首师大附中2010届高三数学(文)大练习五北京全国通用

首师大附中2010届高三数学大练习五
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集Ｕ＝R ，集合{|{02}A x y B x x ===<<,则()A B =Ｕ
( )
（A ）[1,)+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）[0,)+∞ （D ）(0,)+∞ 2. 设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是
( )
（A ）
b a 11< （B ）b
a 1
1> （C ）2a b > （D ）22a b > 答案: C 对于A ，B ，倒数法则：11
,0a b ab a b
>>⇒<，要求,a b 同号，
2111,1b b a >>-⇒<>而，对于22a b >的反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====
3. 下列命题中真命题为
( )
（A ）2n n n ∀∈R ，≥；
（B ）2n n n ∀∈<R ，；
（C ）2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，； （D ）n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，．
4. 设α、β为钝角且sin α=
，cos β=,则αβ+的值为
( )
（A ）π4
7
（B ）π4
5
（C ）π4
3
（D ）π45或π4
7
5. 函数()(0)a
f x x a x
=+>的极值点的个数是
( )
（A ）０ （B ）１ （C ）２
（D ）３
6.已知函数)0)(6
sin(2)(>+
=ωπ
ωx x f 的最小正周期为π4,则该函数的图象 ( )
（A ）关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,3π对称 （B ）关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,35π对称 （C ）关于直线3
π
=
x 对称
（D ）关于直线3
5π
=
x 对称 7. 已知函数bx x x f +=2
)(的图像在点))1(,1(f A 处的切线的斜率为3,数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2009S 的值为
( )
（A ）
2008
2007
（B ）
20092008 （C ）2010
2009
（D ）
2011
2010
8. 定义两种运算：a b ⊕=a b ⊗2()(2)2x f x x ⊕=
⊗-
为 ( )
（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）奇函数且为偶函数
（D ）非奇函数且非偶函数
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9.设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为
1
2
，则a=
10. 不等式04)2(2)2(2
<--+-x a x a 对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值X 围是________
11．函数)2()21()
1(22)(2≥<<--≤⎪⎩
⎪⎨⎧+=x x x x x
x x f ，则________)23
(=-f ，若21)(<a f ，则实数a
的取值X 围是．
12. 函数()sin(
)4f x x π
=-单调增区间为． 13.已知函数1()(42
x f x x =∈+R ）
，若121x x +=，则12()()______f x f x +=；若n ∈N *
，则121()()()()n n f f f f n n n n
-++++=．
14.已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：
则[(1)]f g 的值；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值．
三、解答题：本大题共 4 小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合2
2
2|{-+=x x x A ＜}1，{|51}B x x x =<->或，|||{m x x C -=＜1，}m ∈R . （Ⅰ）求A B ；
（Ⅱ）若()A B C ⊆，求m 的取值集合.
16.（本小题满分12分）
已知tan(4πα+)=1
3.
（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求2sin 2cos 1cos 2αα
α
-+的值；
（Ⅲ）若tan(αβ+)=-β∈(,)2π
π，求β的值．
17. （本小题满分13分）
已知函数f (x )=32(1)(2)(,)x a x a a x b a b +--++∈R .
（Ⅰ）若函数f (x )的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a ，b 的值； （Ⅱ）若函数f (x )在区间（-1，1）上不单调，．．．．求a 的取值X 围.
18. 设函数
()y f x =定义域为R ，当0<x 时,1)(>x f 且对任意实数,x y ∈R ，有
)()()(y f x f y x f =+成立.
（Ⅰ）试判断函数()f x 在R 上的单调性； （Ⅱ）设数列{}n
a 满足*+∈--=
=N n a f a f f a n n ,)
2(1
)(),0(11.
①求通项n a ；
②求证12
111
(1)(1)(1))n
n N a a a *+
++
>∈.
参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的. 1.（D ） 2.（C ）
答案: C 对于A ，B ，倒数法则：11
,0a b ab a b
>>⇒
<，要求,a b 同号， 2111,1b b a >>-⇒<>而，对于22a b >的反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====
3.（D ）
4.（A ）
5.（C ）
6.（B ）
7.（C ）
8.（A ）奇函数
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9.4
a =
10.答案：(]
2,2- 11．
)22,22()23,(,21---∞ 12. 37(2,2),44k k k Z ππ+π+π∈
13. 21 ， 12
14-n
14.答案：１，２
三、解答题：本大题共 4 小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.
解：（Ⅰ）∵2
2
2|
{-+=x x x A ＜1} ∴4|{-=x A ＜x ＜2} ∵{|51}B x x x =<->或∴{|A
B x =1＜x ＜}2
（Ⅱ）∵|||{m x x C -=＜1，}R m ∈即1|{-=m x C ＜x ＜},1R m m ∈+ ∵()A
B C ⊆
1-m ≤1
∴ 1+m ≥2
1-m ＜1+m ∴1≤m ≤2
16. 解：（1）由tan(
απ
+4)=31，得tan α=－2
1
……………………3分 （2）ααα2cos 1cos 2sin 2+-=αααα2
2cos 2cos cos sin 2-=α
α
αcos 2cos sin 2- =tan α－
2
1
= －1 ……………………8分 (3)tan β=tan[(βα+)－α]=α
βααβαtan )tan(1tan )tan(++-+=
2
1)835(121
)835(⋅
+++
+- = －3 ∵β∈⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ,2 ∴β=32π……………………12分 17.
解析：（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2
+--+='a a x a x x f
又⎩⎨
⎧-=+-='==3
)2()0(0
)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a
（Ⅱ）函数()f x 在区间(1,1)-不单调，等价于导函数()f x '在(1,1)-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数()f x '在(1,1)-上有根且无重根，所以
方法一： (1)(1)0f f ''-<或2(1)116'(1)0
'(1)00a f f -⎧
-<-<⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪∆>⎪⎩或1a =-
解得51a -<<且1
2
a ≠-。

方法二：2()32(1)(2)(32)()0f x x a x a a x a x a '=+--+=++-=有两根，故只需满足
22||1||133a a a a ++<-
<≠-或且得51a -<<且1
2
a ≠-。

18. 【解析】 （Ⅰ） 令0,1=-=y x 得)0()1()1(f f f -=-，
而,1)1(>-f .1)0(=∴f
令x y -=得)()(1x f x f -=；若,0,0<->x x ,1)(>-x f 于是
).1,0()
(1
)(∈-=
x f x f 即对任意x∈R，总有f(x)>0. …………3分 下面证明)(x f 是R 上的单调函数：任取,,,2121x x R x x <∈则
1212111211()()()()()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--121()[1()]f x f x x =--
显然有,0)(1>x f 对012>-x x 有1)(012<-<x x f 。

故).()(21x f x f >所以)(x f 是R 上的单调递减函数。

………………6分 （Ⅱ）（i ）由已知得)0(1)2()()2(11f a f a f a a f n n n n ==--=--++，
又由（Ⅰ）知)(x f 是R 上的单调递减函数可得
021=--+n n a a ，即12n n a a +-=。

而1(0)1a f ==，
所以.12-=n a n …………………………………………10分
（ii ）构造数列法：令=n T ,
1
2)
121
1()311)(11(+-+++n n 则
1
232221
+++==+n n n T T n
n .13
844
8422>++++=
n n n n
即1+<n n T T ；数列}{n T 为递增数列。

故有.13
21>=
≥T T n
因此，
2462135
21
n
n ••••
>-n N *∈恒成立。

…………………………14分。