解答题专项 第1课时 最值与范围问题--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

+
2 )=2[2+(|| ) +(||) ]≥2×(2+2)=8,
||
当且仅当|OP|=|OQ|=2 时,等号成立,所以当|OP|=|OQ|=2 时,|OP|2+|OQ|2 取
得最小值 8.
考点二 圆锥曲线中的范围问题(多考向探究预测)
考向1构造不等式法求范围
例3已知P是平面上的动点,且点P与F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值
-2-(-1)
2
+ 2 = 1,
4
消去 y,整理得 3x +4x=0,由 3x +4x=0,得 x1=- ,x2=0.
3
2
4
所以|MA|·
|BF|= 2|x1+2|· 2|x2+1|=2× 3 ×1=3,
1
4
|MB|·
|AF|= 2|x2+2|· 2|x1+1|=2×2× 3 = 3, 因此|MA|·
2 ,易知
1+2
x1>- 2且 x2>- 2,将 x=-2
1
1
M(-2,-k),所以
+
||
||
=
1
1
1
1 +2 +4
(
+
)=
·
=

+2

+2


+2(
+
)+4
1
2
1 2
1
2
1+2
1+2
1
1+2 |1 +2|
+
2
4
+4
2
1
1
42 +4
2
1
1
1+2
· 2
=
· 2 =
.同理可得
心素养有较高的要求.
考点一 圆锥曲线中的最值问题(多考向探究预测)
考向1建立目标函数法求最值
2
例 1(2024·广东韶关模拟)已知双曲线 C: 2
−
2
=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(2,0),
2
过点 F 的直线 l 与双曲线 C 的右支相交于 M,N 两点,点 M 关于 y 轴对称的点
12
-32 -12
2
x1+x2=t(y1+y2)+4=- 2 ,x1x2=t y1y2+2t(y1+y2)+4= 2 .由已知
-3
-3
12
-32 -12
- 2 >0, 2 >0,所以 -3
-3
3<t< 3,所以线段 MN
线段 MN 的垂直平分线的方程为
的方程为 x=0,所以点 Q
6
(2)若直线 l 与曲线 C 在 y 轴左、右两侧的交点分别是 Q,P,且O ·O=0,求
|O|2+|O |2 的最小值.
解 (1)设 F1(- 3,0),F2( 3,0),则| ( + 3)2 + 2 − (- 3)2 + 2 |=2,等价于
||PF1|-|PF2||=2<|F1F2|,则曲线 C 为以 F1,F2 为焦点的双曲线,且实轴长为 2,焦
2
4k (x1+x2)-8k =
8
2.
1-
1
因为
3
≤k <1 或 1<k ≤3,所以
2
2
8
2
1-
的取值范围是(-∞,-4]∪[12,+∞).
∈(-∞,-4]∪[12,+∞),所以 · + ·
[对点训练3]
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M是抛物线的准线x=-2上的动点.
=2 2,
1
||+
1
||
2 ||·
||
1
时,等号成立,所以||
1
1
+ || + ||
1
+ ||的最大值为
2 2.
[对点训练 2]已知曲线 C 上任意一点 P(x,y)满足方程| ( + 3)2 + 2 −
(- 3)2 + 2 |=2.
(1)求曲线 C 的方程;
+
=
2
||
||
2 2 -2
2 2 +2
2
-8
1+
1+
1+
+
+4
2
2
1+2 1+2
2
2
1
1+(- )

2(1+||)
1+2
=
=2
2||
1
1
1
1
,所以
+
+
+
||
||
||
||
2
1+
2 +1+2||
2
+1
当且仅当 k=±1
=2 1 +
2
=
2
≤2 1 +
(2)设直线 l 的方程为 y=k(x+2),点 M(x1,y1),N(x2,y2),联立 2 2
整理得
- = 1,
2 2
(1-k2)x2-4k2x-(4k2+2)=0,可得 k2≠1 且 Δ=8(k2+1)>0,x1+x2=
42
42 +2
2 ,x1x2=-
1-
2
1-
.
2 +1
由弦长公式,可得|MN|= 1 + 2 · (1 + 2 )2 -41 2 =2 2 ·
为 P.当M ·M=0
2 3
时,|MN|= 3 .
(1)求双曲线 C 的方程;
(2)若△MNP 的外心为
||
Q,求|M|的取值范围.
解 (1)设双曲线的半焦距为 c,因为双曲线 C 的右焦点为 F(2,0),所以 c=2.因为
点 M 和点 P 关于 y 轴对称,所以当 ·=0 时,直线 l 的方程为 x=c.联立
2 2
-
3
= 1,
消去 x,整理得(t2-3)y2+4ty+1=0,t2-3≠0,即 t≠± 3.
= + 2,
Δ=16t2-4(t2-3)=12t2+12>0,
设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(-x1,y1),则
4
1
y1+y2=- 2 ,y1y2= 2 .
-3
-3
椭圆 E

e=
=
2
,所以
2
2 2
的标准方程为 2 +y =1.因为直线
a= 2,所以 b2=a2-c2=2-1=1,所以
l 经过 M(-2,-1),F(-1,0),直线 l 的斜率
= + 1,
-1-0
是
=1,所以直线 l 的方程为 y=x+1.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 2
2
|1- |
由|MN|≥4
2 +1
1
2,可得 2 ≥2,解得3
|1- |
.
≤k2<1 或 1<k2≤3.
不妨令 A(- 2,0),B( 2,0),则 · + · =(x1+ 2,y1)·
( 2-x2,-y2)
+(x2+ 2,y2)·
( 2-x1,-y1)=4-2x1x2-2y1y2=4-2x1x2-2k2(x1+2)(x2+2)=4-(2+2k2)x1x22
|BF|=|MB|·
|AF|.
2
2
(2)解 由题意,直线l不垂直于x轴,若直线l与x轴重合,则直线m与直线x=-2平
行,不符合题意,所以直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为
1
y=k(x+1),则直线 m 的方程为 y=- (x+1),其中 k≠0.

= ( + 1),
联立 2
消去 y,整理得
MN 上,所以-x+(-y)-4=0,即直线 l 的方程为 x+y+4=0.设点 Q(x0,y0),则02 =4x0,
|0 +0 +4|
点 Q 到直线 l 的距离 d=
3 2
小值是 ,此时
2
Q(1,-2).
2
=
2
0+ +4
4 0
2
=
(0 +2)2 +12
4 2
.当 y0=-2 时,d 的最
2
+ 2 = 2,
(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,Δ=16k4-4(1+2k2)(2k2-2)=8k2+8>0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-
42
1+2
代入直线 l 的方程可得 y=-k,即点
1
1+2 |2 +2|
=
1
2 ,x1x2=
22 -2
Δ=4p +32p>0,则
1 2 = -8.
2
由 OM⊥ON,得 ·=0,
即
21 22
x1x2+y1y2= 2 +y1y2=0,因为 y1y2≠0,所以 y1y2=-4p2,所以-4p2=-8p,解得
4
故抛物线的方程为y2=4x.
p=2,
(2)设点 A(x,y)是直线 l 上任意一点,则点 A 关于原点的对称点 A'(-x,-y)在直线
为 2 2.设点 P 的轨迹为曲线 E.
(1)求曲线 E 的方程;
(2)设不与 x 轴垂直的直线 l 过点 F1 且交曲线 E 于 M,N 两点,曲线 E 与 x 轴的
交点为 A,B,当|MN|≥4 2时,求M · + ·M的取值范围.
解 (1)依题意,P 是平面上的动点,且点 P 与 F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对
考向2构造基本不等式法求最值
例 2(2024·江苏南通模拟)已知椭圆
2
E: 2
+
2
2
=1(a>b>0)的离心率为 2 ,焦距为
2
2,过 E 的左焦点 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,与直线 x=-2 相交于点 M.
(1)若 M(-2,-1),求证:|MA|·|BF|=|MB|·|AF|;
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标;
(2)设直线l与抛物线相交于A,B两点,且MF⊥AB,AF⊥MB,求直线l在x轴上
的截距b的取值范围.
解 (1)因为抛物线的准线是x=-2,所以抛物线的焦点坐标F(2,0),
p=4.

=2,所以
2
(2)设M(-2,y0).不妨令点A位于第一象限内.若直线l的斜率不存在,则
距为 2 3,故曲线 C 的方程为
2

x2- 2 =1.
(2)由题意可得直线 OP 的斜率存在且不为 0,可设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0),
则直线 OQ 的方程为
由
2
2
-
2
1
y=-x.
2
= 1,
= ,
=
得
2 =
2
2
,
2
2(
+1)
2
2
2
.
2 所以|OP| =x +y =
(2)过点 F 作直线 l 的垂线 m 与 E 相交于 C,D 两点,与直线 x=-2 相交于点 N.
1
求
|M|
+
1
|M|
+
1
|C|
+
1
的最大值.
|D|
(1)证明 设 F(-c,0),则右焦点为 F2(c,0).因为椭圆 E 的焦距为 2,所以 2c=2,解得
c=1.又因为椭圆 E 的离心率
2
的中点坐标为(- 2 ,- 2 ),所以
-3 -3
2
6
y+ 2 =-t(x+ 2 ).又线段
-3
-3
-8
的坐标为(0, 2 ),所以|QF|=
-3
MP 的垂直平分线
(2-0)
2
8 2
+ (0 + 2 )
-3
=
2
3-2
||
||
4 + 10 2 + 9,|MN|= 1 + 2 |y2-y1|= 1 + 2 ·
2 2
2 2
= 1,可得
= ,
a=
2
2 3
22
y=± ,又|MN|= 3 ,所以
=
2 3
2
2
2
,又
c
=a
+b
,所以
3
2 2
3,b=1,故双曲线方程为 -y =1.
3
(2)若直线l的斜率为0,则直线l与双曲线右支只有一个交点,与已知矛盾,
所以可设直线l的方程为x=ty+2.
联立
2025
北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
第1课时
最值与范围问题
考情分析:解析几何是高考的重要考点,通常是“一大三小”的命题模式.除
了解答题是必考题外,一般还会有2道圆锥曲线的选择题或填空题.解答题
一般放在最后两个大题的位置,有一定的难度.题目不拘泥于以椭圆为背景
的主流模型,双曲线和抛物线也成为常见载体.对直观想象和数学运算的核
=
所以
4 +102 +9
3(2 +1)
8
3<1+ 2
+1
=
3
3
≤9,所以
2 +9
2 +1
=
||
1<||
3
3
≤
8
1 + 2 .因为 +1
122 +12
3-2
=
2 3(2 +1)
.所以
2
3-
3<t< 3,所以 1≤t2+1<4,
||
3,所以||的取值范围为(1,
3].
2
2
2-
2,
2-
2-
1)
2
2
2
2
2
2(
+1)
1
1
2-
+(2
-1)
1+
=
同理可得,|OQ|2=
.所以 2 +
= 2
=
2
2 =
2
1
2 -1
||
||
2( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)
2( +1)
22

2(1+
1
1
2
2
2
2
,|OP|
+|OQ|
=2(|OP|
+|OQ|
)(