《试卷3份集锦》广东省韶关市2020高一数学下学期期末复习检测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数2sin 25y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，只需要将函数2sin 25y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像（ ） A ．向右平移25
π个长度单位 B ．向左平移25
π个长度单位 C ．向右平移
5π
个长度单位 D ．向左平移
5
π
个长度单位 2．方程3log 3x x +=的解所在区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(3,)+∞
D ．(2,3)
3．执行如图所示的程序框图，若输入7n =，则输出C =( )
A ．5
B ．8
C ．13
D ．21
4．若sin 2cos21θθ=+，则cos2θ=( ) A ．0
B ．-1
C ．1或0
D ．0或-1
5．某班20名学生的期末考试成绩用如图茎叶图表示，执行如图程序框图，若输入的i a (1,2,,20i =)
分别为这20名学生的考试成绩，则输出的结果为( )
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
6．已知函数()()203f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的
最小值为（ ） A ．
2
π
B ．
3
π C ．π
D ．
4
π 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3
π
的扇形，则圆锥的高为（ ） A 33B 34C 35D ．5
8．函数()23x
f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）． A ．()2,1--
B ．()1,0-
C ．()0,1
D ．()1,2
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）
A ．(
)
62
23++ B ．()6225++
C ．10
D ．12
10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里
B ．48里
C ．36里
D ．24里
11．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图像如图所示，则ω和ϕ分别是（ ）
A ．=2,=
3
π
ωϕ
B ．=1=
6
π
ωϕ，
C ．=2=
6
π
ωϕ，
D ．=1=
3
π
ωϕ，
12．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，,P Q 分别在线段,AB BO 上运动，则MPQ ∆的周长的最小值为( ) A ．4
B ．5
C ．25
D 34二、填空题：本题共4小题
13．已知原点O （0，0），则点O 到直线x+y+2=0的距离等于 ． 14．己知ABC ∆中，角,,A B C 所対的辻分別是,,a b c .若c = 7，C =
3
π
，()()6c a b c a b -++-= ，则+a b =______.
15．直线:30l x m +=与圆22:410C x y x +-+=交于,A B 两点，若ABC ∆为等边三角形，则
m =______．
16．正六棱柱底面边长为10,高为15,则这个正六棱柱的体积是_____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直
径分布在区间[50]95，
内（单位：mm )，统计的茎叶图如图所示：
（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在[)80,85，[)85,90的苹果中随机抽取6个，则从[)80,85，[)85,90的苹果中各抽取几个？
（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在[)85,90内的概率； （Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案A ：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案B ：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在[)50,65内按35元/箱收购，在[)65,90内按45元/箱收购，在[]90,95内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案. 18．已知向量()sin ,cos a θθ=，()0,sin b θ=，()1,2c =. （1）若//a c ，求22cos sin 2θθ-的值； （2）若2a b c -=，0θπ<<，求θ的值. 19．（6分）已知向量3
(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-. (1)当
时，求tan()4
x π
-
的值；
(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域. 20．（6分）经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函
数关系：()2920031600
=
>++v
y v v v ．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 21．（6分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)2
*
22n n n a S a n n N
=+∈.
（I ）求1a 的值；
（II ）证明：当*n N ∈，且2n ≥时，22
12n n S S n --=；
（III ）若对于任意的正整数n ，都有n a k >成立，求实数k 的最大值. 22．（8分）已知{}n a 数列的前n 项和为n S ，满足：2323n n S a n =--. （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）令12333111log log log 222n n a a a c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++⋯+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1n n
d c =，求{}n d 数列的前n 项和n T . 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
根据()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律求解即可 【详解】
设平移量为θ，则由
2sin 22sin 22sin 22sin 25101010y x x y x x ππππθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-→=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
满足：10
10
5
x x π
π
π
θθ-
+=+
⇒=
，故由2sin 25y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
向左平移
5
π
个长度单位可得到2sin 25y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
故选：D 【点睛】
本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律，属于基础题 2．D 【解析】 【分析】 【详解】
令()3log 3f x x x =+-，则()()20,30f f <>，
所以零点在区间(2,3).
方程3log 3x x +=的解所在区间是(2,3)，故选D. 3．C 【解析】 【分析】
通过程序一步步分析得到结果，从而得到输出结果. 【详解】
开始：1,1,3A B k ===，
执行程序：2,1,2,4C A B k ====；
3,2,3,5C A B k ====；
5,3,5,6C A B k ====； 8,5,8,7C A B k ====；
13,8,13,8C A B k ====，执行“否”，
输出C 的值为13， 故选C. 【点睛】
本题主要考查算法框图的输出结果，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大. 4．D 【解析】 【分析】
由二倍角公式可得22sin cos 2cos θθθ=，即()2cos sin cos 0θθθ-=，从而分情况求解. 【详解】
易得22sin cos 2cos cos 0θθθθ=⇒=，或tan 1θ=. 由cos 0θ=得2cos 22cos 11θθ=-=-.
由tan 1θ=，得222222
cos sin 1tan cos 20sin cos tan 1
θθθ
θθθθ--===++. 故选：D 【点睛】
本题考查二倍角公式的应用以及sin ,cos θθ有关的二次齐次式子求值，属于中档题.
首先判断程序框图的功能，然后从茎叶图数出相应人数，从而得到答案. 【详解】
由算法流程图可知，其统计的是成
绩大于等于120的人数，所以由茎叶图知： 成绩大于等于120的人数为11，故选A. 【点睛】
本题主要考查算法框图的输出结果，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大. 6．A 【解析】 【分析】
由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据
()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方
式可构造方程组求得()12122
x x k k π
π-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值.
【详解】
由()f x 最小正周期为π可得：
2π
πω
= 2ω∴= (
)23f x x π⎛
⎫∴=
- ⎪⎝
⎭
(
)max f x ∴，(
)min f x =()()122f x f x ⋅=- 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点
设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点
()111222
2232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧
-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩
()12122x x k k ππ∴-=-+，
当120k k -=时，12min
2
x x π
-=
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.
利用扇形的弧长为底面圆的周长求出r 后可求高. 【详解】
因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3
π
的扇形，所以 圆锥的母线长为6，设其底面半径为r ，则623
r π
π⨯=，所以1r =，
= C 【点睛】
圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为l ，底面圆的半径长为r ，则该扇形的圆心角的弧度数为
2r
l
π . 8．B 【解析】 【分析】
判断函数的单调性，利用f （﹣1）与f （1）函数值的大小，通过零点存在性定理判断即可 【详解】
函数f （x ）＝2x +3x 是增函数，f （﹣1）＝1
32
-＜1，f （1）＝1+1＝1＞1， 可得f （﹣1）f （1）＜1．
由零点存在性定理可知：函数f （x ）＝2x +3x 的零点所在的一个区间（﹣1，1）． 故选：B ． 【点睛】
本题考查零点存在性定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断． 9．B 【解析】 【分析】
作出多面体的直观图，将各面的面积相加可得出该多面积的表面积. 【详解】
由三视图得知该几何体的直观图如下图所示：
由直观图可知，底面ABCD 是边长为2的正方形，其面积为224=； 侧面PCD 是等腰三角形，且底边长2CD =，底边上的高为2，其面积为1
2222
⨯⨯=， 且22125PC PD ==+=
侧面PAD 是直角三角形，且PDA ∠为直角，5PD =2AD =，其面积为
1
2552
⨯=PBC PAD ∆≅∆，PBC ∆5
侧面积PAB 为等腰三角形，底边长2AB =，223PA PB PD AD ==
+=，底边上的高为
2
2
222AD h PA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
1222222⨯⨯=因此，该几何体的表面积为4255226225+=+，故选：B.
【点睛】
本题考查几何体的三视图以及几何体表面积的计算，再利用三视图求几何体的表面积时，要将几何体的直观图还原，并判断出各个面的形状，结合图中数据进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 10．B 【解析】 【分析】
根据题意得出等比数列的项数、公比和前n 项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得3a 的值. 【详解】
依题意步行路程是等比数列，且12
q =，6n =，6378S =，故16112378112a ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
=-，解得1192a =，故
2311
192484
a a q ==⨯
=里.故选B. 【点睛】
本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前n 项和的基本量计算，属于基础题. 11．C 【解析】
【分析】
通过识别图像，先求A ，再求周期T ，将,16
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭代入求ϕ即可
【详解】
由图可知：1A =，
2222362T ππππ
T πωω=-=⇒==⇒=，将,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入()()sin 2f x A x =+ϕ得
1sin 2266k ⎛⎫
=⨯+⇒=+ ⎪⎝⎭
ππϕϕπ，又2πφ<，6πϕ∴=，故=2=6πωϕ，
故选C 【点睛】
本题考查通过三角函数识图求解解析式，属于基础题 12．C 【解析】 【分析】
分别求出设()1
0M ，关于直线30x y +-=对称的点N ，M 关于O 对称的点E ，当N P Q E ，，，共线时，MPQ 的周长MQ PQ QM NP EQ PQ ++=++取得最小值，为NE ，利用两点间的距离公式，求出答案. 【详解】
过()()3,0,0,3A B 两点的直线方程为30x y +-=
设()1
0M ，关于直线30x y +-=对称的点(),N x y ， 则11
11302
2y
x x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得32x y =⎧⎨
=⎩ 即()3,2N ，
同理可求()10M ，关于O 对称的点()1,0E -，
当N P Q E ，，，共线时MPQ 的周长MQ PQ QM NP EQ PQ ++=++
取得最小值为
NE ==故选C ． 【点睛】
本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题
13
【解析】 【分析】 【详解】
由点到直线的距离公式得：点O 到直线x+y+2=0的距离等于
=.
14．1 【解析】 【分析】
应用余弦定理得出222222cos 7c a b ab C a b ab =+-=+-=，再结合已知等式配出2
()a b +即可．
【详解】
∵()()6c a b c a b -++-=，即22222()26c a b c a b ab --=--+=， ∴222761a b ab +-=-=，①
又由余弦定理得222222cos 7c a b ab C a b ab =+-=+-=，②，
②－①得6ab =，∴22222()2373625a b a ab b a b ab ab +=++=+-+=+⨯=， ∴5a b +=． 故答案为1． 【点睛】
本题考查余弦定理，掌握余弦定理是解题关键，解题时不需要求出,a b 的值，而是用整体配凑的方法得出配凑出2
()a b +，这样可减少计算． 15．1或5- 【解析】 【分析】
根据题意可得圆心到直线的距离为3
2d ==，根据点到直线的距离公式列方程解出即可. 【详解】
圆2
2
:410C x y x +-+=，即()2
223x y -+=，
圆C 的圆心为()20C ，
∵
直线:0l x m ++=与圆()2
223x y -+=交于,A B 两点且ABC ∆为等边三角形，
∴AB ，故圆心到直线的距离为3
2d ==，
3
2
=
，解得1m =或5-，故答案为1或5-. 【点睛】
本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
16．【解析】 【分析】
正六棱柱是底面为正六边形的直棱柱，利用V S h =⋅计算可得结果. 【详解】
因为正六棱柱底面边长为10，所以其面积2
16(10sin 60)2
S =⋅⋅⋅=
所以体积15V S h =⋅==【点睛】
本题考查正六棱柱的概念及其体积的计算，考查基本运算能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ)4个；（Ⅱ)25
p =；（Ⅲ）方案是B 【解析】 【分析】
（Ⅰ）单果直径落在[80，85)，[85，90)的苹果个数分别为6，12，分层抽样的方法从单果直径落在[80，85)，[85，90)的苹果中随机抽取6个，单果直径落在[80，85)，[85，90)的苹果分别抽取2个和4个；
（Ⅱ）从这6个苹果中随机抽取2个，基本事件总数2
615n C ==，这两个苹果单果直径均在[85，90)内
包含的基本事件个数2
46m C ==，由此能求出这两个苹果单果直径均在[85，90)内的概率；（Ⅲ）分别求
出按方案A 与方案B 该合作农场收益，比较大小得结论． 【详解】
（Ⅰ)由茎叶图可知，单果直径落在[80,85)，[85,90)的苹果分别为6个，12个，
依题意知抽样比为
616123
=+，所以单果直径落在[80,85)的苹果抽取个数为1
623⨯=个，
单果直径落在[85,90)的苹果抽取个数为1
1243
⨯=个
（Ⅱ）记单果直径落在[80,85)的苹果为1a ，2a ，记单果直径落在[85,90)的苹果为1234,,,b b b b ，若从这6个苹果中随机抽取2个，则所有可能结果为：{}12,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}13,a b ，{}14,a b ，{}21,a b ，
{}22,a b ，{}23,a b ，{}24,a b ，{}12,b b ，{}13,b b ，{}14,b b ，{}23,b b ，{}24,b b ，{}34,b b ，即基本事件
的总数为15个.
这两个苹果单果直径均落在[85,90)内包含的基本事件个数为6个， 所以这两个苹果单果直径均落在[85,90)内的概率为62155
p =
=. （Ⅲ）按方案A ：该合作农场收益为：5 5.527.5⨯=（万元）； 按方案B ：依题意可知合作农场的果园共有
20
0.825
=万箱，即8000箱苹果， 则该合作农场收益为：7403354555800080005313600505050⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯-⨯=
⎪⎝⎭
元， 即为31.36万元 因为27.531.36<， 所以为该合作农场推荐收益最好的方案是B . 【点睛】
本题考查概率、最佳方案的确定，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18．（1）45；（2）2
πθ=或34π
θ= 【解析】 【分析】
（1）根据向量平行的坐标公式得出1
tan 2
θ=
，利用二倍角公式以及弦化切即可得出答案； （2）利用向量的模长公式得出()2
222sin cos 2sin 125θθθ+-=+=，由二倍角公式以及降幂公式，辅
助角公式得出sin 24πθ⎛⎫
+= ⎪
⎝
⎭，结合正弦函数的性质得出θ的值. 【详解】
（1）由//a c ，得2sin cos θθ=，所以1
tan 2
θ=
. 所以22
2222cos 2sin cos 22tan 214
2cos sin 21cos sin 1tan 514
θθθθθθθθθ----====+++.
（2）由2a b c -=，得()2
222sin cos 2sin 125θθθ+-=+= 所以22sin 24sin 4θθ-+=，所以sin 2cos21θ
θ+=-，所以sin 242
πθ⎛⎫
+=- ⎪
⎝
⎭. 因为0θπ<<，所以924
4
4π
π
πθ<+
<
，所以5244ππθ+=或7244
ππθ+=
解得2
π
θ=
或34
π
θ=
. 【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数，模长公式，简单的三角恒等变换以及正弦函数的性质的应用，属于中档题.
19． (1)-7， (2)13
[,22
+ 【解析】
试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，33
//cos sin 0,tan 4
4
a b x x x ∴+==-再利用两角差正切公式求解：
tan 1
tan()741tan x x x
π--==-+(2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公
式得到三角函数关系式3()2()2sin(2)42f x a b b x π=+⋅=
++，再从角0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
出发研究基本三角函
数范围：
5[0,],2sin(2)1244424
x x x πππ
ππ
∈≤+≤∴-≤+≤13()22f x ∴≤≤ 试题解析：(1)
33
//cos sin 0,tan 44
a b x x x ∴+==-, 3分
tan 1
tan()741tan x x x
π--==-+6分
(2)3
()2()2sin(2)42
f x a b b x π=+⋅=++8分
5[0,],2sin(2)124444
x x x πππππ∈≤+≤≤+≤11分
13
()22f x ∴≤≤+()f x 的值域为13
[,22
14分 考点：向量平行坐标表示，三角函数性质
20．（1）v ＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时（2）汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内 【解析】 【分析】
（1）将已知函数化简，利用基本不等式求车流量y 最大值； （2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使29201031600
v
v v ≥++，解之即可得汽车的平均速度
的控制范围． 【详解】
解:(1)292031600v
y v v =++＝920
16003v v ++＝92083≈11.08， 当v ＝
1600
v
，即v ＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时． (2)据题意有：2
9201031600
v
v v ≥++，
化简得28916000v v -+≤，即(25)(64)0v v --≤， 所以2564v ≤≤，
所以汽车的平均速度应控制在2564v ≤≤这个范围内． 【点睛】
本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，属于基础题． 21．（I
）1a （II ）见解析；（III ）k 的最大值为1 【解析】 【分析】
（I ）直接令(
)2
*
22n n n a S a n n N
=+∈中的n=1即得1
a 的值；
（II ）由题得2n ≥时，()()()2
*1122n n n n n S S S S S n n ---=-+∈N ，化简即得证；（III
）用累加法可得：
22,n n S n n S =+=n a ，再求n a 的范围得解.
【详解】
（I
）222111122,2,
a a a a =+==（II ）因为()2
*
22n n n a S a n n =+∈N
，
所以2n ≥时，()()(
)2
*
1122n n n n n S S S S S n n ---=-+∈N
，
化简得：22
12n n S S n --=；
（III ）因为22
12(2)n n S S n n --=≥，
用累加法可得：2
2,n n S n n S =+=
由n S =
2)n a n =≥，
当1n =时，上式也成立,
因为
n a =
=，
则
2
n a =
，所以{}2
n a 是单调递减数列，
所以2
1n a >，又因为0n a >，所以1n a >，即1k ≤，k 的最大值为1.
【点睛】
本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．（1）证明见解析
（2）21
n n
T n =+ 【解析】 【分析】
（1）利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-求证即可； （2）先结合（1）求得(1)2n n n c +=，再由11
2()1
n d n n =-
+，然后累加求和即可. 【详解】
解：（1）因为2323n n S a n =--，①
11232(1)3n n S a n --=---，②
①-②得：
132n n a a -=+，
即113(1)n n a a -+=+，
又11235a a =-，即15a =，则116a +=，
即数列{}1n a +是以6为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）得116323n n
n a -+=⨯=⨯，
则
1
32
n n a +=， 即331log log 32n
n a n +⎛⎫==
⎪
⎝⎭
， 则12333111(1)log log log 2222n n a a a n n c ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++⋯+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 即1211
2()(1)1
n n d c n n n n =
==-++， 故1
111122[(1)()...()]22311
n n T n n n =-+-++-=++. 【点睛】
本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了公式法求和及裂项求和法求和，属中档题.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线l 经过点()0,1-和()1,0，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．
23
π B ．
34
π C ．
3
π D ．
4
π 2．已知O ，N ，P 在ABC 所在平面内，且OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，且
PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是ABC 的（ ）
A ．重心 外心 垂心
B ．重心 外心 内心
C ．外心 重心 垂心
D ．外心 重心 内心
3．若a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//a α，//
b β，a b ⊥，则αβ⊥ B ．若//a α，//b β，//a b ，则//αβ
C ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ
D ．若//a α，b β⊥，a b ⊥，则//αβ
4．已知两条直线，两个平面
，给出下面四个命题： ①，；②，，；
③
，
；④
，
，
其中正确命题的序号是（ ）
A ．①④
B ．②④
C ．①③
D ．②③
5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A B
C
-=（ ）
A ．
37
B ．
57
C ．
97
D ．
107
6．已知1x >，则4
1
x x +-的最小值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．设
12
log 3a =,0.2
13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,
132c =,则（ ）
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ．b a c >>
8．下列函数中最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x =
B ．1sin y x =+
C ．cos y x =
D ．tan 2y x =
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=，
已知函数23
()21
x x f x +=+，则函数[()]y f x =的值域为（ ）
A ．{0,1,2,3}
B ．{0,1,2}
C ．{1,2,3}
D ．{1,2}
10．如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全。

已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，则下列说法错误的是（ ）
A ．3球以下（含3球）的人数为10
B ．4球以下（含4球）的人数为17
C ．5球以下（含5球）的人数无法确定
D ．5球的人数和6球的人数一样多
11．已知a ，b 为不同的直线，α为平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若//a b ，b α⊥，则a α⊥ B ．若a α⊥，b α⊥，则//a b C ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥ D ．若a b ⊥，a α⊥，则b α⊥
12．函数1
tan 2
4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是（ ）
A ．{|2,}2
x x k k Z π
π≠+∈ B ．{|4,}2
x x k k Z π
π≠+∈
C ．{|,}28
k x x k Z ππ
≠
+∈ D ．{|,}8
x x k k Z π
π≠+
∈
二、填空题：本题共4小题
13．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos αα+的值为__________． 14．设函数()arctan f x x =，则()1f -的值为__________． 15．若cos 4m πθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则3cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
______（用m 表示）. 16．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC )2
223a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知f （α）
=()()()
322sin cos tan tan sin ππααπααπαπ⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
----，其中α≠1
2
kπ（k ∈Z ）． （1）化简f （α）； （2）若f （
2π+β）=-3
3
，β是第四象限的角，求sin （2β+6π）的值．
18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.
(1)求证：AD ⊥平面BFED ；
(2)点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
19．（6分）在一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支.求
（1）恰有1支一等品的概率； （2）恰有两支一等品的概率； （3）没有三等品的概率.
20．（6分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，
通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，
[]
4,4.5⋯分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由； （2）估计居民月均用水量的中位数．
21．（6分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-． （1）求等比数列{}n a 的通项公式；
（2）设2
log
n n
b a
=，求
1
1
{}
n n
b b
+
的前n项和n T．
22．（8分）如图，已知圆M：()22
19
x y
-+=，点()2,1
A-.
（1）求经过点A且与圆M相切的直线l的方程；
（2）过点()
3,2
P-的直线与圆M相交于D、E两点，F为线段DE的中点，求线段AF长度的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】
算出直线的斜率后可得其倾斜角.
【详解】
设直线的斜率为k，且倾斜角为α，则
10
1
01
k
--
==
-
，
根据tan1
α=，而[)
0,
απ
∈，故
4
π
α=，故选D.
【点睛】
本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.
2．C
【解析】
【分析】
根据向量关系，()2
NA NB NC ND
=-+=-，NA所在直线经过BC中点D，由PA PB PB PC
⋅=⋅得
0CA PB ⋅=，即可得解.
【详解】 由题：OA OB OC ==，所以O 是ABC 外接圆的圆心，
取BC 中点D ，0NA NB NC ++=，()2NA NB NC ND =-+=-，即NA 所在直线经过BC 中点D ，与中线共线，同理可得,NB NC 分别与,AC AB 边的中线共线，即N 是三角形三条中线交点，即重心， PA PB PB PC ⋅=⋅，0PA PB PB PC ⋅-⋅=，()0PA PC PB -⋅=，
0CA PB ⋅=，即PB AC ⊥，同理可得,PC AB PA BC ⊥⊥，即P 是三角形的垂心.
故选：C
【点睛】
此题考查利用向量关系判别三角形的外心，重心和垂心，关键在于准确进行向量的运算，根据运算结果得结论.
3．C
【解析】
【分析】
A 中平面α，β可能垂直也可能平行或斜交，
B 中平面α，β可能平行也可能相交，
C 中成立，
D 中平面α，β可能平行也可能相交.
【详解】
A 中若//a α，//b β，a b ⊥，平面α，β可能垂直也可能平行或斜交；
B 中若//a α，//b β，//a b ，平面α，β可能平行也可能相交；
同理C 中若a α⊥，b β⊥，则a ，b 分别是平面α，β的法线，//a b 必有//αβ；
D 中若//a α，b β⊥，a b ⊥，平面α，β可能平行也可能相交.
故选C 项.
【点睛】
本题考查空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，属于简单题.
4．A
【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线
还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线
，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④
是正确的，故应选答案A.
5．D
【解析】
【分析】 由题意2sin sin 2sin sin 2sin 22sin cos 2cos A B A B a b C C C c C
---==，再由余弦定理可求出cos C ，即可求出答案. 【详解】 由题意2sin sin 2sin sin 2sin 22sin cos 2cos A B A B a b C C C c C
---==， ::4:3:2a b c =，设4,3,2a k b k c k ===，
由余弦定理可得：()22
16947cos 2438
k C k +-==⨯⨯， 则()832sin sin 107sin 2748
k A B C k --==⨯. 故选D.
【点睛】 本题考查了正、余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题.
6．C
【解析】
【分析】
由1x >，得10x ->，则441111x x x x +
=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】
由题意，因为1x >，则10x ->，
所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当4
11x x -=
-时，即3x =时取等号， 所以41
x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7．B
【解析】
【分析】
根据与特殊点的比较可得因为
1230a log =<,01b <<,1c >,从而得到c b a >>,得出答案. 【详解】
解:因为1122
3log 10a log =<=, 0.20110331b <=⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1133
212c =>=,
所以c b a >>.
故选:B
【点睛】
本题主要考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题,要熟记一些特殊点,如1a log a =,log 10a =,01a =.
8．C
【解析】
【分析】
对A 选项，对x 赋值，即可判断其最小正周期不是π；利用三角函数的周期公式即可判断B 、D 的最小正周期不是π，问题得解.
【详解】
对A 选项，令32x π=-，则33sin 122f ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭ 3sin 122f πππ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，不满足3322f f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以sin y x =不是以π为周期的函数，其最小正周期不为π；
对B 选项，1sin y x =+的最小正周期为：2T π=；
对D 选项，tan 2y x =的最小正周期为：2T π=
；排除A 、B 、D
故选C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的周期公式及周期函数的定义，还考查了赋值法，属于基础题．
9．D
【解析】
【分析】
分离常数法化简f （x ），根据新定义即可求得函数y ＝[f （x ）]的值域．
【详解】
()()
1222321211212x x x x x f x +++===++++，又2x >0，∴20212x ∈+（，），∴211312x +∈+（，） ∴当x ∈（1，1）时，y ＝[f （x ）]＝1；
当x ∈[1，3）时，y ＝[f （x ）]＝1．
∴函数y ＝[f （x ）]的值域是{1，1}．
故选D ．
【点睛】
本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．
10．D
【解析】
【分析】
据投篮成绩的条形统计图，结合中位数的定义，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】
根据投篮成绩的条形统计图，3球以下（含3球）的人数为23510++=，6球以下（含6球）的人数为35134-=，
结合中位数是5知4球以下（含4球）的人数为不多于17，
而由条形统计图得4球以下（含4球）的人数不少于235717+++=，因此4球以下（含4球）的人数为17
所以5球的人数和6球的人数一共是17，显然5球的人数和6球的人数不一样多，故选D.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．D
【解析】
【分析】
根据线面垂直与平行的性质与判定分析或举出反例即可.
【详解】
对A,根据线线平行与线面垂直的性质可知A 正确.
对B, 根据线线平行与线面垂直的性质可知B 正确.
对C,根据线面垂直的性质知C 正确.
对D,当a b ⊥,a α⊥时,也有可能b α⊂.故D 错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了空间中平行垂直的判定与性质,属于中档题.
12．A
【解析】
【分析】
利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域．
【详解】
令x+（k ∈Z ），
解得：x （k ∈Z ），
故函数的定义域为{x|x ，k ∈Z} 故选A ． 【点睛】 本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
二、填空题：本题共4小题
13．15-
【解析】
按三角函数的定义，有431sin cos 555αα-+=
+=-. 14．4π- 【解析】
【分析】
根据反正切函数的值域，结合条件得出()1f -的值.
【详解】
arctan 22x π
π
-<<，且tan tan 144ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭
，因此，()()1arctan 14f π-=-=-， 故答案为：4
π-
. 【点睛】 本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.
15．m -
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】 解：cos 4m πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos cos cos 444m πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为：m -．
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力，属于基础题．
16．4,12]
【解析】
【分析】
通过观察ABC 的面积的式子很容易和余弦定理联系起来，所以
)2221sin 2a b c ab C +-=，求出
tan C =所以3C π=.再由正弦定理即可将+a b 的范围通过辅助角公式化简利用三角函数求出范围即可．
【详解】
因为ABC 的面积为)2224
a b c +-，所以
)
2221sin 4
2a b c ab C +-=222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，
sin C C =，即tan C =3C π
=.由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===，所以
2sin )sin sin 8sin 36a b A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦.因为ABC 为锐角三角形，
所以62A π
π<<，sin 16A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则ssin()86A π<+，即8a b <+.故ABC 的
周长的取值范围是4,12].
【点睛】
此题考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范围的题目转化为求解三角函数值域即可，易错点注意转化后角的范围区间，属于中档题目．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)
cos α.-(2) 【解析】
【分析】
（1）直接利用三角函数的诱导公式，化简运算，即可求解；
（2）
由2f πβ⎛⎫+=
⎪⎝⎭，
得sin β=
进一步求得cos β=，得到sin2β与cos2β，再由sin （2β+6
π）展开两角和的正弦求解． 【详解】
（1）由题意，可得()()()()
π3πsin αcos αtan πα22tan απsin απf α⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---- =()()()cos αsin αtan αcos αtan αsin α
-⋅⋅-=--⋅； （2）由f （π2+β）=πcos β2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
sin β3=-． 又β是第四象限的角，∴cos β
． ∴
sin2β2sin βcos β==cos221β2cos β13=-=． ∴sin （2β+π6）=sin2βcos π6+cos2βsin π6
=11132326⎛⎫--⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝
⎭． 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简求值，及诱导公式及两角差的正弦公式的应用，其中解答中熟记三家函数的恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．（1）证明见解析 （2）θ最小值为60°
【解析】
【分析】
（1）在梯形ABCD 中，利用勾股定理，得到AD ⊥BD ，再结合面面垂直的判定，证得DE ⊥平面ABCD ，即可证得AD ⊥平面BFED ；
（2）以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB 与平面ADE 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

【详解】
（1）证明：在梯形ABCD 中，
∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，∴AB ＝2.
∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·AD·cos 60°＝3.
∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD.
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，
DE⊂平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.
（1）由(1)知，直线AD，BD，ED两两垂直，故以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令EP＝λ(0≤λ≤3)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，3，0)，P(0，λ，1)，
所以AB＝(－1，3，0)，BP＝(0，λ－3，1)．
设n1＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
由1
1
n AB
n BP
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
得
30
30
x y
y z
λ
⎧-+=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
，取y＝1，则n1＝(3，1，3－λ)．
因为n2＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，
所以cos θ＝12
12
n n
n n
⋅
＝
2
3131
λ
++-⨯
＝2
1
234
-+
.
因为0≤λ≤3，所以当λ＝3时，cos θ有最大值
1
2
，所以θ的最小值为60°.
【点睛】
本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19．（1）
9
20
；（2）
9
20
；（3）
1
2
.
【解析】
【分析】
（1）恰有一支一等品，从3支一等品中任取一支，从二、三等品种任取两支利用分布乘法原理计算后除以基本事件总数；
（2）恰有两枝一等品，从3支一等品中任取两支，从二、三等品种任取一支利用分布乘法原理计算后除以基本事件总数；
（3）从5支非三等品中任取三支除以基本事件总数．。