 作CG ⊥AB 于G ．利用三角形面积公式求出CG ，再根据S △BDO ﹣S △COF ＝S △CDB ﹣S △CDF ＝求解即可．
【详解】
解：如图，连接CD ，过点C 作CG ⊥AB 于
解析：2
【分析】
如图，连接CD ，过点C 作CG ⊥AB 于G ．利用三角形面积公式求出CG ，再根据S △BDO ﹣
S △COF ＝S △CDB ﹣S △CDF ＝1122
DB CG CF CG ⋅⋅-⋅⋅求解即可． 【详解】
解：如图，连接CD ，过点C 作CG ⊥AB 于G ．
∵S △ABC ＝1
2•AB •CG ，
∴CG ＝2147⨯＝4， ∵AD ＝CF ＝3，AB ＝7，
∴BD ＝AB ﹣AD ＝7﹣3＝4，
∴S △BDO ﹣S △COF ＝S △CDB ﹣S △CDF ＝1111443422222
DB CG CF CG ⋅-⋅⋅=⨯⨯-⨯⨯=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 28．已知：如图，CD 平分ACB ∠，12180∠+∠=︒，3A ∠=∠，440∠=︒，则CED ∠=___．
答案：100°
【分析】
先由同位角相等，证得，进而证得，再由平行线的性质得出与的数量关系，然后由已知条件求得，最后用减去，即可求得答案．
【详解】
解：，
平分，
故答案为：．
【点睛
解析：100°
【分析】
先由同位角相等，证得//EF AB ，进而证得//AC DE ，再由平行线的性质得出CED ∠与ACB ∠的数量关系，然后由已知条件求得ACB ∠，最后用180︒减去ACB ∠，即可求得答案．
【详解】
解：12180∠+∠=︒，1180BDC ∠+∠=︒
2BDC ∴∠=∠
//EF AB ∴
3BDE ∴∠=∠
∠=∠
3A
∴∠=∠
A BDE
∴
AC DE
//
ACB CED
∴∠+∠=︒
180
CD平分ACB
∠，440
∠=︒
∴∠=∠=⨯︒=︒
ACB
2424080
∴∠=︒-∠=︒-︒=︒
CED ACB
180********
故答案为：100︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关判定定理与性质定理．29．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN，MF交于点O．若∠E+60°＝2∠F，则∠AMF的大小是___．
答案：【分析】
作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数．
【详解】
解：作，如图，
，
，
，，
是的平分线，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
解析：40︒
【分析】
作//EH AB ，则1AME ∠=∠，2CNE ∠=∠，而12AME AMF ∠=∠，所以12MEN AMF CNE ∠=∠+∠，同理可得12
F AMF CNE ∠=∠+∠，变形得到22F AMF CNE ∠=∠+∠，利用等式的性质得322
F E AMF ∠-∠=∠，加上已给条件602MEN F ∠+︒=∠，于是得到3602
AMF ∠=︒，易得AMF ∠的度数． 【详解】
解：作//EH AB ，如图，
//AB CD ，
//EH CD ，
1AME ∴∠=∠，2CNE ∠=∠，
EM 是AMF ∠的平分线，
12
AME AMF ∴∠=∠， 12MEN ∠=∠+∠，
12
MEN AMF CNE ∴∠=∠+∠， 同理可得，
12
F AMF CNE ∠=∠+∠， 22F AMF CNE ∴∠=∠+∠，
322
F MEN AMF ∴∠-∠=∠， 602MEN F ∠+︒=∠，即260F MEN ∠-∠=︒，
∴3602
AMF ∠=︒， 40AMF ∴∠=︒，
故答案为：40︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，合理作辅助线和把一般结论推广是解决问题的关键．
30．如图，半径为1的圆与数轴的一个公共点与原点重合，若圆在数轴上做无滑动的来回滚动，规定圆向右滚动的周数记为正数，向左滚动周数记为负数，依次滚动的情况如下（单位：周）：﹣3，﹣1，＋2，﹣1，＋3，＋2，则圆与数轴的公共点到原点的距离最远。