[整理]20-1傅里叶级数

§20-1 傅里叶级数
一、三角函数系的正交性
三角级数: )sin cos (210nwx b nwx a a n n ++∑∞
=∧ w
T π
2=
三角函数系: ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nwx nwx wx wx wx wx (线性组合) 正交性:
(1) ⎰-=22
0cos T T nwxdx (2) ⎰-=220sin T T nwxdx (3) ⎰-=220sin cos T T mwxdx nwx
(4) ⎰-=⋅220cos cos T T mwxdx nwx n m ≠
(5) ⎰-=⋅220sin sin T T mwxdx nwx n m ≠ 验证
另易验证,三角函数亦中两相同函数的乘积在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2T T 上的积分不等于零.
① T dx T T =⎰-22
2
1 ②2sin 2
22
T nwxdx T T =⎰
- ③⎰-=22
22cos T
T T
nwxdx )2(w T π=
二、(函数展开成)傅里叶级数
条件: 已知)(x f 周期T,在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2T T 上可积,且可展开成逐项可积的三角级数.
即 ∑∞
=++=
1
)sin cos (2)(n n n nwx b nwx a a x f 结论⎰⎰--==22
220cos )(22
T
T n T
T nwxdx x f T a fxdx T a ),2,1( =n ⎭
⎬⎫⎰-==2
2
),1,0(cos )(2T
T n n nwxdx x f T a
过程:①T a
nwxdx b nwxdx a dx a dx x f n T T T T n n T T T T 2sin cos 2)(01222222
022
正交性∑⎰⎰⎰
⎰
∞=----⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=
② ⎰-22
cos )(T T nwxdx x f
⎰
∑⎰⎰-∞
=--
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++=22
122220
sin cos cos cos cos 2
T T K T T T
T K K kwxdx nwx b kwxdx nwx f a nwxdx a
2
cos 22
2T a nwxdx a
T
T n n ⋅
=⎰
-正交性 ③同②
傅里叶级数: )(x f ～)sin cos (21
nwx b nwx a a n n n ++∑∞
=
其中 =0a =n a =n b
提问: 给一函数)(x f =)(x f 傅里叶级数. 问题解决了?
傅里叶级数收敛性? 收敛的话,其和函数)(?)(x f x S 定理(狭里克雷(Dirichlet)收敛定理)
设)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2T T 上满足
(1)连续,或还多有有限个第一类间断点
(2)分段单调,且单调区间的个数还多只有有限个
则)(x f 的傅里叶级数∑∞
=++1
)sin cos (2n n n nwx b nwx a a 收敛,且其和函数
[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨
⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-++-++-=)02()02(21)0()0(2
1
)()(T f T f x f x f x f x S 2,2)2,2()2,2(T T x T T x T
T x -=-∈-∈ )(第一类间断点连续点 推论:
1.,2π=T 12==
T
w π
取[]ππ,-
⎪⎩
⎪⎨⎧==⎰⎰--ππππππnxdx x f b nxdx
x f a n n sin )(1cos )(1 ),2,1,0(),2,1,0( ==n n
)(x f ～∑∞=++1
)sin cos (2n n n nx b nx a a
2.l T 2= )0(>l , l T w π
π==
2 取[]l l ,- ⎪⎩
⎪⎨
⎧==⎰
⎰--l
l n l l
n xdx l
n x f l b xdx l n x f l a ππ
sin )(1cos )(1 ),2,1,0()
,2,1,0( ==n n )(x f ～∑∞
=++10)sin cos
(2n n n x l
n b x l n a a π
π 3. )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2T T 上是奇函数, 即)()(x f x f -= ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈2,2T T x
⎪⎩
⎪
⎨⎧==⎰0cos )(420n T
n b nwxdx x f T a ),2,1,0(),2,1,0( ==n n
)(x f ～∑∞
=+1
cos 2n n nwx a a -----余弦(傅里叶)级数
4. )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2T T 上是奇函数, 即)()(x f x f -= ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈2,2T T x
⎪⎩
⎪⎨⎧==⎰2
0sin )(40T
n n nwxdx x f T b a ),2,1,0(),2,1,0( ==n n )(x f ～nwx b n n sin 1
∑∞
= -----正弦(傅里叶)级数
例1:得⎩⎨⎧=x x f 0)( ππ≤<≤<-x x 00
展开成傅里叶级数.
解:① 图示 ② π2=T 12==
T
w π
③ )(x f 在[]ππ,-上满中收敛定理的条件,在端点π±=x 处)(x f 的傅里叶级
数在端点=x π处收敛于
2
202)0()0(π
πππ=+=-++-f f ,而在连续点
),(ππ-∈x 处收敛于)(x f .(和函数的图形见上)(x S )
④ 计算傅里叶系数:
⎰⎰===-ππππ
ππ0021)(1xdx dx x f a
⎪⎩⎪⎨⎧-
=-==
⎰⎰-
2)1(cos 1
cos 1
cos )(1
220
ππππ
ππ
π
πn n n nxdx x nxdx x f a n 分部 偶奇
n n
⎪⎩⎪⎨⎧-=-===
⎰⎰-
n
n n nxdx x nxdx x f b n 11
cos sin 1sin )(1
0ππ
π
ππππ
偶奇
n n
⑤ 因此)(x f 的傅里叶级数展开式为
)sin cos (2)(1
nwx b nwx a a x f n n n ++=
∑∞
=
)3sin 31
3cos 32(2sin 21)sin cos 2
(4
2x x x x x +-+-+-
+=π
ππ
+-x 4sin 4
1
),(ππ-∈x
例2.设)(x f 是周期为4的周期函数,在[)2,2-上的表达式为
⎩
⎨⎧-=11
)(x f 2002<≤≤≤-x x
将)(x f 展开成傅里叶级数.
解: 图示 4=T 2
2ππ==T w
)(x f 满足狭氏条件,在),1,0(2 ±==k K x 处不连续,因此)(x f 的傅里叶数
在K x 2=处收敛于0,而在连续点K x 2≠处,收敛于)(x f .
计算傅里叶系数:
0=n a ,2,1,0=n (∵)(x f 是奇函数)
xdx n x f nwxdx x f T b T
T n ⎰⎰--==22222sin )(21sin )(2π
xdx n dx x n ⎰⎰+-=
-20022
sin 21)2sin (21π
π ⎪⎩⎪⎨⎧⋅
=-=0
14)cos 1(2n n n πππ 偶奇n n 因此, )(x f 的傅里叶级数展开式为
x n b x f n n 2
sin
)(1π
∑∞
== )2
5sin 5123sin 312sin 11(4 +++=x x x ππππ
),(+∞-∞∈x K x 2≠ ,2,1,0±±=K
作业: 206P 1(1) 2(1)。