宁夏中卫市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析

宁夏中卫市2021届新高考数学模拟试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．32log 5+
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】
∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =， ∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==35log 910==．
故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 2．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则
|||||FA FB FC ++=（ ）.
A ．9
B ．6
C ．38
D ．
316
【答案】C 【解析】 【分析】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=可得1233
16
x x x ++=
，利用定义将|||||FA FB FC ++用123,,x x x 表示即可.
【详解】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=及1
(,0)16
F ， 得111(,)16x y -
+221
(,)16x y -331(,)(0,0)16x y +-=，故123316
x x x ++=， 所以123111|||||161616FA FB FC x x x ++=+++++=38
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.
3．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围
是（ ）
A ．（0，1）∪（1，e ）
B ．10e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
D ．（0，1）
【答案】D 【解析】 【分析】
原问题转化为221x x a a =有四个不同的实根，换元处理令
t =，对g （t
）
21lnt t t ⎫
=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】
由题意，a ＞2，令
t =
， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
⇔22
1x x a a -
=
⇔2
21t -
=
⇔210lnt t t ⎫
-=⎪⎭
． 记g （t
）21lnt t t ⎫=-⎪⎭
．
当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t
）t 1t
-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．
则2
10lnt t t ⎫--=⎪⎭
2
21tlnt t =-， 记h （t ）2
21
tlnt
t =
-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()
(
)
22
22
22222
12122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫
-+- ⎪+--+⎝⎭==
--．
令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()
22222222
21211(1)
(1)(1)
t t t t t t t t t +---=-=-++＜2．
∵φ（2）＝2，∴φ（t ）221
1
t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．
∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222
112
t t tlnt lnt lim
lim t →→+==-，可得1a ＜，即a ＜2．
∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】
此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )
A ．28cm
B ．212cm
C ．()
2
452cm
D ．()
2
454cm
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.22215+1
425452
⨯⨯=所以该几何体的表面积是()
2454cm .
故选：D 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 5．已知平面向量()4,2a →
=，(),3b x →
=，//a b →→
，则实数x 的值等于（ ）
A ．6
B ．1
C ．
32
D ．32
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】
()4,2a →
=，(),3b x →
=，//a b →→
，
432x ∴⨯=，
即6x =， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.
6．设1k >，则关于,x y 的方程()2
2
2
11k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）
A ．长轴在y 轴上的椭圆
B ．长轴在x 轴上的椭圆
C ．实轴在y 轴上的双曲线
D ．实轴在x 轴上的双曲线
【答案】C 【解析】 【分析】
根据条件，方程()2
2
2
11k x y k -+=-．即22
2111
y x k k -=-+，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的
类型． 【详解】
解：∵k ＞1，∴1+k>0，k 2-1＞0，
方程()2
2
2
11k x y k -+=-，即22
2111
y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，
故选C ． 【点睛】
本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为22
2111
y x k k -=-+是关键．
7．已知命题p ：1m =“”
是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∨
D ．p q ∧
【答案】A 【解析】 【分析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】
当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.
p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．
当1a =时，2
()1f x x =+没有零点，
所以命题q 是假命题．
所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）
A B ．1
C D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案. 【详解】
如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，12⎛- ⎝⎭B ，1,2C ⎛- ⎝⎭
，设()cos ,sin P θθ，
则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-
222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.
当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .
【点睛】
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 9．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，
若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A ．
33
B ．
23
C ．3
D ．23
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC 外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案. 【详解】
设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =， 由2420R ππ=，得25R =． 如图：
设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ， 可得1
12
OG AD =
=，则212AG R =-=． 在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BC
AG ==︒
，
即23BC =，
由余弦定理可得，22222
1122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++，
4xy ∴．
则三棱锥A BCD -的体积的最大值为1123
4sin120232⨯⨯⨯︒⨯=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
10．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件
C ．甲4件，乙5件
D ．甲2件，乙6件
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*
4750,
,,
x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，
显然当55
99
y x z =-
+经过(2,6)A 时，z 最大.
故选：D. 【点睛】
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.
11．已知命题3
00:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ）
A ．3
002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3
002,80x x ∃≤-≤ D ．32,80x x ∀≤-≤
【答案】B 【解析】 【分析】
利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】
已知命题0:2p x ∃>，3
80x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
12．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A ．
1
8
B ．
17
C ．
16
D ．
15
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的1
6
,剩余部分体积是正方体体积
的
5
6
,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知正方形ABCD边长为3，空间中的动点P满足2
PA=，2
PC PD
=，则三棱锥A PCD
-体积的最大值是______.
【答案】
36
4
【解析】
【分析】
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，设点()
,,
P a b c，根据题中条件得出35
a b
=-，进而可求出c的最大值，由此能求出三棱锥A PCD
-体积的最大值.
【详解】
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，
则()
0,0,0
A，()
3,3,0
C，()
0,3,0
D，设点()
,,
P a b c，
空间中的动点P满足2
PA=，2
PC PD
=，
所以
()()()
222
222
222
2
3323
a b c
a b c a b c
++=
-+-+=+-+
35
a b
=-，
c
∴===
当
3
2
b=，
1
2
a=-时，
c取最大值
所以，三棱锥A PCD
-
的体积为2
111
3
332
A PCD P ACD ACD
V V S c
--∆
==⋅≤⨯⨯=
因此，三棱锥A PCD
-
.
故答案为：
4
.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14
．函数()
f x=_____________.
【答案】
1
|0
5
x x
⎧⎫
<≤
⎨⎬
⎩⎭
【解析】
【分析】
由题意可得，
2
2
10
x
lg
x
⎧
>
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
，解不等式可求．
【详解】
解：由题意可得，
2
2
10
x
lg
x
⎧
>
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
，
解可得，
1
5
x
<，
故答案为
1
|0
5
x x
⎧⎫
<
⎨⎬
⎩⎭
．
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．
15．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中6
AB=，3
BC=，4
CD=，5
AD=，则
22sin sin A B
+=__________．
【答案】103
【解析】 【分析】
由题意可知A C π+=，B D π+=，在ABD ∆和BCD ∆中，利用余弦定理建立 方程求cos A ，同理求cos B ，求sin ,sin A B ，代入求值. 【详解】
由圆内接四边形的性质可得180C A ∠=︒-∠,180D B ∠=︒-∠．连接BD ，在ABD ∆中， 有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅．在BCD ∆中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅． 所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-⋅=++⋅,
则2222222265343
cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--=
==⋅+⋅⨯+⨯，所以223210
sin 1cos 1()7A A =-=-=
连接AC ，同理可得2222222263541
cos 2()2(6354)19
AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--=
==⋅+⋅⨯+⨯, 所以221610
sin 1cos 1(
)1919B B =-=-=
．所以22410sin sin 3
210610A B +=+=． 410
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.
16．已知两动点,A B 在椭圆()2
2211x C y a a
+=>上，动点P 在直线34100x y +-=上，若APB ∠恒为
锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为__________．
【答案】⎛ ⎝⎭
【解析】 【分析】
根据题意可知圆2
2
2
1x y a +=+上任意一点向椭圆C 所引的两条切线互相垂直，APB ∠恒为锐角，只需
直线 34100x y +-=与圆222
1x y a +=+相离，从而可得2214a d +<=，解不等式，再利用离心率
c
e a
=
即可求解. 【详解】
根据题意可得，圆2
2
2
1x y a +=+上任意一点向椭圆C 所引的两条切线互相垂直，
因此当直线 34100x y +-=与圆222
1x y a +=+相离时， APB ∠恒为锐角，
故2
214a +<=，解得213a <<
从而离心率0,3e ⎛= ⎝⎭
.
故答案为：0,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项.
（1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2n a n +的前n 项和n S .
【答案】（1）见解析，21n n a =-（2）12
22n n S n +=+-
【解析】 【分析】
（1）根据等差中项的定义得112n n a a +-=，然后构造新等比数列{}1n a +，写出{}1n a +的通项即可求 （2）根据（1）的结果，分组求和即可 【详解】
解：（1）由已知可得112n n a a +-=，即121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以
112a +=为首项，2为公比的等比数列.
即有()11
112
2n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =-.
（2）由（1）知，数列{}2n a n +的通项为：2221n
n a n n +=+-，
()()123222213521n n S n ∴=++++++++
+-
(
)2122122212
n n n n +-=
+=+--
故12
22n n S n +=+-.
【点睛】
考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.
18．如图，已知在三棱台111ABC A B C -中，22AC AB ==，3BC =，111A B BB ⊥.
（1）求证：1AB CC ⊥；
（2）过AB 的平面ABDE 分别交11B C ，11A C 于点D ，E ，且分割三棱台111ABC A B C -所得两部分几何体的体积比为1114:3AA E BB ABC BDC D V V --==，几何体1ABC EDC -为棱柱，求11A B 的长. 提示：台体的体积公式()
1
3
V S S S S h ''=
（S '，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高）. 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】 【分析】
（1）在ABC ∆中，利用勾股定理，证得AB BC ⊥，又由题设条件，得到1AB BB ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面11BCC B ，进而得到1AB CC ⊥；
（2）设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为h ，根据棱台的体积公式，列出方程求得
12S S '=，得到
11
12AB A B =，即可求解. 【详解】
（1）由题意，在ABC ∆中，22AC AB ==，3BC =
所以222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥， 因为111A B BB ⊥，可得1AB BB ⊥. 又由1BC
BB B =，BC ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，
因为1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AB CC ⊥.
（2）因为111:4:3AA E BB D ABC EDC V V --=，可得1111:7:3ABC A B C ABC EDC V V --=， 令ABC S S ∆'=，111A B C S S ∆=，
设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为h ，
则
()
1111
1
7
33
ABC A B C ABC EDC S S S S h
V V S h --''+⋅+⋅=='⋅，整理得60S S S S ''--=，
即610S S S S ''--=，解得12S S '=，即
11
12AB A B =， 又由1AB =，所以112A B =. 【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
19．已知圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建
立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2
(22
x t m t y t ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值. 【答案】222m =± 【解析】 【分析】
将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线l 与圆C 相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m 的值. 【详解】 由
，得， ， 即圆
的方程为
，
又由消，得，
直线与圆相切，，．
【点睛】
本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
20．已知数列{}n a 的各项都为正数，12a =，且11
21n n
n n a a a a ++=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设()2lg log n n b a =⎡⎤⎣⎦，
其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[lg99]1=，求数列{}n b 的前2020项和．
【答案】（Ⅰ）2n
n a =；（Ⅱ）4953
【解析】 【分析】
（Ⅰ）递推公式变形为()()1120n n n n a a a a +++-=，由数列是正项数列，得到12n n a a +=，根据数列是等比数列求通项公式；
（Ⅱ）()2lg log [lg ]n n b a n ==⎡⎤⎣⎦，根据新定义和对数的运算分类讨论数列{}n b 的通项公式，并求前2020项和． 【详解】 （Ⅰ）∵
11
21n n
n n a a a a ++=+，∴22
1120n
n n n a a a a ++--=，∴()()1120n n n n a a a a +++-= 又∵数列{}n a 的各项都为正数，∴120n n a a +-=，即12n n a a +=．
∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2n
n a =．
（Ⅱ）∵()2lg log [lg ]n n b a n ==⎡⎤⎣
⎦，∴0,1101,101002,10010003,10002020
n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤≤⎩，n *∈N ． ∴数列{}n b 的前2020项的和为1902900310214953⨯+⨯+⨯=． 【点睛】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前n 项和，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属
于中档题型.
21．如图，平面四边形ABCD 中，//,90,120BC AD ADC ABC ︒︒∠=∠=，E 是AD 上的一点，
2,AB BC DE F ==是EC 的中点，以EC 为折痕把EDC △折起，使点D 到达点P 的位置，且PC BF ⊥.
（1）证明：平面PEC ⊥平面ABCE ； （2）求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（25
【解析】 【分析】
（1）要证平面PEC ⊥平面ABCE ，只需证BF ⊥平面PEC ，而PC BF ⊥，所以只需证BF EC ⊥，而由已知的数据可证得BCE ∆为等边三角形，又由于F 是EC 的中点，所以BF EC ⊥，从而可证得结论； （2）由于在Rt PEC ∆中，1
22
PE DE PF EC a ===
=，而平面PEC ⊥平面ABCE ，所以点P 在平面ABCE 的投影恰好为EF 的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】
（1）由//,90,2BC AD ADC AB BC DE ︒
∠===，所以平面四边形ABCD 为直角梯形，设
24AB BC DE a ===，因为120ABC ︒∠=.
所以在Rt CDE △中，3
23,4,tan DE CD a EC a ECD CD ==∠=
=
，则30ECD ︒∠=，又90ADC BCD ︒∠=∠=，所以60BCE ︒∠=，由4EC BC AB a ===，
所以BCE ∆为等边三角形，
又F 是EC 的中点，所以BF EC ⊥，又,,BF PC EC PC ⊥⊂平面,PEC EC PC C ⋂=， 则有BF ⊥平面PEC ，
而BF ⊂平面ABCE ，故平面PEC ⊥平面ABCE . （2）解法一：在Rt PEC ∆中，1
22
PE DE PF EC a ====，取EF 中点O ，所以PO EF ⊥， 由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC
平面ABCE EC =，
所以PO ⊥平面ABCE ，
以O 为坐标原点，OC 方向为y 轴方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,0,3),(23,3,0),(23,,0),(0,3,0)P a
A a a
B a a
C a -，
(23,3,3),(23,,3),(0,3,3)PA a a a PB a a a PC a a =--=-=-，
设平面PAB 的法向量(,,)m x y z =，由0,0m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得23330,
2330,
ax ay az ax ay az ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩取1x =，则(1,0,2)m =
设直线PC 与平面PAB 所成角大小为θ， 则2222
235sin 12(3)(3)m PC a
m PC
a a θ⋅=
=
=
+⋅+-， 故直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为
5
.
解法二：在Rt PEC 中，1
22
PE DE PF EC a ====，取EF 中点O ，所以PO EF ⊥，由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC 平面ABCE EC =，
所以PO ⊥平面ABCE ，
过O 作OH AB ⊥于H ，连PH ，则由PO ⊥平面,ABCE AB ⊂平面ABCE ，所以AB PO ⊥，又AB OH PO OH O ⊥⋂=，，
则AB ⊥平面POH ，又PH ⊂平面POH 所以AB PH ⊥，在Rt POH 中，3,3PO a OH BF a ===，所以15PH a =，设C 到平面PAB 的距离为d ，由C PAB P ABC V V --=，
即1
133PAB
BEC
S d S OP ⨯⨯=⨯⨯，即1111
41542333232
a ad a a a ⨯⨯=⨯⨯⨯， 可得15
d =
， 设直线PC 与平面PAB 所成角大小为θ，则
515sin 23a
d PC a θ===
.
故直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为
5.
【点睛】
此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.
22．已知函数()ln 1
x ax f x x
++=
.
（1）若对任意x >0，f （x ）<0恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2（x 1<x 2），证明：22
1221
2x x x x +>. 【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求出()'
f
x ，判断函数()f x 的单调性，求出函数()f x 的最大值，即求a 的范围；
（2）由（1）可知， ()()120,1,1,x x ∈∈+∞.对2x 分()21,2x ∈和[
)22,x ∈+∞两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论． 【详解】 （1）由()ln 1ln 1x ax x f x a x x x ++==++，得()'2ln x
f x x
=-.
令()'
0,1f
x x =∴=.
当01x <<时，()'
0f
x >；当1x >时，()'0f x <；
()f x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ()()max 11f x f a ∴==+.
对任意()0,0x f x ><恒成立，10,1a a ∴+<∴<-.
（2）证明：由（1）可知，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
()()120,1,1,x x ∴∈∈+∞.
若()21,2x ∈，则()220,1x -∈， 令()()()()ln 2ln 11
2,0122x x g x f x f x x x x x x
-=--=
+--<<-- ()()()
()()2
'
2
2222ln 11ln 2ln 2ln ln 02x x x x x g x x x x x x ⎡⎤--+--⎣⎦∴=-->--=->- ()g x ∴在()0,1上单调递增，()()()()10,2g x g f x f x ∴<=∴<-，
()()()1122f x f x f x ∴->=.
()110,1,21,x x ∈∴->又21>x ，()f x 在()1,+∞上单调递减，
12122,2x x x x ∴-<∴+>.
若[
)22,x ∈+∞，则122x x +>显然成立. 综上，122x x +>.
又22122112212,2x x x x x x x x +≥=+≥= 以上两式左右两端分别相加，得
()22122112212x x x x x x x x +++≥+，即22121221
x x x x x x +≥+， 所以22
1221
2x x x x +>. 【点睛】
本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题. 23．已知数列{}n a 满足：对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++. （1）若23692a a a a +++=，求18a 的值； （2）若{}n a 是等比数列，求{}n a 的通项公式；
（3）设k *∈N ，3k ≥，求证：若123,,,k k k a a a +++⋅⋅⋅成等差数列，则12,,,k a a a ⋅⋅⋅也成等差数列. 【答案】（1）3；（2）2n a =-；（3）见解析. 【解析】 【分析】
（1）依据下标的关系，有18292a a a =++，18362a a a =++，两式相加，即可求出18a ；（2）依据等比数列的通项公式知，求出首项和公比即可。

利用关系式2uv u v a a a =++，列出方程，可以解出首项和公比；
（3）利用等差数列的定义，即可证出。

【详解】
（1）因为对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++，所以18292a a a =++，18362a a a =++，两式相加，
182********a a a a a =++++=+=，解得18=3a ；
（2）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，因为对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++， 所以有2122a a a =++，解得12a =-，又616232=2a a a a a =++++ ，
即有1623=a a a a ++，化简得，523
1q q q +=+，即()()
2311=0q q --，
1q ∴=或1q =-，因为4222a a a =++，化简得3210q q -+=，所以 1q =
故2n a =-。

（3）因为对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++，所以有
1112(1)213131(1)12222
k k k k k k k k k k a a a a
a a a a a a a a ++++++++=++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩（） ，123,,,k k k a a a +++⋅⋅⋅成等差数列，设公差为d ， 212(1)1(1)k k a a a a k d ++-=-=+，323(1)2(1)(1)k k a a a a k d ++-=-=+， ，
1(1)(1)(1)(1)k k k k k k a a a a k d -+-+-=-=+，由等差数列的定义知， 12,,,k a a a ⋅⋅⋅也成等差数列。

【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的定义以及赋值法的应用，意在考查学生的逻辑推理，数学建模，综合运用数列知识的能力。