高三(新课标)数学(理)大一轮复习课时达标检测(三十七) 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解

课时达标检测（三十七）空间点、直线、平面之间的位置关系
[练基础小题——强化运算能力]
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
解析：选A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD 不相交，充分性成立；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行，则A，B，C，D 四点共面，必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()
A．b⊂α
B．b∥α
C．b⊂α或b∥α
D．b与α相交或b⊂α或b∥α
解析：选D结合正方体模型可知b与α相交或b⊂α或b∥α都有可能．
4.如图，平行六面体ABCD-A
B1C1D1中既与AB共面又与CC1共
面的棱有________条．
解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1
平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合
条件的棱有5条．
答案：5
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．若直线上有两个点在平面外，则()
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
解析：选D根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．
2．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是()
A．6 2 B．12 C．122D．24 2
解析：选A如图，已知空间四边形ABCD，对角线AC＝6，BD
＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD
所成的角，大小为45°，故S四边形EFGH＝3×4×sin 45°＝62，故选
A.
3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
解析：选D构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，取l1为AD，
l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，
故排除A、B、C，选D.
4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b 和c，则直线b和c的位置关系是()
A．相交或平行B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
解析：选D 依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或
异面．
5.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C
交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )
A ．A ，M ，O 三点共线
B ．A ，M ，O ，A 1不共面
C ．A ，M ，C ，O 不共面
D ．B ，B 1，O ，M 共面
解析：选A 连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A
四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面
ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的
交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线．
6．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析：选D 如图，连接体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB ，AD ，
AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角
线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等，∵BB 1∥AA 1，
BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1，A 1C ，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．
二、填空题
7.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，
AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23
，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)
①EF 与GH 平行
②EF 与GH 异面
③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上
④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上
解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．
因为EH＝1
2BD，FG＝
2
3BD，故EH≠FG，
所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，
设交点为M.因为点M在EF上，
故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，
∴点M是平面ACB与平面ACD的交点，
又AC是这两个平面的交线，
所以点M一定在直线AC上．
答案：④
8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD 与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．
答案：3
9．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c；
④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号)
解析：①中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b⊥c，则b⊥平面α，此时不论a，c是否垂直，均有a⊥b，故②错误；③
中当a ∥b 时，则a ∥平面β，由线面平行的性质定理可得a ∥c ，故③正确；④中若b ∥c ，则a ⊥b ，a ⊥c 时，a 与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误．
答案：①③
10.如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC
＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的
角的余弦值是________．
解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .
∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC (或其补角)为异面直线AN ，CM
所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝ (2)2＋12＝ 3.在△CKM 中，由余
弦定理，得cos ∠KMC ＝(2)2＋(22)2－(3)22×2×22
＝78，所以异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是78
. 答案：78
三、解答题
11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，
AD 的中点．
(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；
(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．
解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD
所
在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．
(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ， 所以相交直线EF 与EG 所成的角，
即为异面直线EF 与BD 所成的角．
又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .
在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的
角为45°.
12.如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中
点．已知∠BAC ＝π2
，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P -ABC 的体积；
(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．
解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13
×23×2＝433
. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠
ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34
. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34
.。