山东省德州一中10-11学年高二下学期期中考试(数学)A

德州一中2010-2011学年第二学期高二年级模块检测
数 学 试 题 （A 卷） 2011年4月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每个小题都有四个选项，其中，只有一个选项正确，请将正确选项的题号涂在答题卡的相应位置上，答对一个小题得5分）
1、一质点运动方程()2
12
s t gt =
（29.8 /g m s =）
，则 3 t s =时的瞬时速度为（ ） A . 20 B . 49.4 C . 29.4 D . 64.1
2、曲线2122y x x =
-在点31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭处的切线的倾斜角为（ ）
A . -1
B . 45°
C . -45°
D . 135°
3、若()()0, 1, 1, 1, 1, 0a b =-=，且()
a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ） A . -1 B . 0 C . 1 D . -2
4、平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成的角的大小为（ ） A . 30° B . 60° C . 45° D . 120°
5、命题“二次方程2
2
30x x a +-=有两个不等的实数根”的推理形式是（ ）
A .三段论推理
B .完全归纳推理
C . 传递推理
D .合情推理 6、若
1
123ln 2a
x dx x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭⎰
，则a 的值是（ ）
A . 6
B . 4
C . 3
D . 2
7、函数()31f x ax x =++有极值的充要条件是（ ） A . 0a > B . 0a ≥ C . 0a < D . 0a ≤ 8、已知()()
()()212
f x f x x N f x *+=∈+，()11f =，猜想()f x 的表达式为（ ） A . ()422x f x =
+ B . ()21f x x =+ C . ()11f x x =+ D . ()2
21
f x x =+ 9、用反证法证明命题：若系数都为整数的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数。

下列假设中正确的是（ ）
A . 假设,,a b c 都是偶数
B . 假设,,a b c 都不是偶数
C . 假设,,a b c 中至多有一个偶数
D . 假设,,a b c 中至多有两个偶数
10、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ）
A . 2
a B .
212a C . 21
4
a D . 24a
11、已知⊿ABC 和⊿BCD 均为边长等于a 的等边三角形，且2
AD a =
，则二面角A BC D --的大小为（ ）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
12、⊿ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，则点P 到BC 的距离是（ ） A .
D .
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，请将正确答案填在横线上，每个小题4分，满分共16分） 13、在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线11A C 与1B C 的夹角的大小为__________ 14、设 x y =
=，则x 、y 的大小关系为_____________
15、已知点O 为直线l 外任一点，点A 、B 、C 都在直线l 上，且3OC OA tOB =+，则实数
____t =
16、已知函数()2
2cos 36f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则函数()f x 在12
x π
=
处的导数/
_____12f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
三、解答题（本大题共6个小题，请写出每个题的必要的解题过程，满分共74分） 17、（本小题满分12分）已知曲线()2
f x x = .
姓名 班级 准考证号
-------------
装
-------------------------------------
订
------------------------------
线
（1）求曲线()f x 在（1，1）点处的切线l 的方程；
（2）求由曲线()f x 、直线0x =和直线l 所围成图形的面积。

18、（本小题满分12分）设函数()3
2
2153624f x x x x =-+-. （1）求函数的极值和单调
区间；
（2）求函数()f x 在区间[]1, 5上的最大值和最小值。

19、（本小题满分12分）如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -，在某个空间直角坐标系中，
()3, , 0, , 0, 02m m AB AC m ⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，()10, 0, AA n
=，其中m 、0n >
（1）证明：三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱； （2）若m =，求直线1CA 与平面11A ABB 所成角的大小。

A
B
C
1
A 1
B 1
C
20、（本小题满分12分）扇形AOB 中，半径1, 90OA AOB =∠=°，在
一动点C ，过点C 作CD 与半圆弧AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，此时显然有CO=CD ，DB=DE ，问当OC 多长时，直角梯形OCDB 面积最小，并求出这个最小值。

21、（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，⊿ABE 是等腰直角三角形，AB=AE ，FA=FE ，45AEF ∠=°
（1）求证：EF ⊥平面BCE ； （2）求二面角F BD A --的大小。

学校 姓名 班级 准考证号
------------------------------------
装
-------------------------------------
订
------------------------------线
A B
E
F
O A C
B
D
E
F
22、（本小题满分14分） 已知()()2
2 2
x a
f x x R x -=
∈+。

（1）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值； （2）若函数()f x 在区间[]1, 1-上是增函数，求实数a 的值组成的集合A ； （3）设关于x 的方程()1
f x x
=
的两个非零实根为12,x x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121m tm x x ++≥-对任意a A ∈及[]1, 1t ∈-恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

参 考 答 案（A 卷）
一、选择题：CDDBA DCBBC CA
二、填空题：13、60° 14、x y < 15、-2 16、-3 三、解答题： 17、解：（1）()'
2f
x x =，故()'12k f ==
所以，切线方程为()121y x -=-，即210x y --=
（2）根据题意得()1
232
1001121|33s x x dx x x x ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭
⎰ 18、解：（1）()()()'
263036623f
x x x x x =-+=--，解方程()'0f x =得2x =或3x =
根据上表可知：函数的增区间：,2,3,-∞+∞， 减区间：2,3 当2x =时，函数的极大值为4；当3x =时，函数的极小值为3
（2）又因为()11f =-，()531f =，且()()()()1325f f f f <<<
所以，()max 531f f ==，()min 11f f ==-
19、（1）证明：AB AC m ==且221
cos cos ,22m A AB AC m ===所以⊿ABC 是正三角形 又110, 0AB AA AC AA ⋅=⋅=，所以
11, AA AB AA AC ⊥⊥，故1AA ⊥平面ABC 所以三棱柱ABC 111ABC A B C -是正三棱柱。

（
2）取AB 的中点O
，连接CO 、1A O
，根据题意知CD ⊥平面11ABB A ，
所以1CA O ∠就是直线1CA 与平面11A ABB 所成的角
在Rt ⊿1CA O 中，1, CO CA =
==
，故11sin CO CAO CA ∠== 所以145CA
O ∠=°，即直线1CA 与平面1
1A ABB 所成的角为45° 20、解：设OC x =，则BD DE CD CE x ==-=
所以面积(
)(())11,2s x x x x x =+
=∈+∞ ()'
1
s x =-
令()'
0s x =
得x =
在区间()1,+∞上，当1,x
⎛∈
⎝时()'0s x <，当x ⎫∈+∞⎪
⎭
时()'0s x >
所以min s s ==
故当OC OCDB 21、（1）提示：因为, EF BE EF BC ⊥⊥，所以EF ⊥平面BCE
（2）解：建立如图所示的坐标系，设AB=AE=AD=1，
则B （0，1，0）、C （1，1，0）、D （1，0，0）、E （0，0，1）、F （0，11
,22
-） 显然()0,0,1AE =是平面ABD 的一个法向量； 设平面BDF 的一个法向量(),,n x y z =
则()()(),,1,1,00 3131,,0,,2222n BD x y z x y n BF x y z y z
⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⎛
⎫⋅=⋅-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩
令1y =，则1x =，3z =，故()1,1,3n = 所以
1,1,30,0,1cos ,11
n AE ⋅=
= 所以，二面角F BD
A --的大小为 22、解：（1）根据()()f x f x -=-恒成立得到0a = （2）()()()()
()
22'
2
2
2
2
2222224
22x x a x
x ax f
x x
x
+---++=
=
++
根据题意知，在区间[]1, 1-恒有2
2240x ax -++≥，故有2240
2240
a a --+≥⎧⎨
-++≥⎩
解之得11a -≤≤，即[]1, 1A =- （3）由
2
212x a x x
-=+得2
20x ax --=，所以1212, 2x x a x x +==-
故
12x x -=
=[]1, 1a ∈-，故()
12
max
3x x -=
所以只需要对于任意[]1, 1t ∈-，2
13mt mt ++≥恒成立。

令()()2
2g t mt m =+-，则有()()10
10
g g ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，即222020m m m m ⎧--≥⎨+-≥⎩
解得2m ≥或2m ≤-。