湘教版九年级数学上册第3课时 与方位角有关的实际问题
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解：作CD AB,交AB延长线于点D.设CD x.
在Rt ACD中， tan CAD CD , AD
AD
CD tan CAD
x tan 30
，
同理，在Rt
BCD中，BD
CD tan CBD
x tan 60
。
AB AD.
解得 x 20 3.
∴ 5x 4x 21 5，解得x=60. 12 3
∵ sin∠B PC ， PB
∴ PB PC 60 60 5 100海里.
sin B sin 36.9
3
∴海监船所在B处与城市P的距离为100海里.
方向角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到 目标方向线之间的水平夹角.
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.
在Rt△APC中，∵ tan A PC ， AC
∴ AC PC 5x . tan67.5 12
在Rt△PCB中，∵ tan B PC ， BC
∴ BC PC 4x . tan 36.9 3
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时，
∴AC+BC=AB=21×5，
∴ MB BN = 7 =7 2 海里.
cos 45 2 2
故选A.
3.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋
局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海
监船，在相关海域进行现场监测与海水采样，
针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及
时开展分析评估.如图，上午9时，海监船位于
A处，观测到某港口城市P位于海监船的北偏西
解：由图易知∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形.
在Rt△ABC中，∠CBA=55°，∠CAB=35°，
∴ sinCAB sin 35 CB ，sinCBA sin55 AC .
AB
AB
∴CB=AB·sin35°，CA=AB·sin55°.
又 CA－CB=40，
即AB·sin55°－AB·sin35°=40.
67.5°方向，海监船以21海里/时的速度向正北
方向行驶，下午2时海监船到达B处，这时观察
到城市P位于海监船的南偏西36.9°方向，求
此时海监船所在B处与城市P的距离.
(参考数据：sin36.9°≈ 3 ，tan36.9°≈ 3 ，sin67.5°≈ 12，tan67.5°≈ 12 )
5
4
13
5
分 析 ： 过 点 P 作 PC⊥AB ， 构 造 直 角 三 角 形 ， 设 PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从 而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即 可解答．
又20 3 34.64 30, 因此，该船能继续安全地向东航行.
探究新知
例3：如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得 灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得 灯塔C在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30km内有暗 礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB 航线的距离是否大于30km．如果大于30km，则安全， 否则不安全．
解得AB≈162.9（km）.
2.如图所示，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东 60°方向，这艘渔船以28海里/小时的速度航行30分钟到B 处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔 船的距离是（ A ） A.7 2海里 B.14 2 海里 C.7海里 D.14海里
分析：作BN⊥AM，垂足为N，由题意知，在Rt△ABN中， ∠BAN=30°，AB=14海里，∴BN=AB·sin30°=7（海里）， ∴在Rt△BMN中，∠MBN=45°，BN=7海里，
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D . 设CD=x km. 在Rt△ACD中，∵ tanCAD CD , AD ∴ AD CD x . tanCAD tan30 同理，在Rt△BCD中， BD CD x . tanCBD tan60 ∵AB=AD－BD，
∴ x x =40. 解得x= 20 3.
tan30 tan60
又 20 3 34.64＞30，因此，该船能继续安全地向东航行．
方向角
从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标 方向线之间的水平夹角.
练习
1.某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A 船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向；B 船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离比 它到B船的距离远40km. 求A，B两船的距离（结果精确到 0.1km）.
在Rt ACD中， tan CAD CD , AD
AD
CD tan CAD
x tan 30
，
同理，在Rt
BCD中，BD
CD tan CBD
x tan 60
。
AB AD.
解得 x 20 3.
∴ 5x 4x 21 5，解得x=60. 12 3
∵ sin∠B PC ， PB
∴ PB PC 60 60 5 100海里.
sin B sin 36.9
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∴海监船所在B处与城市P的距离为100海里.
方向角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到 目标方向线之间的水平夹角.
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.
在Rt△APC中，∵ tan A PC ， AC
∴ AC PC 5x . tan67.5 12
在Rt△PCB中，∵ tan B PC ， BC
∴ BC PC 4x . tan 36.9 3
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时，
∴AC+BC=AB=21×5，
∴ MB BN = 7 =7 2 海里.
cos 45 2 2
故选A.
3.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋
局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海
监船，在相关海域进行现场监测与海水采样，
针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及
时开展分析评估.如图，上午9时，海监船位于
A处，观测到某港口城市P位于海监船的北偏西
解：由图易知∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形.
在Rt△ABC中，∠CBA=55°，∠CAB=35°，
∴ sinCAB sin 35 CB ，sinCBA sin55 AC .
AB
AB
∴CB=AB·sin35°，CA=AB·sin55°.
又 CA－CB=40，
即AB·sin55°－AB·sin35°=40.
67.5°方向，海监船以21海里/时的速度向正北
方向行驶，下午2时海监船到达B处，这时观察
到城市P位于海监船的南偏西36.9°方向，求
此时海监船所在B处与城市P的距离.
(参考数据：sin36.9°≈ 3 ，tan36.9°≈ 3 ，sin67.5°≈ 12，tan67.5°≈ 12 )
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分 析 ： 过 点 P 作 PC⊥AB ， 构 造 直 角 三 角 形 ， 设 PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从 而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即 可解答．
又20 3 34.64 30, 因此，该船能继续安全地向东航行.
探究新知
例3：如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得 灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得 灯塔C在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30km内有暗 礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB 航线的距离是否大于30km．如果大于30km，则安全， 否则不安全．
解得AB≈162.9（km）.
2.如图所示，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东 60°方向，这艘渔船以28海里/小时的速度航行30分钟到B 处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔 船的距离是（ A ） A.7 2海里 B.14 2 海里 C.7海里 D.14海里
分析：作BN⊥AM，垂足为N，由题意知，在Rt△ABN中， ∠BAN=30°，AB=14海里，∴BN=AB·sin30°=7（海里）， ∴在Rt△BMN中，∠MBN=45°，BN=7海里，
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D . 设CD=x km. 在Rt△ACD中，∵ tanCAD CD , AD ∴ AD CD x . tanCAD tan30 同理，在Rt△BCD中， BD CD x . tanCBD tan60 ∵AB=AD－BD，
∴ x x =40. 解得x= 20 3.
tan30 tan60
又 20 3 34.64＞30，因此，该船能继续安全地向东航行．
方向角
从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标 方向线之间的水平夹角.
练习
1.某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A 船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向；B 船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离比 它到B船的距离远40km. 求A，B两船的距离（结果精确到 0.1km）.