2010高考数学湖南理
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/xuexi
A
C
1
高考真题专家全解
∴ AB AC | AB | | AC | cos A | AC | | AB | cos A | AC | | AC || AC |2 16 选 D． 5．
4 2
1 dx 等于 x
A．-2ln2 解：因为 (ln x) ' 选 D．
1 2
解：因为 an=n2.所以 12<5，22<5，32>5，所以 m 的个数有 2 个，(a5)*=2. 因为 (a1)*=0. (a2)*=1；(a3)*=1， (a4)*=1; (a5)*=2， (a6)*=2， (a7)*=2， (a8)*=2， (a9)*=2; (a10)*=3， (a11)*=3， (a12)*=3， (a13)*=3， (a14)*=3， (a15)*=3， (a16)*=3; (a17)*=4，…… 所以((a1)*)*=1，((a2)*)*=4，((a3)*)*=9，…，((an)*)*=n2.
p p )，准线 l:y=－ . 2 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2).则 y1>0，y2>0. AB:y=x+
p . 2
与抛物线方程 x2=2py 联立的 x2－2px－p2=0.
x1 x2 2 p 2 x1 x2 p
因为 AD=y1，BC=y2.CD=|x1－x2|. 所以 ( y1 y2 ) | x1 x2 | 12 2 因为 y1=x1+
6
所以 当 2 x
6
2k
2
即 x k
6
(k Z ) 时，函数 f(x)取得最大值 1.
1 （Ⅱ）解法一：由(1)及 f(x)=0 得 sin(2 x )
6
2
所以 2 x
6
2k
6
或 2x
3
6
2k
5 (k∈Z). 6
高考真题专家全解
2010 年普通高等学校招生全国 统一考试(湖南卷) 数学(理科) 本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟． 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上． 1．已知集合 M={1，2，3}，N={2，3，4}，则 A．M⊆N C．M⋂N={2，3} B．N⊆M D．M⋃N={1，4}
P A T
O B
解：由切割弦定理 PT2=PA· PB，得 42=2PB. 所以 PB=8. 所以 AB=PB－PA=8－2=6. 答案：6. 11．在区间[－1，2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为 ．
解：本题是一个几何概型问题．区间[－1，2]的长度为 3.|x|≤1 对应区间[－1，1]长度为 2. x 落在[－1，1]的概率为 ． 答案： ．
| x | 1 即 t=1 时，两个函数图象关于 x 对称，且 f ( x) 2 | x t | 1 2 1 x 2 x
1 2
1 1 2 2
所以 t=1. 9．已知一种材料的最佳加入量在 110g 到 210g 之间．若用 0.618 法安排实验，则第一次试 点的加入量可以是 g．
解：因为 M，N 的公共元素是 2，3.所以选 C． 选 C． 2．下列命题中的假命题 是 ．．． A．∀x∈R，2x 1>0
－
B．∀x∈N*，(x－1)2>0 D．∃x∈R，tanx=2
C．∃x∈R，lgx<1
解：由指数函数的值域为正实数集可知选项 A 正确； 因为∃x=1，使得(x－1)2=0.所以选项 B 错误． 因为∃x=1，使得 lgx=0<1.所以选项 C 正确． 因为∃x=arctan2∈R，使得 tanx=2. 3．极坐标方程 ρ=cosθ 和参数方程 A．圆、直线 C．圆、圆
x 1 t , （t 为参数）所表示的图形分别是 y 2 3t
B． 直线、圆 D．直线、直线
x cos 解：利用 y sin 将 ρ=cosθ 化为直角坐标方程： 2 2 2 x y
∵ ρ2=ρcosθ，∴ x2+y2=x， ∴ ( x )2 y 2 参数方程
所以 x=kπ 或 x k
．
3 , k Z} ．
故函数 f(x)的零点的集合 {x | x k 或x k
解法 2：由 f(x)=0 得 2 3 sin x cos x 2sin 2 x ，于是 sinx=0，或 3 cos x sin x 若 cosx=0，则 sinx=± 1，而由 2 3 sin x cos x 2sin 2 x ，得到 sinx=0.矛盾．所以 cosx≠0. 所以 tan x 3 . 由 sinx=0 可知 x=kπ；由 tan x 3 可知 x k 故函数 f(x)的零点的集合 {x | x k 或x k
p p )，准线 l:y=－ . 2 2 p . 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2).根据抛物线的定义：AF=y1+ BF=y2+
p . 2
AB=y1+y2+p.因为 AB 的斜率为 1.所以 CD= AB:y=x+
p . 2
2 2 | AB | ( y1 y2 p) ． 2 2
与抛物线方程 x2=2py 联立的 y 2－3 py 所以 y1+y2=3p.
解法一：由正弦定理可得
3 a c a sin C 6 2 1 sin A 2 ． sin A sin C c 4 4 2 2
A
∴ A>30° .B=180° －A－C<180° －30° －120° =30° . ∴ A>B. ∴ a>b. 解法二：由余弦定理可得 c2=a2+b2－2abcosC=a2+b2+ab ∴ 2a2= a2+b2+ab ∴ a2－b2=ab>0 且 a>0，b>0. ∴ a>b 选 A．
120° B C
7．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同 排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为 A.10 解：分三类 (1) 有且仅有两个对应位置上的数字相同：C42=6 (种) (2) 有且仅有一个对应位置上的数字相同：C41=4 (种) (3) 没有对应位置上的数字相同：C40=1 (种) 共有 6+4+1=11(种)
2 3 2 3
/xuexi
3
高考真题专家全解
开始
12．求 12+22+32+…+1002 的值的程序框图，则正整 数 n= ．
i=1,s=0
解：第一次判断时，i=1，s=0; 第二次判断时，i=2，s=1; 第三次判断时，i=3，s=12+22; …… 当第 100 次判断时，i=100，s=1 +2 +3 +…+99 ; 当第 101 次判断时， i=101， s=12+22+32+…+1002. 达到要求．不须再运行． 所以 n=100. 13．图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3 的 几何体的三视图，则 h= 解： 由三视图可知该几何体是三棱锥，底面是直角三角形， 两条直角边长分别为 5cm，6cm.三棱锥的高为 h. 所以 20 5 6 h ．解得 h=4.
/xuexi 2
B.11
C.12
D.15
高考真题专家全解
选 B． 8．用 min{a，b}表示 a，b 两数中的最小值.若函数 f(x)=min{|x|，|x+t|}的图像关于直线 x 对称，则 t 的值为 A．－2 B．2 C．－1 D．1
1 2
解：作出 y=|x|的图象和 y=|x+t|的图象． y=|x+t|的图象可以看成是 y=|x|的图象向左平移 t 个单位得到． y=|x|与 x 交于 A ( , ) .当 y=|x+t|的图象也经过 A 点时，
解：若用 0.618 法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 110+(210－110)× 0，618=171.8. 或 210－(210－110)× 0，618=148.2. 答案：171.8 或 148.2. 10．如图 1 所示，过⊙O 外一点 P 作一条直线与⊙O 交于 A， B 两点．已知 PA=2，点 P 到⊙O 的切线长 PT=4，则弦 AB 的 长为 ．
3
3
.
, k Z} ．
17． 如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中 x 的值. （Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居 民（看作有放回的抽样） ，求月均用水量在 3 至 4 吨的 居民数 X 的分布列和数学期望. 解： （Ⅰ）依题意及频率分布直方图知， 0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得 x=0.12. （Ⅱ）由题意知，X~B(3，0.1).
B．2ln2
1 .所以 x
C．-ln2
D．ln2
4
2
4 1 4 dx lnx ln 4 ln 2 ln ln 2. 2 x 2
6．在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c．若∠C=120° ， ， c 2a ，则 A．a＞b C．a=b B．a＜b D．a 与 b 的大小关系不能确定
p2 0 4
/xuexi
4
高考真题专家全解
1 2 ( y1 y2 p) 12 2 所以 ( y1 y2 ) 2 2 1 2 (3 p p) 12 2 所以 3 p 2 2
所以 p=2. 解法二：抛物线 x2=2py 的焦点 F(0，
/xuexi 5
高考真题专家全解
另解：若设 bn=(an)*,则 bn:
0,1,1,1, 2, 2, 2, 2, 2,3,3,3, ,3, ,( n－ 1),( n－ 1), ,( n－ 1) , n, n,, n
3 5 7 2 n 1 2 n 1
俯视2 2
i=i+1
s=s+i2 i≤n 否 输出s 结束 是
cm．
h
h
1 1 3 2
答案：4. 14． 过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点作斜 率为 1 的 直线与该 抛物线交于 A，B 两点，A，B 在 x 轴上的正射影分别为 D，C．若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ，则 p= 解法一：抛物线 x2=2py 的焦点 F(0， ．
p p ，y2=x2+ . 2 2 1 2
所以 y1+y2=x1+x2+p=3p.
| x1 x2 | ( x1 x2 )2 4 x1 x2 4 p 2 4 p 2 2 2 p.
所以 3 p 2 2 p 12 2 p 2 4 所以 p=2. 15．若数列{an}满足：对任意的 n∈N*，只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立，记这样的 m 的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是 1，2，3，…，n，…，则数 列{(an)*}是 0，1，2，3，…，n－1，…， ．已知对任意的 n∈N*，an=n2，则(a5)*= ((an)*)*= ． ，
∴ 满足 bn<n 的 m 共有 1+3+5+…+(2n－1)=n2(个). 答案：2，n2. 16．已知函数 f ( x) 3 sin 2 x 2sin 2 x ． （Ⅰ）求函数 f(x)的最大值； （Ⅱ）求函数 f(x)的零点的集合.
解： （Ⅰ）因为 f x 3 sin 2 x (1 cos 2 x) 2sin(2 x ) 1 .
1 2
1 .表示圆． 4
x 1 t , （t 为参数） ，消去 t，化为普通方程 y=－3x－1. y 2 3t
表示直线． 选 A． 4．在 Rt△ ABC 中，∠C=90° ，AC=4，则 AB AC 等于 A．-16 B．-8 C．8 D．16
B
解：∵ |AC|=|AB|cosA
A
C
1
高考真题专家全解
∴ AB AC | AB | | AC | cos A | AC | | AB | cos A | AC | | AC || AC |2 16 选 D． 5．
4 2
1 dx 等于 x
A．-2ln2 解：因为 (ln x) ' 选 D．
1 2
解：因为 an=n2.所以 12<5，22<5，32>5，所以 m 的个数有 2 个，(a5)*=2. 因为 (a1)*=0. (a2)*=1；(a3)*=1， (a4)*=1; (a5)*=2， (a6)*=2， (a7)*=2， (a8)*=2， (a9)*=2; (a10)*=3， (a11)*=3， (a12)*=3， (a13)*=3， (a14)*=3， (a15)*=3， (a16)*=3; (a17)*=4，…… 所以((a1)*)*=1，((a2)*)*=4，((a3)*)*=9，…，((an)*)*=n2.
p p )，准线 l:y=－ . 2 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2).则 y1>0，y2>0. AB:y=x+
p . 2
与抛物线方程 x2=2py 联立的 x2－2px－p2=0.
x1 x2 2 p 2 x1 x2 p
因为 AD=y1，BC=y2.CD=|x1－x2|. 所以 ( y1 y2 ) | x1 x2 | 12 2 因为 y1=x1+
6
所以 当 2 x
6
2k
2
即 x k
6
(k Z ) 时，函数 f(x)取得最大值 1.
1 （Ⅱ）解法一：由(1)及 f(x)=0 得 sin(2 x )
6
2
所以 2 x
6
2k
6
或 2x
3
6
2k
5 (k∈Z). 6
高考真题专家全解
2010 年普通高等学校招生全国 统一考试(湖南卷) 数学(理科) 本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟． 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上． 1．已知集合 M={1，2，3}，N={2，3，4}，则 A．M⊆N C．M⋂N={2，3} B．N⊆M D．M⋃N={1，4}
P A T
O B
解：由切割弦定理 PT2=PA· PB，得 42=2PB. 所以 PB=8. 所以 AB=PB－PA=8－2=6. 答案：6. 11．在区间[－1，2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为 ．
解：本题是一个几何概型问题．区间[－1，2]的长度为 3.|x|≤1 对应区间[－1，1]长度为 2. x 落在[－1，1]的概率为 ． 答案： ．
| x | 1 即 t=1 时，两个函数图象关于 x 对称，且 f ( x) 2 | x t | 1 2 1 x 2 x
1 2
1 1 2 2
所以 t=1. 9．已知一种材料的最佳加入量在 110g 到 210g 之间．若用 0.618 法安排实验，则第一次试 点的加入量可以是 g．
解：因为 M，N 的公共元素是 2，3.所以选 C． 选 C． 2．下列命题中的假命题 是 ．．． A．∀x∈R，2x 1>0
－
B．∀x∈N*，(x－1)2>0 D．∃x∈R，tanx=2
C．∃x∈R，lgx<1
解：由指数函数的值域为正实数集可知选项 A 正确； 因为∃x=1，使得(x－1)2=0.所以选项 B 错误． 因为∃x=1，使得 lgx=0<1.所以选项 C 正确． 因为∃x=arctan2∈R，使得 tanx=2. 3．极坐标方程 ρ=cosθ 和参数方程 A．圆、直线 C．圆、圆
x 1 t , （t 为参数）所表示的图形分别是 y 2 3t
B． 直线、圆 D．直线、直线
x cos 解：利用 y sin 将 ρ=cosθ 化为直角坐标方程： 2 2 2 x y
∵ ρ2=ρcosθ，∴ x2+y2=x， ∴ ( x )2 y 2 参数方程
所以 x=kπ 或 x k
．
3 , k Z} ．
故函数 f(x)的零点的集合 {x | x k 或x k
解法 2：由 f(x)=0 得 2 3 sin x cos x 2sin 2 x ，于是 sinx=0，或 3 cos x sin x 若 cosx=0，则 sinx=± 1，而由 2 3 sin x cos x 2sin 2 x ，得到 sinx=0.矛盾．所以 cosx≠0. 所以 tan x 3 . 由 sinx=0 可知 x=kπ；由 tan x 3 可知 x k 故函数 f(x)的零点的集合 {x | x k 或x k
p p )，准线 l:y=－ . 2 2 p . 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2).根据抛物线的定义：AF=y1+ BF=y2+
p . 2
AB=y1+y2+p.因为 AB 的斜率为 1.所以 CD= AB:y=x+
p . 2
2 2 | AB | ( y1 y2 p) ． 2 2
与抛物线方程 x2=2py 联立的 y 2－3 py 所以 y1+y2=3p.
解法一：由正弦定理可得
3 a c a sin C 6 2 1 sin A 2 ． sin A sin C c 4 4 2 2
A
∴ A>30° .B=180° －A－C<180° －30° －120° =30° . ∴ A>B. ∴ a>b. 解法二：由余弦定理可得 c2=a2+b2－2abcosC=a2+b2+ab ∴ 2a2= a2+b2+ab ∴ a2－b2=ab>0 且 a>0，b>0. ∴ a>b 选 A．
120° B C
7．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同 排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为 A.10 解：分三类 (1) 有且仅有两个对应位置上的数字相同：C42=6 (种) (2) 有且仅有一个对应位置上的数字相同：C41=4 (种) (3) 没有对应位置上的数字相同：C40=1 (种) 共有 6+4+1=11(种)
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高考真题专家全解
开始
12．求 12+22+32+…+1002 的值的程序框图，则正整 数 n= ．
i=1,s=0
解：第一次判断时，i=1，s=0; 第二次判断时，i=2，s=1; 第三次判断时，i=3，s=12+22; …… 当第 100 次判断时，i=100，s=1 +2 +3 +…+99 ; 当第 101 次判断时， i=101， s=12+22+32+…+1002. 达到要求．不须再运行． 所以 n=100. 13．图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3 的 几何体的三视图，则 h= 解： 由三视图可知该几何体是三棱锥，底面是直角三角形， 两条直角边长分别为 5cm，6cm.三棱锥的高为 h. 所以 20 5 6 h ．解得 h=4.
/xuexi 2
B.11
C.12
D.15
高考真题专家全解
选 B． 8．用 min{a，b}表示 a，b 两数中的最小值.若函数 f(x)=min{|x|，|x+t|}的图像关于直线 x 对称，则 t 的值为 A．－2 B．2 C．－1 D．1
1 2
解：作出 y=|x|的图象和 y=|x+t|的图象． y=|x+t|的图象可以看成是 y=|x|的图象向左平移 t 个单位得到． y=|x|与 x 交于 A ( , ) .当 y=|x+t|的图象也经过 A 点时，
解：若用 0.618 法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 110+(210－110)× 0，618=171.8. 或 210－(210－110)× 0，618=148.2. 答案：171.8 或 148.2. 10．如图 1 所示，过⊙O 外一点 P 作一条直线与⊙O 交于 A， B 两点．已知 PA=2，点 P 到⊙O 的切线长 PT=4，则弦 AB 的 长为 ．
3
3
.
, k Z} ．
17． 如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中 x 的值. （Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居 民（看作有放回的抽样） ，求月均用水量在 3 至 4 吨的 居民数 X 的分布列和数学期望. 解： （Ⅰ）依题意及频率分布直方图知， 0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得 x=0.12. （Ⅱ）由题意知，X~B(3，0.1).
B．2ln2
1 .所以 x
C．-ln2
D．ln2
4
2
4 1 4 dx lnx ln 4 ln 2 ln ln 2. 2 x 2
6．在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c．若∠C=120° ， ， c 2a ，则 A．a＞b C．a=b B．a＜b D．a 与 b 的大小关系不能确定
p2 0 4
/xuexi
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高考真题专家全解
1 2 ( y1 y2 p) 12 2 所以 ( y1 y2 ) 2 2 1 2 (3 p p) 12 2 所以 3 p 2 2
所以 p=2. 解法二：抛物线 x2=2py 的焦点 F(0，
/xuexi 5
高考真题专家全解
另解：若设 bn=(an)*,则 bn:
0,1,1,1, 2, 2, 2, 2, 2,3,3,3, ,3, ,( n－ 1),( n－ 1), ,( n－ 1) , n, n,, n
3 5 7 2 n 1 2 n 1
俯视2 2
i=i+1
s=s+i2 i≤n 否 输出s 结束 是
cm．
h
h
1 1 3 2
答案：4. 14． 过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点作斜 率为 1 的 直线与该 抛物线交于 A，B 两点，A，B 在 x 轴上的正射影分别为 D，C．若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ，则 p= 解法一：抛物线 x2=2py 的焦点 F(0， ．
p p ，y2=x2+ . 2 2 1 2
所以 y1+y2=x1+x2+p=3p.
| x1 x2 | ( x1 x2 )2 4 x1 x2 4 p 2 4 p 2 2 2 p.
所以 3 p 2 2 p 12 2 p 2 4 所以 p=2. 15．若数列{an}满足：对任意的 n∈N*，只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立，记这样的 m 的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是 1，2，3，…，n，…，则数 列{(an)*}是 0，1，2，3，…，n－1，…， ．已知对任意的 n∈N*，an=n2，则(a5)*= ((an)*)*= ． ，
∴ 满足 bn<n 的 m 共有 1+3+5+…+(2n－1)=n2(个). 答案：2，n2. 16．已知函数 f ( x) 3 sin 2 x 2sin 2 x ． （Ⅰ）求函数 f(x)的最大值； （Ⅱ）求函数 f(x)的零点的集合.
解： （Ⅰ）因为 f x 3 sin 2 x (1 cos 2 x) 2sin(2 x ) 1 .
1 2
1 .表示圆． 4
x 1 t , （t 为参数） ，消去 t，化为普通方程 y=－3x－1. y 2 3t
表示直线． 选 A． 4．在 Rt△ ABC 中，∠C=90° ，AC=4，则 AB AC 等于 A．-16 B．-8 C．8 D．16
B
解：∵ |AC|=|AB|cosA